Вариационная формулировка метода конечных элементов

Как видно, оба классических функционала (4.37) н (4.49), обсуждавшиеся в п. 4.4.1 и 4.4.2, могут быть положены в основу вариационной формулировки метода конечных элементов. [c.140]

ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [c.46]

Некоторые основные понятия вариационной формулировки метода конечных элементов были проиллюстрированы в предыдущей главе на одномерном примере. Ниже иа примере двумерного теплового потока через квадратный блок этот метод распространяется на двумерные задачи. Задача вначале формулируется в глобальной системе отсчета, а затем преобразуется с использованием локальной системы координат. [c.46]

Вариационная формулировка метода конечных элементов [c.49]

Ранее отмечалось, что до учета граничных условий матрица жесткости системы К обычно симметрична. Действительно, можно показать, что вариационная формулировка метода конечных элементов с квадратичным или квадратично-линейным функционалом всегда приводит к линейной системе уравнений с симметричной матрицей [2]. [c.88]

Метод конечных элементов основан на определении температурного поля путем приближенного решения соответствующей вариационной задачи. Для формулировки этой задачи напомним понятие функционала. Оператор I [f (л )] называется функционалом, заданным на некотором множестве функций, если каждой функции / х) из этого множества по некоторому правилу ставится в соответствие числовое значение / [/ (х)]. Иными словами, функционал является как бы функцией от функции . В практических приложениях обычно встречаются функционалы, заданные в виде некоторых интегралов, в подынтегральные выражения которых входят функции / (х). [c.129]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

После этих предварительных замечаний перейдем к формулировке вариационных принципов, лежащих в основе метода конечных элементов. [c.351]

Таким образом, консервативные нагрузки (включающие гидростатическое давление) позволяют рассмотреть вариационную формулировку уравнений и, как следствие, получить симметричную касательную матрицу жесткости при решении методом конечных элементов задач с произвольной величиной деформаций. [c.123]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

Вариационная формулировка уравнений движения (2.5.13) удобна при решении вариационно-разностным методом, методом конечных элементов или дискретно-вариационным методом [12, [c.46]

Метод конечных элементов используется также при расчете на жесткость несущих систем, узлов и отдельных деталей металлорежущих станков. В частности, пользуясь приведенной методикой, по уравнению (1) и краевым условиям у 0 = у (О О можно составить вариационную формулировку задачи расчета шпинделя на жесткость. Экстремалью в этой задаче будет являться упругая линия шпинделя у х). [c.144]

Дальнейшее развитие метода конечных элементов связано с так называемым гибридным методом напряжений. Для каждого элемента применяются формулы для напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия элемента. Независимо от этого выбираются формулы для перемещений, обеспечивающие совместность перемещений на границах элементов, причем распределение перемещений на границах должно однозначно устанавливаться по перемещениям узловых точек. При вариационной формулировке оперируют принципами минимума потенциальной энергии и минимума дополнительной энергии деформации или расширенным вариационным принципом (привлекается модифицированный принцип дополнительной энергии Пиана [44, 45]). [c.140]

Конечноэлементная формулировка задачи. К волновому уравнению может быть применен метод конечных элементов. Вариационную формулировку для двухмерной задачи, соответствующую уравнению (5.33), можно записать в следующем виде [c.163]

Для того чтобы оценить значение различных альтернативных подходов при формулировке конечно-элементных соотношений, полезно изучить взаимосвязь между простой моделью поведения конечного элемента и поведением реальной конструкции. Эта модель наглядно характеризует поведение элемента, хотя существуют и другие равноценные способы рассмотрения основополагающих концепций метода конечных элементов. Действительно, подход, основанный на энергетических или вариационных принципах (гл. 6),— это, по-видимому, наиболее широко используемая схема реализации метода конечных элементов. Однако в этом подходе основополагающие концепции метода конечных элементов рассматриваются с других позиций, нежели в настоящей главе. [c.41]

Вариационная формулировка позволяет изучить вопросы, свя занные с понятием согласованности в случае конечно-элементно дискретизации физической задачи. Ранее уже отмечалось, что внут ри одной и той же области функция должна быть дифференцируем столько раз, каков порядок производных в соответствующем урав нении Эйлера (т. е. для стержневого элемента уравнение Эйлер, имеет второй порядок, поэтому функция должна быть не менее чe квадратична). В методе конечных элементов функционал полно системы состоит из суммы функционалов П- для р отдельных облас тей (элементов), т. е. [c.168]

ОДНОМЕРНЫЙ ПРИМЕР ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В этой книге будут рассматриваться только три варианта метода конечных элементов вариационный, невязок и прямой, хотя существуют и другие формулировки [12, 13]. Вначале на простом одномерном примере иллюстрируется использование вариационного подхода. [c.25]

Рассмотрим двумерную задачу теплопроводности через брус квадратного сечения Чрис. 2.1). На верхнем торце бруса поддерживается температура 100°С, на иижнем 50°С, а боковые поверхности идеально изолированы. Требуется нантн распределение температуры в брусе, и в частности температуру в точке А (рис. 2.1). Воспользуемся вариационной формулировкой метода конечных элементов, в которой применяется глобальная система координат Оху. [c.46]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Первое издание книги профессора Васидзу Вариационные методы в теории упругости и пластичности , опубликованное в 1968 г., было хорошо принято инженерами, преподавателями и студентами, занимающимися механикой деформируемого твердого тела и строительной механикой. Публикация этой книги была своевременной, потому что она совпала с периодом бурного развития приложений метода конечных элементов. Принципиальные отличия первого издания состояли в систематическом подходе при выводе вариационных принципов в теории упругости и пластичности, в преобразовании одного вариационного принципа в другой и в обеспечении систематического подхода при математической формулировке метода конечных элементов. Книга получила широкое распространение, и на нее часто ссылаются в литературе, связанной с методом конечных элементов. [c.10]

Итак, пусть сплошное тело мысленно разбито на конечные элементы, как указано в 13.3, и при формулировке метода конечных элементов рассматривается как совокупность этих элементов. В этом параграфе рассмотрим вариационные принципы, которые обычно используются в МКЭ. Для этого проследим в табл. 14.1 вывод вариационных принципов, начиная с принципа стационарности потенциальной энергии, последовательно выводя модифицированный принцип потенциальной энергии, модифицированный обобщенный принцип и кончая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. [c.363]

В главе I даются различные вариационные формулировки краевых задач для линейных дифференциальных уравнений. Это связано прежде всего с вариационной основой метода конечных элементов. Далее автор проводит дискретизацию вариационных задач и излагает схему мetoдa конечных элементов. [c.6]

Получение решения методом конечных элементов связано с приближенной шаишзацией функционала, который определяется как интеграл от неизвестных величин в узловых точках во всей области. Вариационная формулировка задачи (I) - (4) связана с рассмотрением функционала [c.134]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

Любой из приведенных в гл.1.4 функционалов может быть использован для построения конечно-элементных соотношений, т.е. для решения задач механики деформируемого тела с помощью метода конечных элементов. Используя принцип возможных перемещений (1.4.14), придем к построению МКЭ в варианте метода перемещений. Принцип возможных напряжений (1.4.50) приведет к МКЭ в варианте метода сил. При использовании смешанных вариационных принцицов (1.4.58), (1.4.61) получим смешанные формулировки МКЭ. Модифицированный принцип возможных перемещений (1.4.62), допускающий независимую аппроксимацию компонентов перемещений на границе и по объему каждого из конечных элементов, приводит к так назы,-ваемым гибридным формулировкам МКЭ. [c.63]

Формулировку вариационных принципов этой теории, так же как и теории упругости для сплошного тела (см. гл. 3, 6), можно обобщить, рассматривая в качестве варьируемых переменных разрывные поля перемещений, деформаций, усилий и функций напряжений. Вариационные принципы при разрывных полях параметров напряженно-деформированного состояния могут служить для построения алгоритмов расчета оболочек, в частности при использовании метода Ритца и метода конечных элементов, а также для решения некоторых контактных задач. [c.132]

В настоящее время профессор Васидзу подготовил переработанное издание своей книги, в которую включено новое приложение I. Это приложение дает представление об основных вариационных принципах, которые часто используются как базис для математической формулировки задач теории упругости и пластичности, включая новые вариационные принципы, разработанные в связи с методом конечных элементов. Так же как и в первом издании, приложение I написано ясно, кратко и элегантно — стиль, вообще свойственный профессору Васидзу. [c.11]

Используя эти соотношения, Гуртин вывел семейство вариационных принципов, имеющее структуру, аналогичную показанной в табл. 13.1, с той только разницей, что в этих принципах появляется функция g, используются свертки, учитывается влияние начальных условий и член с р. За подробностями читатель отсылается к оригинальным работам Гуртина. В заключение отметим, что вариационные формулировки, использующие интегралы типа свертки, использовались и в теоретических работах по применению методов конечных элементов в нестационарных задачах [12—15]. [c.378]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Другие вариационные формулировки выводятся в последующих главах, лосвященных приложениям метода конечных элементов, [c.150]

Сочетание метода Галёркина с кусочной аппроксимацией метода конечных элементов является чрезвычайно эффективным способом решения многих дифференциальных уравнений. Несколько примеров, связанных с техническими расчетами, были обсуждены в этой главе. Метод Галёркина, безусловно, получит широкое распространение благодаря тому, что он позволяет обходиться без вариационной формулировки задачи. [c.339]

В гл. 2 описываются основы конечно-элементной формулировки задач теории упругости в перемещениях. Необходимость внимательного изучения этой главы обусловлена тем, что ряд последующих глав, в которых рассматриваются различные задачи теории упругости, непосредственно основывается на разработанной здесь теории. В гл. 3 возможные другие подходы на основе принципов виртуальной работы и минимума энергии распространяются на вариационные задачи и показывается существенное сходство методов конечных элементов и Релея — Ритца. Наряду с этим в гл. 3 указывается иа возможность и других, не вариационных формулировок. [c.8]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...