Решение задачи двух тел

Если число материальных точек невелико, то легко можно решить эти уравнения числовыми методами с помощью аналоговой или цифровой электронно-счетной машины. Числовые методы являются общепринятыми для расчетов орбит систем, состоящих более чем из двух материальных точек. Решение задачи двух тел может быть выражено в аналитической форме, когда эти тела представляют собой однородные шары ниже мы получим это общее аналитическое решение задачи двух тел. Точные аналитические решения редко встречаются в физике. Они изящны сами по себе, но их научная ценность отнюдь не больше, чем ценность числовых решений. Не следует недооценивать удобства и возможности, создаваемые применением числовых методов расчета. В конце этой главы, в Дополнении 2, мы даем пример числового расчета орбиты. [c.280]

Кеплеровские элементы орбиты. Решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, определяемых начальными условиями движения. Их можно вводить по-разному и не обязательно именно так, как это было сделано в предыдущих пунктах в процессе решения задачи двух тел. Рассмотрим произвольные постоянные, которые носят название кеплеровских элементов орбиты и очень широко используются в небесной механике. За кеплеровские элементы принимаются следующие шесть величин, одпо-значно определяемых по начальным условиям Q, i, р, е, со, t. [c.204]

Чтобы закончить решение задачи двух тел, осталось найти закон движения точки Р по ее орбите. Будем считать, что орбита является эллиптической. Из интеграла площадей имеем = с. Отсюда, из уравнения орбиты (15) и равенств (14), (17) и (20) получаем [c.242]

Найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных. За них могут быть приняты константа т и пять из семи констант Сж, Су z /г, /ж, Л, связанных двумя соотношениями (10) и (12). [c.242]

Общая задача о седиментации разбавленной системы сферических частиц внутри кругового цилиндра может быть удобно рассмотрена при помощи решения задачи двух тел для двух сферических частиц и решения задачи о единичной сфере, эксцентрично расположенной в цилиндре (см. разд. 7.3). Ситуация для п сфер, оседающих в цилиндре, показана на рис. 8.3.4. Видно, что нужно рассматривать не только прямые взаимодействия всех сфер [c.437]

В свою очередь угол определяется известным решением задачи двух тел (см. любой учебник механики) [c.26]

В приближении Ландау. С другой стороны, при онисании столкновений частиц, в которых они сближаются друг с другом на малые расстояния, взаимодействие нельзя считать слабым, вследствие чего разложение но степеням Фаб(А ) становится непригодным. Близким столкновениям соответствуют волновые векторы к > где Гц = е /Т — расстояние между частицами, на котором средняя энергия взаимодействия становится порядка средней кинетической энергии. Строго говоря, чтобы описать такие столкновения, необходимо воспользоваться точным решением задачи двух тел. Иными словами, мы должны вернуться к интегралу столкновений Больцмана. Впрочем, с физической точки зрения ясно, что столкновения, соответствующие большим А , не могут играть существенной роли в слабо неидеальной плазме, поскольку в них могут участвовать лишь частицы, кинетическая энергия которых значительно превышает среднюю. Эти соображения, а также слабая зависимость интеграла в формуле (3.4.35) от пределов интегрирования оправдывают часто используемое обрезание расходимости интеграла столкновений Ландау, а именно, ограничение сверху и снизу области интегрирования по волновому числу [c.222]

Движение точки т относительно притягивающей точки М описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка (П1.15). Общий интеграл этой системы представляет совокупность шести независимых между собой первых интегралов. Итак, найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, причем в качестве таковых можно взять постоянную t и остальные пять из семи постоянных Сх,Су,Сг, /х, /у, /г, 5 которые связаны двумя уравнениями связи между интегралами (П1.23) и (П1.25). [c.414]

Конечно, в решении задачи двух тел шесть произвольных постоянных, определяемых начальными данными, о которых говорилось выше, можно ввести другим способом, а не описанным только что. Рассмотрим в связи с этим набор произвольных постоянных, называемых кеплеровскими элементами орбиты. [c.415]

В главе 2 приводится общее решение задачи двух тел для различных типов движения (эллиптического, гиперболического, параболического и прямолинейного). Подробное освещение этих вопросов можно найти в [1] — [5]. [c.221]

Общее решение задачи двух тел (см. формулы гл. 2) дает координаты тела Р в виде неявных функций времени. Приведенные в главе 2 формулы позволяют достаточно просто вычислять координаты и составляющие скорости для всех типов невозмущенного движения. Однако в некоторых случаях необходимо иметь выражения для координат в виде явных функций времени. Поскольку связь между координатами и временем устанавливается через посредство вспомогательных переменных типа эксцентрической аномалии Е, связанных со временем I при помощи трансцендентных уравнений, такие выражения могут быть получены только в виде рядов ). [c.231]

Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью метода Н. Н. Боголюбова [32] и его вариантов, разработанных для задач с быстрыми и медленными переменными [33] и специально для планетных задач [34] — 36]. [c.432]

Задачей двух тел называют задачу о движении замкнутой механической системы, состоящей из двух взаимодействующих между собой частиц. В теоретическом отношении эта задача интересна тем, что в отличие от задачи многих тел допускает полное и точное решение в общем виде, а ее практическое значение трудно переоценить решение задачи двух тел лежит в основе небесной механики и теории свободного движения искусственных спутников, в основе классической теории столкновений и рассеяния частиц. Идеи, [c.90]

Важный вопрос, на который не смогла ответить ранняя теория возмущений, был вопрос о длительной устойчивости Солнечной системы. Преобладало мнение, что движение планет является регулярным (квазипериодическим) и в конечном счете может быть вычислено при помощи новых математических методов. Это мнение подкреплялось известными решениями задачи двух тел и других простых механических задач, а также интерпретацией палеонтологических данных, которые наводили на мысль о регулярности движения Земли вокруг Солнца в течение сотен миллионов лет. [c.14]

Предположим теперь, что решение задачи двух тел известно. Тогда X + гу = г = (д [c.132]

Теперь сделаем преобразование переменных в уравнениях (12). Забудем на время, что уравнения (15) являются решениями задачи двух тел н [c.326]

Например, задача определения орбиты Луны, движущейся вокруг Земли, так же как орбиты планеты, движущейся вокруг Солнца, является (в первом приближении) задачей двух тел. Однако в обоих случаях влияние притяжения других тел (в первом случае — Солнца, во втором случае — других планет) усложняет простую картину, получающуюся из решения задачи двух тел. Еще пример полет межпланетного космического аппарата (КА) от Земли к Марсу представляет собой задачу четырех тел Солнце—Земля—Марс—КА. Тем не менее, если разбить эту задачу на три задачи двух тел [c.86]

Таким образом, общее решение задачи двух тел имеет большую практическую ценность. Поэтому такое решение будет подробно рассмотрено в данной главе. [c.86]

Решение задачи двух тел [c.88]

Из решения задачи двух тел следует, в частности, и первый закон Кеплера. Орбиты одного тела относительно другого классифицируются в соответствии с величиной эксцентриситета при [c.92]

В оставшейся части этой главы решение задачи двух тел применяется к задачам орбитального движения в Солнечной системе однако, как будет видно в дальнейшем, многие понятия и результаты могут быть оставлены без изменений и в случаях, когда, например, рассматриваются двойные звезды. [c.93]

Приведены таблицы для решения задачи двух тел. [c.127]

Под знаком интефала здесь стоит число переходов (pi, рз) — (р , Рз), происходящих за секунду в результате взаимодействия частиц по закону Ф( Г - гз ). Так как этот процесс рассеяния строго детерминирован, то конечные значения импульсов р и рз могут быть не любыми, а определяться решением задачи двух тел. Мы не будем здесь проводить решения этой задачи (уравнение Больцмана было нами уже ранее получено и достаточно подробно обсуждено), заметим только, что ввиду строгой определенности конечных значений импульсов в квадрате матричного элемента перехода будут содержаться 5(рз - pj) 5(pi - p i), где р, и pj — функции р,, Рз параметров столкновения и закона взаимодействия Ф( Г - гз ), а оставшееся выражение может быть представлено в виде [c.357]

Приведенная масса. Ранее ( 13) рассматривались уравнения динамики системы материальных точек. При этом указывалось, что решение их встречает для многих точек непреодолимые математические трудности. Действительно, точного решения системы уравнений (13.3) для произвольных сил не найдено уже в случае трех материальных точек, поэтому важна задача о замкнутой системе двух точек, называемая задачей двух тел. Она имеет простое и исчерпывающее решение — сводится к основной задаче динамики одной материальной точки. Решение задачи двух тел используется в небесной механике, описывающей движение планет и их спутников в Солнечной системе, в задачах на столкновение частиц, в статистической физике и других вопросах. [c.142]

Но пока что мы значительно не продвинулись в решении задачи двух тел, так как силы в уравнениях (15.3) зависят от расстояния между точками, а не от расстояния до центра масс, т. е. решать уравнения (15.1) отдельно для каждой точки нельзя. Однако именно в задаче двух тел эти трудности устраняются. [c.143]

Пример 15.3. Перевод решения задачи двух тел в лабораторную систему. Пусть скорость движения центра масс замкнутой системы двух материальных точек известна в некоторой неподвижной системе координат — лабораторной. В таком случае, решив задачу в Ц-системе. все результаты можно перевести в Л-систему. По формулам (3.1) и (3.6) имеем [c.144]

Приведенное выше решение задачи двух тел позволяет, в частности, рассчитать взаимное рассеяние двух частиц (или двух пучков частиц), движуш,ихся по инфинитным траекториям под действием взаимного кулонова притяжения или отталкивания. [c.97]

Найденное решенне задачи двух тел зависит от игести произвольных постоянных. За них могут быть приняты константа т и пять из семп констант с , с , с h, / , связанных двумя соот- [c.203]

Решение задачи двух тел, кратко изложенное в 5.4 и далее, представляет одно из самых больших достижений ньютоновой механики. В указанном выше смысле эту задачу можно считать полностью решенной, т. е. мы можем определить положения частиц в любой момент времени, если известны координаты этих частиц и их скорости в момент t = Q. Что же касается задачи трех тел, то ее нельзя считать решенной в этом смысле. Однако для многих частных случаев этой задачи, возникающих в астрономии, удается построить приближенное решение с весьма высокой степенью точности. Небесные тела приближенно можно считать имеюш ими сферическую форму со сферически симметричным распределением массы взаимное притяжение таких тел таково же, как у частиц, расположенных в их центрах. Если в качестве трех тел рассматриваются Солнце и две планеты, то основным упрощающим условием является то, что массы и m2 планет малы по сравнению с массой М Солнца, так что членами третьего порядка относительно mjM и m lM обычно можно пренебречь. (Например, масса Земли составляет менее чем 1/300 ООО массы Солнца.) Если же рассматривается движение Солнца (М), планеты (т) и ее спутника ( i), то отношения тп1М и [i/M всегда малы и, кроме того, [i/m мало, хотя порядок малости последнего отношения и отличается от порядка малости ml М. (Например, масса Луны составляет около 1/80 массы Земли.) Другое обстоятельство, облегчающее построение приближенных решений, заключается в том, что эксцентриситет планетных орбит, как правило, весьма мал (для орбиты Земли он составляет приблизительно 1/60). [c.562]

Сопоставляя (3.12) с интегралами (2.56), мы видим, что решение задачи двух тел отноюительно 8т можно найти сразу, если в общем решении, описывающем движение точки в центрально-симметричном потенциальном поле, произвести замену [c.117]

Суш ественно дополнены новыми задачами главы 1, 4, б, 7. В главу 1 введен новый раздел Космодинамика . Здесь собраны задачи, в которых вектор Лапласа используется для анализа коррекции траектории космического аппарата в пространстве и относительного движения в окрестности траектории космического аппарата. Приведено решение задачи о движении в космосе с малой тягой и задача о гравитационном ударе при облете планеты. Изложены решения задачи двух тел, упругого рассеяния частиц, ограниченная задача трех тел, рассмотрен вклад Луны в ускорение свободного падения. В главу б вошли задачи о движении маятника Пошехонова, гирокомпаса, кельтского камня, гироскопической стабилизации и пределе Роша. Раздел Электромеханика содержит 20 задач, в которых рассмотрены бесконтактные подвесы, космическая электростанция, униполярный генератор Фарадея, электромагнит, асинхронный двигатель, проводники во враш аюш емся магнитном поле, движение диэлектриков и парамагнетиков в неоднородном поле. [c.5]

Предположим, что три тела, массы и обозначения которых т, m2, тг, движутся под действием взаимного притяжения, определяемого законом Ньютона, причем ms m2решением задачи двух тел, рассмотренной в главе 2, Обсудим круговую ограниченную задачу трех тел. Тела т и то движутся относительно своего барицентра по круговым орбитам, находясь по противоположные стороны от пего. Расстояние между ппмп остается постоянным. [c.215]

Таким образом, задача приводится к решению дифференциального уравнения (12), не зависягцего от п, и системы алгебраических уравнений (13). При этом в случае п = 2 получим этим путем обгцее решение задачи двух тел, так как отрезок Р Р2, очевидно, всегда остается себе подобным. Тогда, кроме того, Ш1О + Ш2С2 = О, следовательно, С1 = = Ш2С, С2 = —птчС с комплексным О, и из (13) следует, что в этом случае величина с = —(ш1 + Ш2) С будет действительной и отрицательной. [c.132]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Задача двух тел важна по двум причинам. Во-первых, это единственная задача динамики гравитирующих тел, не считая некоторых специальных случаев задачи трех тел, для которой мы имеем полное и общее решение. Во-вторых, многие практические задачи орбитального движения могут быть отнесены в первом приближении к задаче двух тел. Решение задачи двух тел может быть использовано для получения приближенных параметров орбиты и при предварительных вычислениях. Оно может служить начальным приближением при получении аналитических решений, обладающих более высокой степенью точности. Такие решения, относящиеся к общей теории возмущений, будут обсуждаться в последующих разделах. [c.86]

Из-за наличия элементы орбиты в некоторый последующий момент будут равны а , е , <1, йх, о>1 и Ху. Величины (ау — а ) и Т-. д. являются возмущениями элементов на интервале (/1 — Q. Очевидно, этим возмущениям элементов соответствуют возмущения координат и компонент скорости. Если для получения положения х, у, г) и скорости (х,у,г)в момент использовать формулы задачи двух тел (гл. 4), а в качестве элементов взять оскулиру-ющие элементы при to, то полученные величины будут отличаться от соответствующих величин (х, у, г ) и х, у, г ), вычисленных по оскулирующим элементам при /1. Отклонения х — х ) и т. д. являются возмущениями координат и т. д. Использование решения задачи двух тел (конического сечения) в качестве средней орбиты дает хорошее приближение действительной орбиты тела на значительном интервале времени. Делались попытки использовать в качестве средней орбиты более точные приближения действительной орбиты. Примером может служить приближение, использованное Хиллом в построенной им теории движения Луны. В дальнейшем будет показано, что при рассмотрении движения искусственного спутника можно в первом приближении выбрать такую орбиту, которая будет описывать движение значительно точнее, чем простой кеплеровский эллипс. [c.180]

Однако следует заметить, что степень близости представления подобными модельными орбитами тех, которые требуются в действительности, зависит от продолжительности времени, затрачиваемого космическим кораблем на движение вблизи границ переходной области. Например, корабль, движущийся по геоцентрическому эллипсу с такими значениями большой оси и эксцентриситета, которые обеспечивают его удаление в апогее более чем на 42 земных радиуса, находился бы в силу И закона Кеплера гораздо более длительное время в пределах сферы действия Луны, чем корабль движущийся по орбите с другими значениями большой оси и эксцентриситета. Поэтому в первом случае можно ожидать гораздо более значительных изменений орбиты, чем во втором. Расчет орбиты прохождения через границу сферы действия можно выполнить по способу Энке или Коуэлла методом, описанным в разд. 11.4.4. При входе во внутреннюю сферу действия Луны возможно использование невозмущенной селеноцентрической орбиты до тех пор, пока корабль не выйдет из этой сферы действия. Итак, сказано достаточно для того, чтобы подчеркнуть, что в исследованиях выполнимости можно нередко пользоваться решением задачи двух тел в виде конических сечений для получения данных [c.386]

Это уравнение было получено Л. Д. Лавдау в 1937 г. Оно используется в целом ряде исследований плазмы со столкновениями для решения задач, в которых принятые при его выводе ограничения можно считать законными. Величина 1п (гв/гт1п), являясь, по существу, подгоночной, варьируется в разных задачах в пределах 6-20. В ряде дальнейших исследований это уравнение модифицировалось, сохраняя характерную конструкцию из одночастичных функций распределения, в которой вследствие прямого использования решения задачи двух, тел в частном случае относительно малых значений импульса передачи g < р pi (т. е. малых углов рассеяния ф) уже не содержится импульсных аргументов со штрихами. [c.420]

Невоэмущенным или кеплеровым движением называют такое движение материальной точки, которое происходит под действием только одной центральной силы гравитационного притяжения, величина которой, приложенная к пассивно гравитирующему КА, обратно пропорциональна квадрату расстояния до притягивающего центра. В этом случае оказывается возможным аналитически получить все необходимые первые интегралы уравнений движения баллистического невозмущенного движения КА, полностью его описывающие. Для решения этой задачи обычно используют хорошо разработанные в небесной механике методы решения задачи двух тел. сводящейся при принятых предположениях к ограниченной задаче двух тел. [c.52]

Описание и изучение орбит КА н небесных тел Солнечной системы на основе решения задачи двух тел является первым этапом при определении реальных движений тел любой природы. Это самое простое предстааление реальной картины движения, поэтому соответствующая данной задаче математическая модель движения КА является также наиболее простой. [c.79]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...