Примеры точных решений уравнений Навье — Стокса

Примеры точных решений уравнений Навье — Стокса [c.145]

Рассмотренные примеры точных решений уравнений Навье — Стокса были получены для определенного класса течений, характерной чертой которых являлось равенство нулю нелинейных членов в левой части уравнения (2.47). [c.151]

Течение вблизи вращающегося диска. Следующим примером точного решения уравнений Навье — Стокса является течение вблизи плоского диска, равномерно вращающегося с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к плоскости диска. Жидкость вдали от диска принимается покоящейся. Вследствие трения слой жидкости, непосредственно прилегающий к диску, увлекается последним и под действием центробежной силы отбрасывается наружу от диска. Взамен отброшенной жидкости к диску притекает в осевом направлении новая жидкость, которая также увлекается диском и опять отбрасывается наружу. Следовательно, в данном случае мы имеем полностью трехмерное течение. Перспективное изображение этого течения показано на рис. 5.11. Скорость имеет три составляющие в радиальном направлении г, в окружном направлении ф и в осевом направлении z. [c.100]

СЛОЯ мы предпослали некоторые примеры точного решения уравнений Навье-Стокса (глава V). Аналогичным образом поступим и теперь остановимся сначала на некоторых случаях точного определения распределения температуры, указанных Г. Шлихтингом Будем рассматривать стационарные плоские течения несжимаемой жидкости в горизонтальной плоскости, которую совместим с плоскостью ху. Физические характеристики жидкости примем постоянными. Для такого течения [c.273]

Это обстоятельство хорошо иллюстрировать на примере задачи о движении тела в несжимаемой жидкости. Легко видеть, что подробно изученные раньше поля скоростей и давлений, возникающие при решениях задач о потенциальном обтекании тел несжимаемой жидкостью, являются также точными решениями уравнений Навье — Стокса. Это очевидно непосредственно, так как для потенциальных движений несжимаемой жидкости верны равенства [c.253]

Особый интерес представляет следующее обстоятельство. Только что полученное точное решение уравнений Навье — Стокса для течения около вращающегося диска, а также ранее полученные точные решения для течений в окрестности критической точки обладают свойствами, характерными для пограничного слоя (в смысле, поясненном в предыдущей главе). В самом деле, эти решения показывают, что в предельном случае очень малой вязкости область течения, на которую распространяется влияние трения, заключена в весьма тонком слое вблизи твердых стенок, в то время как во всем остальном пространстве течение происходит практически так же, как если бы трения не было, т. е. как если бы течение было потенциальным. Далее, рассмотренные примеры показывают, что толщина слоя, в котором [c.106]

Когда говорят о нестационарном пограничном слое, то обычно имеют в виду либо пограничный слой, образующийся при возникновении движения из СОСТОЯНИЯ ПОКОЯ, либо пограничный СЛОЙ, возникающий при периодическом движении. При движении, возникающем из состояния покоя, тело и жидкость ДО определенного момента времени находятся в состоянии покоя, а затем либо тело начинает двигаться в покоящейся жидкости, либо жидкость начинает набегать на покоящееся тело. При таком разгоне тела или жидкости в непосредственной близости от стенки образуется сначала очень тонкий пограничный СЛОЙ, в котором скорость течения быстро изменяется от скорости тела до скорости внешнего течения. При разгоне тела в свободном потоке непосредственно после начала движения во всем пространстве, за исключением очень ТОНКОГО пограничного слоя около тела, возникает потенциальное течение, т. е. течение без вращения частиц. Затем, по мере продолжения разгона, толщина пограничного слоя увеличивается, в связи с чем встает важный вопрос об определении того момента времени, когда в пограничном слое впервые начинается возвратное течение, влекущее за собой отрыв пограничного слоя. В 1 главы V мы привели точные решения уравнений Навье — Стокса для двух нестационарных течений, а именно для течения вблизи стенки, внезапно начавшей двигаться в своей собственной плоскости, а также для течения в трубе, внезапно возникшего из состояния покоя. Оба эти случая могут служить примерами разгонного течения с образованием нестационарного пограничного слоя. [c.378]

Теперь мы сформулируем задачу об устойчивости для ряда хорошо известных установившихся движений, являющихся точными решениями уравнений Навье — Стокса (1.2.1) и (1.2.2). Первый пример будет рассмотрен несколько более подробно, чтобы выявить затрагиваемые общие идеи. Два остальных случая будут рассмотрены конспективно. Из этих примеров будет видно, что формулировка соответствующих задач о собственных значениях очень проста. Ее решение, однако, может содержать довольно трудные математические проблемы. [c.13]

Сравнения с точными рещениями. Для оценки реальной точности рассматриваемых аппроксимаций целесообразно рассмотреть немногочисленные примеры, когда удается получить точные решения уравнений Навье-Стокса. Одним из таких случаев являются стационарные течения в плоском и расширяющемся каналах, для которых были найдены автомодельные решения [65]. Используя эти решения, можно, не осуществляя процесс установления при помощи приведенных выше факторизованных схем, вычислить значения в каждом узле стационарных частей этих схем. Полученные результаты и определяют погрешность их аппроксимации на стационарном решении для заданной сетки. В табл. 4-6 приведены среднеквадратичные нормы Zp, у, , Zg вычисленных таким образом правых частей схемы (3.14), соответствующих уравнениям неразрывности, продольной и поперечной компонент импульса, а также энергии. В табл. 6 указаны значения чисел Рейнольдса Reo и Маха Мо, определенных по параметрам на линии симметрии канала, а также показателя степени п в законе изменения вязкости вида ц", при зтом число Прандтля и показатель адиабаты для приведенных результатов равны соответстве .но 0,71 и 1,4. [c.159]

Тем не менее линии уровня аналитической функции от х, у (в данном случае это линии тока) в общем случае могут иметь точки излома или возврата. Если такая точка в рассмотренных примерах попадает в начало координат, то схема стоксова течения в случае уравнения Навье - Стокса может разрушиться. Поэтому желательно показать, что разделяющие линии тока у точных решений /, уравнения Навье -Стокса в малых окрестностях точки (О, 0) мало отличаются от разделяющих линий тока для стоксовых приближений / . Это устанавливается на основе следующего утверждения. [c.83]

До недавнего времени при расчете пограничных слоев ограничивались почти исключительно случаями плоского и осесимметричного течений. Осесимметричная задача в известной мере сходна с плоской задачей, поскольку и в той и в другой заданное потенциальное течение зависит только от одной координаты, а обе составляющие скорости в пограничном слое — только от двух координат. В трехмерной задаче потенциальное течение, существующее за пределами пограничного слоя, зависит уже от двух координат на поверхности стенки, а скорость течения в пограничном слое имеет все три составляющие, которые в самом общем случае зависят от всех трех координат. Примерами таких трехмерных течений в пограничном слое, являющихся одновременно точными решениями уравнений Навье — Стокса, могут служить течение вблизи диска, вращающегося в покоящейся жидкости ( 2 главы V), и вращательное движение жидкости над неподвижным основанием ( 1 настоящей главы). Если линии тока трехмерного потенциального течения прямолинейны, но сходятся или расходятся, то по сравнению со случаем плоского потенциального течения получается в. основном только изменение толщины пограничного слоя. Если же линии тока потенциального течения искривлены, то, кроме продольного перепада давления, в течении имеется также поперечный перепад давления. Давление в потенциальном течении, как мы знаем, передается без изменений в пограничный слой. Следовательно, наличие поперечного перепада давления в потенциальном течении должно проявлять себя в пограничном слое в виде вторичных течений. В самом деле, в то время как вне пограничного слоя поперечный перепад давления уравновешивается центробежной силой, внутри пограничного слоя это равновесие нарушается, так как здесь центробежная сила вследствие уменьшения скорости становится меньше в результате возникает перенос жидкости внутрь, т. е. по направлению к вогнутой стороне линий тока потенциального течения. С примером такого явления мы уже познакомились при рассмотрении вращательного движения жидкости над наподвижпым основанием там в пограничном слое происходил радиальный перенос жидкости по направлению к оси вращения. [c.241]

Таким образом, два случая, рассмотренные выше, являются не только примерами задач об устойчивэсти основных течений, определяемых точными решениями уравнений Навье — Стокса. Они представляют также различные общие физические аспекты задач гидродинамической устойчивости. В них ясно продемонстрирована разница между параллельными и криволинейными течениями. [c.65]

Задача о движении нескольких вихрей имеет ряд существенных достоинств. Во-первых, она допускает простое численное интегрирование в рамках современных вычислительных подходов. Во-вторых, в ряде случаев симметрии движения относительно прямой или точки удается построить аналитические выражения для зависимости координат от времени или установить относительные траектории движения. Наличие точных решений позволяет оценивать эффективность вычислительных алгоритмов решения задачи Коши применительно к нелинейным вихревым движениям. И, наконец, если задача трех вихрей в целом интегрируема, то четыре и более вихрей обеспечивают простейший (если можно употреблять такое слово) прид1ер хаотического поведения. Отметим, что хаотическое движение нельзя рассматривать как пример турбулентных течений, поскольку турбулентность в обычном понимании означает стохастическое поле скорости, описываемое детерминированными уравнениями Навье — Стокса. Скорее вдесь речь должна идти о новом режиме течения, не укладывающемся в традиционное деление на ламинарное и турбулентное движение. Стохастическое движение системы нескольких вихрей представляет собой ламинарный поток со стохастическими свойствами. Когерентные вихревые структуры в турбулентных ( например сдвиговых ) течениях, наоборот, представляют собой регулярные картины потока в стохастическом поле скорости. [c.73]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...