Уравнение изотропной линейно-упруго

Обратим внимание на важную особенность системы (4.17) в нее не входят константы упругости и и. Следовательно, при заданных на поверхности пластинки нагрузках р , ру (4.4) эти уравнения могут быть решены и дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Это положение обычно называют теоремой Леви. Она служит теоретическим основанием, позволяющим напряжения, найденные на моделях, изготовленных из какого-либо материала, переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные детали конструкций, выполненные из другого материала. Например, в методе фотоупругости используются прозрачные модели, а результаты экспериментальных исследований переносят на стальные, бетонные и т. п. элементы конструкций. Подчеркнем, что строго это положение справедливо только для элементов с заданной поверхностной нагрузкой (а не перемещениями) и, как показывает более подробный анализ, только для односвязных тел, т. е. тел без отверстий. В телах с отверстиями для применимости теоремы Леви надо, чтобы выполнялось дополнительное условие, а именно на каждом из замкнутых контуров тела и отверстий главные векторы и момент поверхностной нагрузки должны быть равны нулю. [c.77]

Рассмотрим основные уравнения статики линейно-упругого изотропного тела [c.81]

Эти векторы показаны на рис. 18.9. Для изотропных линейно , упругих оболочек, приняв гипотезы а з Оц, а.22 и повторив дословно приведенные в 16.5 построения для пластин, связь между усилиями Nj, N2, N- , моментами Л ,, М2, Мц и характеристиками деформации е,, 62, 1 12, усц, 22. И12 получим в форме (16.26). Так как значения усилий и моментов при переходе от сечения к сечению изменяются, то с учетом этих изменений изображенную на рис. 18.9 картину следует уточнить, что сделано на рис. 18.10, где указан и вектор поверхностной нагрузки Составляя уравнения равновесия мембранных усилий и моментов аналогично тому, как это сделано для пластинки, получим [c.430]

В простейшем случае для изотропного линейно-упругого тела эти уравнения (обобщенный закон Гука) записываются в форме [c.51]

Из этого уравнения определяется фазовая скорость с. Отметим, что волновое число в уравнение (57) не входит это означает, что в неограниченной однородной изотропной линейно упругой среде плоские волны не диспергируют. [c.394]

Упражнение 1.4. Показать, что для случая изотропной линейной упругой среды постоянная С находится из уравнения (1.17) в следующем виде [c.121]

Упражнение 2.5. Показать, что для изотропного линейного упругого тела уравнение (2.17) с учетом (2.12) можно записать в виде [c.124]

Сосредоточенные воздействия. Положим, что полупространство G2 занято однородной изотропной линейно упругой средой. Ее движение описывается уравнениями относительно скалярного Ф и векторного Ф потенциалов упругих смещений [c.350]

Уравнение состояния линейно упругого изотропного тела [c.227]

Соотношения (1.4)-(1.6) являются основными динамическими уравнениями теории упругости при малых деформациях. Классическая линейная теория упругости соответствует случаю, когда 1Г( ) - положительно определенная квадратичная форма относительно компонент тензора . Например, для однородной, изотропной линейной упругой среды 1Г(е) имеет вид. [c.7]

Уравнения динамики линейно упругой однородной изотропной среды [c.24]

Легко понять, что полученная задача об устойчивости очень трудная. Тем не менее многие работы посвящены решению этой задачи для токонесущих упругих стержней, балок, пластин и оболочек. Характер этих работ можно передать на примере задачи о пластине. Для пластины толщиной h вдоль оси z при пренебрежении касательными к плоскости или мембранными напряжениями интегрирование момента уравнения (5.15.11) по толщине пластины в случае изотропного линейно упругого ма- [c.328]

Для линейно-упругих изотропных тел физическими уравнениями являются соотношения обобщенного закона Гука, известные из курса сопротивления материалов [c.37]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Важно отметить, что система уравнений (5.33), (5.34) пригодна только для случая линейно-упругого изотропного однородного тела при изотермическом или адиабатическом процессе деформирования его, тогда как шесть уравнений совместности Сен-Венана пригодны для любого тела. [c.83]

Действительно, из этого рассмотрения можно получить модификацию задачи Гриффитса для изотропного упругопластического материала. Так как в случае изотропного однородного материала имеем только одно значение у и левая часть (23) совпадает со значением, вычисленным по уравнению (21) для линейно упругого случая, то [c.224]

Эти уравнения движения не зависят от характера соотношений между напряжениями и деформациями материала. Однако при исследовании распространения волн от динамических нагрузок из уравнений (12.1) целесообразно исключить напряжения с тем, чтобы оставить в них только неизвестные перемещения. Это можно сделать, используя зависимости между напряжениями и деформациями материала и зависимости деформаций от перемещений. Для линейно упругого изотропного материала уравнения движения можно, следовательно, выразить через три составляющие перемещения в следующем виде [c.367]

В третьей группе шести уравнений формулируется закон состояния линейно-упругого тела. Для изотропного тела и в изотермическом или адиабатическом процессах этот закон —обобщенный закон Гука — записывается в форме [c.124]

Тогда эти уравнения примут известный вид уравнений равновесия в перемещениях линейно-упругого изотропного тела [c.730]

Пример 5.3. Рассмотрим квазилинейную изотропную среду, которая при мгновенном нагружении ведет себя как линейный упругий материал. В такой среде определяющие уравнения имеют вид [c.147]

Решение любой двумерной задачи о плоской деформации линейно-упругого изотропного тела должно удовлетворять во всех точках рассматриваемой области уравнениям равновесия (2.7.1) При этом одна задача теории упругости отличается от другой только граничными условиями. Именно граничные условия служат [c.29]

Задача 5.6. Волны в упругой изотропной среде. Уравнение, которому подчиняется поле смещений и(/, г) в линейно упругой среде при отсутствии массовых сил, имеет вид (см. 4, гл. II ( 2.149)) [c.167]

Для линейно-упругого изотропного Тела уравнения, связывающие-напряжения с деформациями, можно записать как [c.155]

Совокупность формул (3.1), (3.3), (3.7) позволяет вывести линейное волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн в изотропном твердом теле. Подставляя (3.7) в (3.1), получим [c.29]

Простейшим примером уравнения состояния может служить обобщенный закон Гука для модели линейно-упругой изотропной сплошной среды, формулирующий связь между компонентами тензора деформаций (2.3) и компонентами тензора напряжений (2.9) в виде линейных зависимостей [c.25]

Упругая сплошная среда. Линейно-упругая изотропная сплошная среда характеризуется уравнением состояния в виде закона Гука и представляет собой одну из наиболее простых классических моделей сплошных сред. Свойство упругости означает полную обратимость процесса деформирования при освобождении от нагрузки приобретенная упругим телом деформация исчезает. Математически это выражается формулировкой уравнения состояния в виде конечных однозначных функций (2.11), связывающих компоненты тензоров напряжений и деформаций. Если в формулах [c.25]

Для решения задач прикладной геомеханики используются физические уравнения теории упругости (линейной и нелинейной),, пластично-вязких течений и др. Кратко остановимся иа основных уравнениях состояния, связывающих напряжения и деформации-Для описания поведения изотропного однородного упругого тела необходимо знать модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Кроме этих двух констант, используются две другие упругие константы, которые непосредственно связаны с шаровой и девиатор-ной составляющими тензора напряжений модуль объемной деформации К и модуль сдвига (перекоса) О. [c.55]

Использовав эту теорему и применив преобразования (5.119) ко всем условиям и уравнениям краевой задачи линейной теории вязкоупругости для нестареющих изотропных сред, получим краевую задачу в изображениях, формально совпадающую с обычной краевой задачей линейной теории упругости отличие от обычной задачи состоит в том, что все заданные и искомые функции, а также модули упругости зависят от комплексной переменной р как от параметра. [c.241]

Рассмотрим смесь из двух вязкоупругих компонентов, каждый из которых проявляет мгновенную упругость. В предположении изотропности, однородности и линейности двухкомпонентной вязкоупругой среды движение материала среды описывается следующей системой уравнений в напряжениях [c.16]

Тела заполнены однородными изотропными линейно упругими средами, характеризующимися константами и Контакт происходит в условиях свободного проскальзывания, а вне поверхности контакта границы тел свободны от напряжений. Соответствующая краевая задача включает в себя взятые в той или иной форме уравнения, описывающие плоские деформированные состояния обоих тел (см. 5.1), условия ограниченности регцения на бесконечности, а также снесенные на ось Ох граничные условия в области контакта х1 а [c.100]

Для подробного ознакомления с линеаризованной теорией упругости читатель может обратиться к книге Сокольникова J59J ). Краткая сводка основных уравнений для справок дана в настоящем приложении. Несколько подробнее рассматриваются результаты, относящиеся к волновым и колебательным движениям изотропных однородных линейно упругих тел. [c.393]

Итак, соотношение (2.41) определяет G с помощью интеграла, не зависящего от пути интегрирования (в этом уравнении отсутствует интеграл по области). Этот результат получил Гур-тин [8]. Заметим, что — квазнстатическое значение удельной высвобожденной энергии J (т. е. в этом случае инерционностью материала пренебрегаем). Таким образом, G представляет математически удобный интеграл в случаях (1) изотропной однородной линейной упругости, (2) когда и Я не зависят от температуры и (3) когда температура удовлетворяет зависимости 0 а —О, причем физический смысл этой величины в некоторой степени остается неясным. Здесь следует отметить, что ситуация, когда имеющий физический смысл параметр разрушения может быть равноценно представлен одним лишь интегралом по дальнему контуру (т. е. без учета интеграла по области), на практике случается достаточно редко. [c.139]

Трещина в упругом теле. Рассмотрим трещину jJi О, а 2 = О в линейно-упругом однородном изотропном теле в условиях квазистатики, отсутствия объемных сил и начальных напряжений. В этом случае в уравнении (1) Г = О, Я = О, а W = i/ —однородная квадратичная функция напряжений. Выберем контур Se в виде окружности радиуса е с центром в конце трещины с вырезом при ф1-f А Ф Ф1 контур Se состоит из дуги окружности радиуса б и отрезков радиальных прямых <р = ф, и ф = ф1-1-А (рис. 1). Берега трещины считаем свободными от внещних нагрузок, поэтому на них 1=0, 0,/и, = О, т. е. Г = О вдоль берегов. Пусть е О, так что контур Se лежит в области действия упругой асимптотики ац = fij (ер) [c.355]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

В заключение отметим, что выше рассматривалась только линейная упругость кристаллов и речь шла, соответственно, о модулях упругости второго порядка, т. е. о линейных модулях. Для описания нелинейной упругости даже кристаллов кубической симметрии требуется 14 модулей упругости третьего порядка, а для триклинных кристаллов их число достигает 56 [80. Поэтому уравнения нелинейной акустики кристаллов обычно строятся для особенных кристаллографических направлений, для которых они приобретают форму рассмотренных выше нелинейных уравнений упругости изотропного твердого тела с соответствуюш,им набором нелинейных параметров. Эти параметры, т. е. модули упругости третьего по-ркдка, также определяются из ультразвуковых измерений 180]. Таких измерений проведено мало, а между тем нелинейные акустические эффекты играют важную роль в квантовой акустике для описания таких процессов, как фонон-фононные взаимодействия, а также спин-фононные, фотон-фононные и другие виды взаимодейст ВИЙ [87]. Эти интересные вопросы, однако, выходят за рамки данной книги. [c.265]

Уравнение (5 Л 5) при а = 1, т = 1, /З1 = О соответствует задаче о трещине в линейно-упругой однородной изотропной среде при наличии линейно-деформируемых связей. Можно показать, что при 0<а< 1, а =0 уравнение (5.15) в приближенной постановке с учетом обобщенного принципа суммирования перемещений [5, 6] отвечает задаче о трещине в нелинейноупругой среде со степенным законом связи дивиатора напряжений и интенсивности деформаций сдвига и условиям установившейся ползучести при степенном законе связи между интенсивностями напряжений и скоростей деформаций. [c.126]

Рассмотрим линейную теорию магнитоупругости изотропных идеальных проводников в ее полной трехмерной форме, но в отсутствие тепловых эффектов линеаризация считается доведенной до конца. Это означает, что уравнения для магнитного поля также линеаризованы относительно постоянного поля Во, а В будет обозначать малое отклонение магнитной индукции. Линеаризация проводится в предположении, что невозмущенное состояние среды не имеет скоростей и напряжений. Плотность ро и коэффициенты Ламе Я и jx могут изменяться в пространстве. При таких условиях уравнения (5.4.1)з, (5.4.17), (5.4.2) и определяющие уравнения для тензора упругих напряжений переписываются в виде (от последнего взята производная по времени) [c.287]

Вывод исходных уравнений для исследования устойчивости ортотропной оболочки принципиально ничем не отличается от вывода соответствующих уравнений для изотропной оболочки. Исходные уравнения по-прежнему являются результатом синтеза геометрических, статических и физических соотношений задачи. Первые две группы уравнений остаются такими же, как и для изотропной оболочки, изменяются только физические соотношения. Последние для тонкостенной линейно-упругой ортотропной оболочки в случае совпадения координатных осей с основными направлениями упругости (направления ориентации стекловоло- [c.296]

Уравнения (3.4) и (3.5) описывают изменения гармонических амплитуд сдвиговых колебаний, прошедших образец, изготовленный из среды, проявляющей поперечно-изотропную симметрию упругих свойств и эффект линейной анизотропии поглощения, соответственно в первом случае, когда векторы поляризации излучателя и приемника параллельны, а во втором, - скрещены под углом 90". При проведении экспериментальных наблюдений ЭЛАП измерения амплитуды огибающей сумарного колебания удобнее всего осуществлять на входе приемного преобразователя. При наличии эффекта амплитуда огибающей в положении ВП, уравнение (2.13), с учетом множителя (3.2) будет равна [c.45]

В данной главе получим классические уравнения деформирования среды в предположении, что среда эта — сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы. Там, где это необходимо, сделаем некоторые отступления от указанных допущений. В частности, далее в соответствующих главах будут подробно рассмотрены вопросы расчета упругонластических и вязкоупругих тел. [c.25]

Для оценки С. веществ в широком диапааове р используют уравнения состояния, выражающие связь между р, К и Т. Определяют С. непосредственно по изменению К под давлением (см. Пьезометр), из аку-стич. измерений скорости распространения упругих волн в веществе. Эксперименты в ударной волне позволяют установить зависимость между р и р при максимальных экспериментально полученных давлениях. С. находят также из измерений параметров кристаллич. решётки под давлением, производимых методами рентгеновского структурного анализа. С. можно определить измеряя линейную деформацию твёрдого тела под гидростатич. давлением (по т. н. линейной С.). Для изотропного тела коэф. линейной С. [c.492]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...