Задача Прандтля — Майера

Наиболее универсальным способом построения контура лопатки после узкого сечения является хорошо известный метод характеристик, в основе которого лежит теоретическое решение задачи об обтекании тупого угла сверхзвуковым потоком, полученное Прандтлем и Майером. В этом случае спинка лопатки после узкого сечения строится как линия тока при обтекании сверхзвуковым [c.181]

Рассмотрим принципиально отличающуюся от предыдущей задачу Прандтля — Майера 2) о повороте сверхзвукового потока вокруг кромки выпуклого угла О (рис. 108). Как далее станет ясным, нисколько не нарушая общности, можно предполагать, что начальный поток слева от [c.312]

Отсутствие интерференции между решеткой и потоком со сверхзвуковой осевой составляющей скорости и главным образом возможность склеивания сверхзвуковых течений по линиям слабых и сильных разрывов послужили основой для разработки различных способов решения обратной задачи — построения сверхзвуковой решетки, поворачивающей поток на заданный угол. Один из методов построения таких решеток, указанный С. И. Гинзбургом в 1950 г., основан на использовании в общем случае системы косых скачков на входе и последующих течений Прандтля — Майера 2). Примеры такого типа решеток представлены на рис. 10.57. Они носят лишь учебный характер. [c.78]

Результаты, полученные в 2—4, могут быть применены непосредственно к расчету гиперзвукового обтекания тонкого заостренного спереди тела, так как течение у поверхности такого тела представляет собой либо течение за косой ударной волной (при положительном угле отклонения потока), либо в плоской задаче течение Прандтля — Майера (при отрицательном угле отклонения потока). [c.116]

Часть вопросов и задач данной главы знакомят с математическими основами метода характеристик, условиями, при которых имеются решения характеристических уравнений и возможен расчет газовых течений методом характеристик. Ряд из них посвящен выяснению физического смысла характеристик, рассмотрению условий совместности уравнений для таких характеристик. Особое внимание уделяется практическому использованию метода характеристик на примерах расчета течений Прандтля—Майера и решения отдельных задач, связанных со сверхзвуковыми плоскими или пространственными осесимметричными течениями. [c.138]

Решению этой задачи предшествует предварительный расчет параметров невязкого потока, осуществляемый при известной форме заостренного профиля с использованием теории скачков уплотнения и течения разрежения (течения Прандтля — Майера). Для заданной формы профиля крыла и параметров невозмущенного потока распределение скорости на внешней границе пограничного слоя можно аппроксимировать в виде [c.752]

Возникает область вакуума P = R = 0. Таким образом, уравнение (2.90) имеет единственный корень, если выполнено условие и,—И2 /вак=—2 ui + a2) ( —1). Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой для создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовой динамики. Аналогичная задача о взаимодействии двух стационарных сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений. Конфигурации, возникающие при взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям в нестационарном течении и изображены на рис. 2.11, а—5. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Майера (2.74), а не инвариантами Римана. Ограничимся этими краткими замечаниями. В дальнейшем при изложении методов сквозного счета будут приведены расчетные формулы. [c.66]

Известно [8], что при небольшой интенсивности скачков и при условии, что источниками возмущения являются только обтекаемая линия тока (в нашем случае — поверхность раздела между дозвуковым и сверхзвуковым потоками) и подходящие к ней из бесконечности скачки уплотнения, течение в сверхзвуковой области можно приближенно (с точностью до членов второго порядка относительно интенсивности скачков включительно) представить в виде простых волн (течений Прандтля-Майера), отделенных друг от друга скачками уплотнения. В [8] дается аналитический метод расчета таких течений, включающий и определение формы скачков. В течении Прандтля-Майера все характеристики потока — давление, плотность, величина скорости и угол ее наклона к некоторому фиксированному направлению — могут быть выражены через одну из них независимо от конкретного вида течения, если известны условия в какой-либо точке, например, в бесконечности. В частности, можно указать связь между давлением и углом наклона вектора скорости на той линии тока сверхзвукового течения, которая отделяет его от дозвукового слоя (в задаче 2 эта связь различна до и после падающего скачка). [c.57]

Графический метод Прандтля—Буземана, так же как и метод Прандтля— Майера, применим для расчета только плоского потенциального течения. Задача же о трехмерном потоке, даже с осевой симметрией, несравненна более сложна и долгое время не поддавалась изучению. Оригинальное решение ее было предложено в 1929 г. А. Буземаном . Он обратил внимание на то, что ударная волна у носка снаряда имеет коническую форму. При про- [c.316]

Класс точных решений уравнений газовой динамики удалось получить, применяя методы теории размерностей и подобия. Основная заслуга в этом принадлежит Л. И. Седову. В 1944 г. он дал общий прием для нахождения решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для одномерных неустановившихся течений (которые описы- 331 ваются нелинейными уравнениями) он рассмотрел случаи, когда искомые функции содержат постоянные, среди которых одна или две постоянные с независимыми размерностями. Седов доказал, что если среди размерных параметров, определяющих движение совершенного газа, кроме координаты г и времени t имеются лишь два постоянных физических параметра с независимыми размерностями, то уравнения в частных производных могут быть сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Движения газа, определяемые этими условиями, были названы автомодельными. Такими решениями были течения Прандтля — Майера, сверхзвуковые течения около кругового конуса с присоединенным скачком. В 1945 г. Седов нашел точные решения уравнений одномерного неустановившегося движения в случае плоских, цилиндрических и сферических волн (движение поршня в цилиндрической трубе, задача детонации, движение газа от центра и к центру) . [c.331]

К первым советским работам, в которых использован такой подход к расчету сверхзвуковых течений с ламинарными отрывными зонами, принадлежат работы [1, 2]. В обеих работах для расчета давления на границе пограничного слоя использованы соотношения Прандтля — Майера. Кроме того, в работе [1], где рассматривается задача о падении скачка уплотнения на пограничный слой, учитывались соответствующие условия разрыва в точке падения скачка. В этой работе использовано однопараметрическое семейство степенных профилей скорости и энтальпии торможения в переменных Дородницына. В работе [2] использовано однопараметрическое семейство профилей скорости автомодельных решений уравнений пограничного слоя. Рассчитывалась отрывная зона, возникающая перед щитком. Сравнение результатов расчета с экспериментальными данными показало, что хорошее-совпадение получается для не слишком длинных зон отрыва, не имеющих развитой области с почти постоянной величиной давления. [c.268]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Отметим, что, как следует из дальнейшего ( 14), если угол поворота стенки достаточно велик и стенка после поворота продолжается под постоянным углом в бесконечность, решения задачи об обтекании вогнутой стенки сверхзвуковым потоком вообще не существует (и с учетом возможного образования скачков) если же стенка в дальнейшем вновь отклоняется и образует небольшой угол с направлением набегающего потока, то решение существует, но скачок уплотнения может при этом начинаться перед точкой начала искривленного участка стенки (рис. 3.12.3). Область, занятая течением Прандтля—Майера, при этом, конечно, отсутствует. [c.292]

Итак, требуется найти решение в полуплоскости л > О по заданным распределениям параметров газа на прямой х = 0, имеющим разрыв в точке О. Автомодельные решения этой задачи, если они существуют, должны строиться, как уже говорилось, из областей однородного потока, отделенных скачками уплотнения, тангенциальными разрывами или областями центрированных течений Прандтля— Майера. Из тех же соображений, что и в задаче о распаде разрыва в 12 гл. II, следует, что в каждую сторону от тангенциального разрыва (в частности, от твердой стенки или от свободной границы), может отходить либо один скачок уплотнения, либо одна центрированная волна Прандтля — Майера. [c.307]

Действительно, рассмотрим решение задачи в плоскости 0, р (рис. 3.15.2, б). Построим сердцевидную кривую для данных условий в набегающем потоке. Если точка О сердцевидной кривой, соответствующая состоянию газа за скачком, лежит ниже точки 5, в которой скорость газа за скачком равна скорости звука или совпадает с ней, то через эту точку можно провести в плоскости 0, р линию 07 , описывающую расширение газа в волне Прандтля— Майера. Эта линия (соответствующая эпициклоиде в плоскости и, V) при уменьшении 0 доходит до линии р = 0 (соответствующей окружности максимальных скоростей в плоскости и, V) и, следовательно, [c.309]

При постановке задачи следует уточнить, что рассматривается именно трансзвуковое обтекание выпуклого угла. Действительно, дозвуковое обтекание выпуклого угла не существует, так как тогда из принципа подобия для псевдоаналитических функций следовало бы, что в угловой точке скорость обращается в бесконечность. Асимптотика чисто сверхзвукового обтекания, когда поток в достаточно малой окрестности угловой точки сверхзвуковой, дается течением Прандтля-Майера. Ниже будет рассматриваться только течение, дозвуковое вблизи одной стороны угла и сверхзвуковое вблизи другой стороны. Итак, рассмотрим окрестность угловой точки О (рис. 7.8). Пусть поток вблизи стенки О А — дозвуковой, а вбли- [c.209]

Очевидно, из этих двух уравнений также легко определить щ, 2, что предлагаем читателю. Пользуясь вышеописанными операциями, можно решить ряд задач газодинамики, например, обтекание газом бесконечной линии, выпуклость которой направлена в сторону потока (течение Прандтля-Майера). [c.312]

В Главе 6 рассматриваются нелинейные стационарные двумерные волны (типа волн Прандтля-Майера в газовой динамике) в системе координат, относительно которой среда движется, а также соответствующие автомодельные задачи. [c.10]

Нахождение решения представляет собой сложную задачу, поскольку форма каверны и число кавитации заранее неизвестны. Кроме того, неизвестно аналитическое решение для потенциала возмущенных скоростей течения Прандтля - Майера в случае осесимметричного потока. Следовательно, невозможно применить процедуру метода сращиваемых асимптотических разложений и срастить течение Прандтля -Майера у кромки конуса с кавитационным течением от распределенных источников и стоков. В данном случае наиболее целесообразно применить численный метод (см., например, [14]). [c.78]

Распределенные интерференционные аэродинамические нагрузки для случая двух тел определены численно А.Н. Кравцовым с помощью комплекса программ, описанного в [10]. В этих программах обтекание тела (системы тел) сверхзвуковым потоком газа рассчитывается маршевым методом с выделением основных ударных волн и при отсутствии в поле течения дозвуковых зон. Конечно-разностная схема (Мак-Кормака) имеет второй порядок точности. Заметим, что численное решение задачи обтекания тел с ярко выраженными областями разрежения (в данном случае это течения Прандтля - Майера в окрестности изломов образующей тела при переходе от конического носка к цилиндрической части корпуса) даже в случае выделения ударных волн в качестве разрывов имеет лишь первый порядок точности из-за разрывов первых производных газодинамических функций на начальных характеристиках вееров разрежения. Тем не менее, как показывают сравнения, выполненные в [10], эксперимент и расчет дают очень близкие результаты по силовым и моментным характеристикам для тел рассматриваемого класса. [c.194]

При постановке задач о наилучшей форме тел в сверхзвуковом потоке возникнет необходимость определения условий, которым функции V , д, р, р или их часть, подчиняются на характеристиках. Предельно быстрое увеличение плотности приводит к соответствуюшим разрывам функций на ударных волнах, предельно быстрое уменьшение — к конечным скоростям изменения р на характеристиках с возможной бесконечной скоростью изменения р в точке или даже с разрывом в точке фокусировки характеристик (как, например, в течении Прандтля—Майера). [c.52]

Для плоских установившихся движений газа Л. И. Седов предложил использовать в качестве независимых переменных давление р и функцию тока г , а в качестве искомой функции — угол 0 наклона вектора скорости к оси X. Для функции 0 р, г ) также получается уравнение, линейное относительно ее вторых производных. Л, И. Седов (1950) и М, П. Михайлова (1949) рассмотрели решение задачи Коши для этого уравнения с помощью рядов р1азличного вида и изучили его характеристики, Седов нашел точные решения уравнения для 0, в том числе решение, обобщающее решение Прандтля — Майера на некоторый класс вихревых течений, а также установил свойства монотонности изменения газодинамических параметров вдоль характерных линий в области течения эти свойства обобщают аналогичные предложения для безвихревых течений, установленные А, А. Никольским и Г, И, Тагановым (1946), Седову удалось найти частные примеры точного решения задачи сверхзвукового обтекания тела со смешанным течением за скачком, но для неоднородного набегающего потока. [c.161]

Задача обтекания тел идеальной плазмой при наличии магнитного поля на бесконечности рассмотрена в работах М. Н. Когана (1959—1961). В отличие от обычной газодинамики МГД-уравнения идеальной плазмы обладают в общем случае четырьмя характеристиками. В соответствии с этим имеются гиперболические течения с четырьмя действительными характеристиками и эллиптико-гиперболические течения с двумя действительными и двумя мнимыми характеристиками. Если магнитное поле на бесконечности параллельно скорости набегающего потока, то во всем течении. В этом случае две характеристики сливаются с линией тока и имеются гиперболические и эллиптические области. Интересно отметить, что течение может быть гиперболическим при дозвуковых скоростях и эллиптическим при сверхзвуковых. Наиболее своеобразны течения в дозвуковых гиперболических областях. Здесь ударные волны и волны разрежения типа Прандтля — Майера могут уходить вверх по потоку от обтекаемого тела (М. Н. Коган, 1959, 1960) ). [c.439]

Таким образом рассчитывается все течение внутри канала вплоть до характеристики первого семейства Ofi, ограничивающей слева область влияния неизвестной заранее части границы области течения—свободной линии тока, исходящей из точки О. Если полученное при расчете давление р в точке О (т. е. давление в этой точке при подходе к ней из области уже найденного течения и, в частности, при подходе вдоль граничной характеристики OF ) окажется совпавшим с давлением р в окружающем пространстве, то течение может быть непрерывно продолжено вправо от характеристики OFi путем решения задачи III6. Если же рфр , то из-за несогласованности условий на заданной характеристике O i и на отыскиваемой линии тока 0G течение в точке О будет иметь особенность. При Р>Р согласно сказанному ранее течение в окрестности точки О будет центрированной волной Прандтля—Майера и может быть описано аналитически в небольшой области ОЕН за отрезком ОЕ характеристики 0/ 1, на котором значения параметров газа можно считать постоянными, с помощью полученных ранее в этом параграфе формул. После нахождения течения в областях HEF H и HJF E (путем решения задач II и Illa соответственно) течение справа от характеристики НЕ находится в результате решения задачи II16, но уже при условиях на этой характеристике, согласованных в точке Н с условиями на продолжении свободной линии тока HG. [c.291]

Существует, однако, тело, для которого вопрос о корректной постановке задачи может быть в принципе изучен при естественных априорных предположениях о схеме течения достаточно полно. Это тело — конечный симметричный клин изображением его стенки в плоскости годографа является прямая /3 = onst. Ф. И. Франкль показал [104], что при обтекании клина звуковая линия не может опираться на его сторону во внутренней точке, поэтому если решение существует, то звуковая линия выходит из задней острой кромки клина, в окрестности которой за звуковой линией) поток расширяется, с асимптотикой течения Прандтля-Майера. М-область О АВС О в физической плоскости и в плоскости годографа показана на рис. 8.9 при условии достаточно низкого давления за кромкой А на задней [c.225]

Найденное значение местного числа Мос позволяет определить угол Маха цос=агс8 п (1/Мос). Графическое решение задачи о течении Прандтля —Майера показано на рис. 7.4.2, б. Координата точки С пересечения эпициклоиды с прямой О О. параллельной плоскости ОС, определяет относительную скорость Яос возмущенного потока около плоскости ОС. в физической плоскости точке соответствует точка С пересечения линии тока с характеристикой ОЕ. [c.266]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...