Интеграл столкновений Ландау

Рис. 3.11. Диаграммное представление интеграла столкновений Ландау

Интеграл столкновений Ландау графически изображается диаграммой, приведенной на рис. 3.11, но теперь нужно использовать новые обозначения (3.4.8) для элементов диаграмм. В данном случае нам даже не нужно переходить к -представлению в -представлении эта диаграмма дает выражение [c.220]

Его можно рассматривать как очевидное обобщение формулы (3.2.27)). В оригинальной работе Ландау [37] интеграл столкновений для слабо неидеальной плазмы был получен путем разложения интеграла столкновений Больцмана по степеням потенциала взаимодействия. Это приводит к марковскому кинетическому уравнению, в котором, к тому же, не учитывается нелокальность столкновений, т. е. аргументы и одночастичных функций распределения считаются равными. Выражение (3.4.27) является более общим, чем интеграл столкновений Ландау, так как оно учитывает нелокальность и запаздывание. Иногда это выражение называют обобщенным интегралом столкновений Ландау. [c.220]

Во многих реальных ситуациях масштаб неоднородности в плазме велик по сравнению с радиусом Дебая. Поэтому имеет смысл рассмотреть интеграл столкновений для пространственно однородной плазмы, в которой Д(га,р , ) = /а(Рд, ), а аргумент Га играет роль фиксированного параметра. Ниже будет показано, что в случае однородной плазмы многие принципиальные свойства интеграла столкновений Ландау проявляются в наиболее наглядной форме. [c.220]

В приближении Ландау. С другой стороны, при онисании столкновений частиц, в которых они сближаются друг с другом на малые расстояния, взаимодействие нельзя считать слабым, вследствие чего разложение но степеням Фаб(А ) становится непригодным. Близким столкновениям соответствуют волновые векторы к > где Гц = е /Т — расстояние между частицами, на котором средняя энергия взаимодействия становится порядка средней кинетической энергии. Строго говоря, чтобы описать такие столкновения, необходимо воспользоваться точным решением задачи двух тел. Иными словами, мы должны вернуться к интегралу столкновений Больцмана. Впрочем, с физической точки зрения ясно, что столкновения, соответствующие большим А , не могут играть существенной роли в слабо неидеальной плазме, поскольку в них могут участвовать лишь частицы, кинетическая энергия которых значительно превышает среднюю. Эти соображения, а также слабая зависимость интеграла в формуле (3.4.35) от пределов интегрирования оправдывают часто используемое обрезание расходимости интеграла столкновений Ландау, а именно, ограничение сверху и снизу области интегрирования по волновому числу [c.222]

Единственным исключением является интеграл столкновений Больцмана, в котором двухчастичный процесс рассеяния описывается точно. Отметим, однако, что интеграл столкновений Больцмана переходит в интеграл столкновений Ландау при малых волновых векторах и, следовательно, логарифмически расходится в этой области. [c.231]

Интеграл столкновений Ландау [1] [c.131]

I 35. ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ 133 [c.133]

Для интеграла столкновений Ландау, как и для интеграла столкновений Больцмана, характерно пренебрежение воздействием внешних полей на процесс соударения частиц. Поэтому в этом параграфе будем считать, что внешние поля пренебрежимо малы. Также будем считать пренебрежимо слабыми силы, обусловленные самосогласованным взаимодействием частиц. Тогда уравнение для парной корреляционной функции (48.5) можно записать в следующем виде [c.194]

Последнее выражение в точности отвечает ядру интегрального оие-ратора интеграла столкновений Ландау (35.9). [c.199]

Это уравнение является квантовым аналогом уравпепия (49,1) для парной корреляционной фупкции, которое было использовано на.ми при выводе интеграла столкновений Ландау. При Й = О уравнение (53.0) переходит в (49.1). [c.219]

В заключение вывода интеграла столкновений, соответствующего случаю высоких температур, сделаем одно замечание. Для состояний газа, в которых ст р) — О, интеграл столкновений несколько упрощается, поскольку в нем можно опустить слагаемое, соответствующее перебросу спина. Получаемое при этом выражение по форме имеет вид интеграла столкновений Больцмана, а по сути дела является квантовым аналогом интеграла столкновений Ландау (49.10). Следует заметить, что использование интеграла столкновений (53.11), например, в случае экранированного кулоновского взаимодействия не приводит к возникновению расходимости при больших передаваемых импульсах. При этом, посколь- [c.222]

Интеграл столкновений Ландау [c.207]

ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ [c.209]

ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ 211 [c.211]

В функции (59,11) под I надо понимать теперь линеаризованный интеграл столкновений Ландау [c.302]

В 89 мы рассматривали кинетическое уравнение для плазмы в приближении самосогласованного поля без учета столкновений между частицами. В этом параграфе мы перейдем к рассмотрению эффектов, вызванных столкновениями между частицами, и в результате преобразования интеграла столкновений в уравнении Больцмана мы получим кинетическое уравнение для плазмы (Ландау [44]). [c.515]

Если вычислить интеграл столкновений (3.4.14) с точностью до второго порядка по взаимодействию, то мы получим кинетическое уравнение Ландау. Фактически большая часть этой работы уже проделана нами в разделе 3.2.4 при выводе кинетического уравнения для систем со слабым взаимодействием. Поэтому здесь нам предстоит лишь уточнить некоторые детали, связанные с наличием частиц нескольких сортов и спецификой кулоновского потенциала. [c.220]

Сохраняя в правой части этого уравнения лишь первый член, получаем функцию G , которая есть не что иное как фурье-образ функции (3.4.38). Тем самым мы фактически возвращаемся к приближению Ландау для интеграла столкновений. Второй и третий члены в правой части уравнения (3.4.42) описывают поляризационные эффекты. Отметим, что эти члены играют важную роль при малых А , поскольку они расходятся в пределе А 0. [c.224]

Это уравнение отличается от уравнения (3.4.40) тем, что в левой части оно содержит точный двухчастичный оператор Лиувилля Ьаь-, не оператор описывающий свободное движение. Это отличие приводит к двум важным следствиям. Во-первых, с физической точки зрения уравнение (3.4.70) предпочтительнее уравнения (3.4.40), так как на малых расстояниях оно соответствует приближению Больцмана, а не приближению Ландау. Во-вторых, в математическом отношении уравнение (3.4.70) значительно сложнее, чем (3.4.40). Мы видели, что уравнение (3.4.40) может быть преобразовано в точно интегрируемое уравнение в к-представлении, где структура оператора становится очень простой. К сожалению, этот метод не годится для уравнения (3.470), так как в к-представлении Ьаь является интегральным оператором. С другой стороны, больцмановский член достаточно просто учитывается в координатном представлении, но зато в этом представлении сложно рассматривать поляризационные эффекты. Таким образом, проблема построения сходящегося интеграла столкновений для плазмы сводится к математической проблеме решения уравнения для Gab- Возможно, что эту трудность удастся преодолеть путем построения подходящего приближенного решения уравнения (3.4.70). [c.233]

Такая форма интеграла столкновений для заряженных частиц была предложена Ландау и затем широко использовалась в теории явлений переноса в плазме. [c.135]

Добавка к интегралу столкновений Ландау, возникшая в форму.1е (56.14), становится доминирующей при Т /Т 10 . Для элект-рон-ионного интеграла столкновений возникает аналогичная добавка, которая содержит, однако, дополнительный малый множитель 2 [1п(е>4Г /еХг 1)Г - [c.243]

Обобщенный интеграл столкновений Ландау в форме (3.4.31) был получен Кли-монтовичем [33]. Обычный интеграл столкновений Ландау соответствует марковскому приближению /а(Ра, — т) /а(Ра, )- Тогда выражение (3.4.31) переходит в [c.221]

Важным достоинством интеграла столкновений Балеску-Ленарда является то, что он не имеет особенностей при малых к. Действительно, из выражения (3.4.52) видно, что б(к,а ) оо при А О, поэтому поляризационные эффекты обеспечивают сходимость интеграла по волновому вектору в формуле (3.4.63). Отметим, однако, что при кго диэлектрическая проницаемость мало отличается от единицы. Следовательно, интеграл столкновений Балеску-Ленарда содержит ту же самую логарифмическую расходимость при больших А , что и интеграл столкновений Ландау, в связи с чем приходится ограничивать верхний предел интегрирования в формуле (3.4.63) условием к < Almax, где Almax 6 . [c.229]

И, наконец, последнее замечание относительно условий применимости интеграла столкновений Балеску-Ленарда. Фактически они совпадают с соответствующими условиями для марковского интеграла столкновений Ландау. Если — характерный временной интервал, а А/ — характерная длина для изменений одночастичных функций распределения /а(га,р , ), то кинетическое уравнение (3.4.21) с интегралом столкновений Балеску-Ленарда применимо при условии [c.230]

Немарковский интеграл столкновений Ландау (3.4.31) соответствует приближению слабой поляризации. Считая, что e k,z) —1 С 1 для всех ки z, мы можем положить e k z) = 1 в (3.4.67), поскольку T k z) уже имеет первый порядок по взаимодействию. Однако в формуле (3.4.68) необходимо учесть линейное приближение по отклонению б — 1 в этом приближении — 1 1 — б. Тогда подынтегральные выражения не будут иметь особенностей в верхней полуплоскости 2 и контур интегрирования С может быть смещен к действительной оси. Читатель сам легко проверит, что в результате несложных преобразований формула (3.4.66) переходит в интеграл столкновений Ландау (3.4.31). [c.231]

Выражение (4.3.26) представляет собой обобщение интеграла столкновений Ландау на квантовый случай. Недостатки у квантового интеграла столкновений Ландау те же, что и у классического, — расходимости при малых и больших волновых числах к, поэтому в практических расчетах приходится вводить ограничение (3.4.36) на волновые числа. Чтобы учесть эффекты экранирования в марковском приближении, нужно найти стационарное решение полного уравнения (4.3.24). Это можно сделать несколькими способами (см. [90, 166] и задачу 4.12), однако здесь мы не будем останавливаться на этой чисто математической задаче. Как можно было ожидать, эффекты поляризации, описываемые двумя последними членами в (4.3.24), приводят к регуляризации куло-новского потенциала при малых к. Вместо формулы (4.3.27) для вероятности перехода теперь имеем [c.287]

Используем интеграл столкновений Ландау для рассмотрения воироса об изменении во времени энергии компонент электронно-ионной плазмы. При отсутствии внешних сил и пространственно однородном распределении кинетическое уравнение для плазмы имеет вид [c.135]

Предположение об экранировке кулоновского взаимодействия частиц в плазме позволяет сохранить смысл интеграла столкновений Больцмана (или, что в известном смысле идентично, интеграла столкновений Ландау) применительно к кинетической теории газа заряженных частиц. Однако то, что радиус дебаевского экранирования кулоновского поля заряда определяется плотностью числа заряженных частиц, является указание.м на необходимость выхода за рамки представлений, положенных в основу вывода кинетического уравнения Больцмана, учитывающего лип1ь парные столкновения частиц. Такой выход получается при применении теории многих частиц, позволяющей не только обосновать обычную кинетическую теорию, но и построить аппарат, пригодный для анализа явлений, для которых кинетическое уравнение Больцмана оказывается непригодным. В настоящее время уже известен ряд таких явлений. Одно из них, связанное с эффектом дина-лсической поляризуемости плазмы и проявляющееся, с одной стороны, в экранировке кулоновского поля заряда, а с другой,— во взаимодействии заряженных частиц с колебаниями плалмы, мы и рассмотрим здесь. [c.232]

Выраисение (56.3) представляет собой интеграл столкновений Ландау и отвечает учету лишь парных соударений заряженных частиц. Формула (56,4) содержит вклад, обусловливаемый пла.-шенными колебаниями. Поскольку частота плазменных волн определяется из условия обращения в нуль действительной части диэлектрической проницаемости, то в условиях малости затухания плазменных колебапий в окрестности е = О, лшжно воспользоваться следующим соотношением [c.241]

Соответствующий такому ядру релятивистский интеграл столкио-пений, полученный Беляевым и Будкером [37], предстаиляст со бой релятивистское обобщение интеграла столкновений Ландау и, очевидно, переходит в него при с — оо. [c.272]

В выводе интеграла столкновений Ландау и в выводе интеграла столкновений Больцмана учитываются эффекты парного взаимодействия сталкивающихся частиц. Наличие всего коллектива заряженных частиц учитывается в эффекте динамической поляризации плазмы в интеграле столкновений Балеску — Ленарда. Однако все эти интегралы столкновений не учитывают влияния внешних сил и средних самосогласованных полей на акт соударения частиц. Естественно, что такое пренебрежение возможно в достаточно слабых полях, что имеет место часто, но отнюдь не всегда. В настоящее время хорошо изучен один случай неслабых полей, который мы и рассмотрим ниже. Именно, речь пойдет о влиянии сильного магнитного поля па соударения частиц. При этом магнитное поле существенно проявляется в закономерностях столкновений заряженных частиц тогда, когда характерные радиусы кривизны траекторий частиц в магнитном поле уже нельзя считать много большими радиуса действия сил. Иными словами, можно говорить о сильном магнитном поле, влияющим на столкновения заряженных частиц, если радиус гироскопического вращения электрона оказывается меньше радиуса дебаевской экранировки кулоновского поля. Последнее, например, для случая изотермической плазмы имеет место в условиях выполнения неравенства [c.276]

Получеиное выражение для интеграла столкновений непросто использовать, ибо неизвестен явный вид координат и импульсов частиц как функций времени, поскольку затруднительно в общем случае реигение уравнений (61.2). Однако можно заметить, что для заряженных частиц ионизованного газа в большой области расстояний взаимодействие пары частиц япляется относительно слабым. Поэтому такое взаимодействие можно рассматривать с помощью теории возмущений. Заметим, что влияние на столкновения частиц с малыми прицельными параметрами (например, близкими к Гщщ — e jnT илиЙ/т.уу) может оказать лишь чрезвычайно сильное поле. Действительно, гироскопический радиус электрона сравнивается с e j%T, если напряженность магнитного поля оказывается порядка В Y[%Т—ЮГ " , где температур выражена в градусах. Не полагая поле столь сильным, будем считать, что на столкновения с малыми прицельными параметрами магнитное поле не влияет. Поэтому очевидно, что в таких условиях можно говорить о применимости интеграла столкновений Ландау для области прицельных параметров от и до значений (по порядку величины), соответствующих гироскопическому радиусу вращения частиц. [c.279]

Применимость интеграла столкновений Ландау связана с выполнением определенных условий. Характерные длины jk, на которых существенно меняется функция распределения, должны быть велики по сравнению с радиусом экранирования а, а характерные интервалы времени 1/со—велики по сравнению с а/йотн в логарифмическом приближении, однако, фактически достаточно потребовать выполнения этих условий в слабой форме [c.212]

Интеграл столкновений Ландау с величинами Вар из (47,1) называют интегралом Балеску—Ленарда ). Перепишем (47,1) в более удобном для последующего виде [c.237]

Для нерелятивистской классич. (нокнаптопой) плазмы интеграл столкновений в наиболее часто употребляемой форме, предложенной Ландау, имеет нид [c.361]

Ф. р. частиц плазмы удовлетворяют кинетическому уравнению для плазмы, в к-ром столкновения между заряж. частицами часто не учитываются явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле. Парные столкновения для нерелятивистской классич. (невырожденной) плазмы учитываются с помощью интеграла столкновений вформе Ландау или Балеску —Лепарда. Ф. р. частиц плазмы / полностью определяет лиэлектрич. проницаемость плазмы, а значит, её колебат. и волновые свойства, устой чивость, степень неравновесности системы и т. п. Так, для равновесной (максвелловской) Ф. р. заряж. частиц существует бесстолкновительная диссипация энергии электрич. поля волны в плазме—Ландау затухание. [c.385]

Это выражение было независимо получено Балеску [54] и Ленардом [117] и получило название интеграла столкновений Балеску-Ленарда. Если положить диэлектрическую проницаемость равной единице, то (3.4.63) совпадет с интегралом столкновений Ландау (3.4.33). [c.229]

Показать в явном виде, что интегралы столкновений Ландау и Балеску-Ленарда можно получить как частные приближенные формы обобщенного интеграла столкновений (3.4.66). [c.247]

Значительное развитие представлений кинетической теории газов возникло благодаря тучевпю, главным образом теоретическому, свойств полностью ионизованного газа — плазмы. Кинетическая теория ионизованного газа испо.пьзует то упрощающее обстоятельство, что наиболее сун оствсннос взаимодействие заряженных частиц при их столкновениях происходит на сравнительно больших прицельных расстояниях, когда такое взаимодействие слабо, а поэтому и рассеяние частиц происходит на малые углы. Это обстоятельство позволило Ландау существенно упростить интеграл столкновений Больцмана, что, естественно, делает более простой теорию явлений переноса в плазме и теорию релаксационных явлений приближения к равновесию. [c.16]

Такой интеграл столкновений был получен Балеску [31, Лонар-дом [4] и для слабых отклонений от термодинамического равновесия Константиновым и Перелем [5] (вывод квантового интеграла столкновений см. [6]). Сравнение полученного результата с интегралом столкновений Ландау показывает, что н формуле (55.14) учитывается тот факт, что поле движущегося заряда в плазме отличается от кулоновского поля, а соответствующее отличие определяется диэлектрической проницаемостью, характеризующей динамическую поляризуемость плазмы. [c.239]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...