Соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах

Устанавливается связь между компонентами напряжения и производными от удельной энергии деформации по компонентам деформации. Отсюда выводятся, в наиболее общем виде, соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах. [c.106]

Соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах [c.145]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Все эти экспериментальные результаты находились в противоречии с гипотезой одной упругой постоянной для изотропных тел. К тому же эта гипотеза во все возрастающей степени обнаруживала свое несоответствие с господствовавшими взглядами на строение материи. В связи с этим в последующем развитии теории упругости восторжествовал предложенный Грином и ставший ныне общепринятым метод вывода соотношений между напряжениями и деформациями из энергетических соображений. [c.270]

В случае кручения соотношения между напряжениями и деформациями упругого изотропного тела при малых деформациях для любых потенциальных функций (1.1) приводят к соотношениям обобщенного закона Гука, если принять справедливость условий (1.3), (2.3). [c.118]

Чтобы выразить через перемещение и, надо обратиться к соотношениям упругости (2.3) между компонентами напряжения и деформации в изотропном теле. При выбранных направлениях осей перемещение V в направлении у и —напряжение, перпендикулярное пластинке, равны нулю, так что из первого и третьего уравнений (2.3) [c.79]

Если поэтому желательно получить явное соотношение между напряжением и деформацией, то нужно вычислить функцию ] , а это в свою очередь ведет к необходимости некоторых физических предположений относительно природы деформируемого тела. Мы ограничимся рассмотрением тел, которые имеют постоянную плотность в недеформированном состоянии, а упругий потенциал этих тел зависит только от трех инвариантов деформации А- - 3. определяемых выражениями (5.1), и от скалярных функций координат. Твердое тело, обладающее последним свойством, называется изотропным, если, далее, эти скалярные функции являются постоянными, можно сказать, что тело является однородным. Следовательно, для однородного изотропного тела величина Ш является функцией только 1 , 1 , 1з- В этой книге будут рассматриваться однородные изотропные тела. [c.36]

Задача теории упругости неоднородного тела формулируется и решается аналогично задаче теории упругости однородного изотропного или анизотропного тела. Различие между ними состоит лишь в том, что в физических уравнениях (законе упругости) механические характеристики являются заданными непрерывными функциями координат. Здесь необходимо еще раз подчеркнуть, что при этом деформации тела считаются малыми и предполагается выполнение обобщенного закона Гука. Очевидно, что в случае неоднородного тела остаются справедливыми общие уравнения механики сплошной среды соотношения Коши между деформациями и перемещениями и т. д. Подробное изложение теории напряжений и деформаций приводится в многочисленных книгах [11, 100, 138 и др.], поэтому ниже они даются без вывода в прямоугольной системе координат х, у, z) в объеме, необходимом для дальнейшего изложения. Эти же уравнения в других системах координат (цилиндрической, сферической) можно найти в указанных выше и других изданиях. [c.32]

В третьей главе было сказано, что шесть компонентов тензора деформаций ehr не являются произвольными функциями координат точки тела, а должны удовлетворять шести условиям совместности деформаций Сен-Венана. Учитывая это обстоятельство, подставим формулы (5,27) в условия совместности деформаций Сен-Венана тогда после ряда преобразований найдем шесть соотношений, связывающих между собою компоненты тензора напряжений. Следовательно, в итоге будем иметь три дифференциальных уравнения (5.26) и шесть соотношений между компонентами тензора напряжений, к выводу которых и приступим. Будем считать, что тело однородное, т. е. Я и не зависят от координат. Тогда полученная система уравнений будет применима только для изотропных, однородных и линейно-упругих тел. [c.81]

Рассмотрим еще плоскую задачу теории упругости для анизотропного тела. Пусть в каждой точке пластинки имеется плоскость симметрии упругих свойств, параллельная срединной плоскости. Как и в изотропном случае (см. 4 гл. III), будем полагать, что усилия, приложенные к краям пластинки, действуют в срединной плоскости. Тогда, переходя к усредненным по толщине пластинки величинам, получаем соотношения между деформациями и напряжениями [c.664]

Деформационная теория пластичности [3, 4] предполагает наличие однозначной зависимости между суммарными деформациями в упруго-пластическом теле и напряжениями. Для изотропного тела основные соотношения деформационной теории имеют вид [c.531]

В заключение следует указать, что в настоящее время состояние физики твердых тел еще не дает возможности определять удельную энергию деформации, а следовательно, и функции К, О и со теоретическим путем. Для этого наши познания относительно внутренних сил, связывающих между собою частицы твердого тела, еще недостаточны. Поэтому для определения механических свойств материалов остается лишь один путь — путь эксперимента. При этом на основании вышеизложенного можно утверждать, что для описания механических свойств идеально упругого изотропного тела, в наиболее общем случае, достаточно определить три функции К, О и ш, связанные между собою дифференциальными соотношениями (15.15) и (15.19). Коль скоро эти функции известны, всегда можно написать как формулы, выражающие напряжения через деформации, так и обратные им формулы, выражающие деформации через напряжения. [c.149]

Тогда (е,у (и)) —тензор деформации, ъ то время как (ст,У (и)) — тензор напряжений, соотношение между которыми задано линейными уравнениями (1.2.32), известными в теории упругости как закон Гука для изотропных тел. Постоянные к и п—коэффициенты Ламе материала, из которого состоит тело. [c.37]

Линза представляет собой сплошное тело. При наложении температурного поля оправа не позволяет линзе свободно изменять свои размеры, что приводит к возникновению в них напряженно-д )ормированного состояния. При этом вся система будет находиться в равновесии. После изменения на некоторую величину температура считается постоянной. Для сплошных тел, находящихся в равновесии, в теории упругости формулируются два принципа — начало возможных перемещений и начало возможных изменений напряженного состояния, которые устанавливают связь между компонентами напряжений и производными от удельной энергии деформации по компонентам деформаций. Это позволяет вывести в общем виде соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных упругих телах [26 28 33 34]. Если решение задачи основывается на принципе возможных перемещений (основная задача, или принцип Лагранжа), то в результате получаются перемещения для любой точки тела, для которого производится решение. Принципиально решения на основе обоих принципов равнозначны, оба решения базируются на приращении работы деформации, однако оптиков в большей степени интересует не само напряженное состояние, а то искажение формы детали, которое оно вызывает. Поэтому для расчета перемещений любых точек [c.157]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

В своём выводе основных уравнений теории упругости Навье (см. стр. 129) исходил из предположения, что идеально упругое тело состоит из молекул, между которыми при его деформировании возникают силы взаимодействия. При этом принималось, что силы эти пропорциональны изменениям расстояний между молекулами и действуют по направлениям соединяющих их прямых линий. Таким путем Навье удалось установить соотношения между деформациями и упругими силами для изотропных тел с введением лишь одной упругой константы. Коши (см. стр. 135) первоначально ввел две константы в зависимости между напряжением и деформацией в случае изотропии. В самом же общем случае анизотропного тела Пуассон и Коши допускали, что каждая из шести компонент напряжения может быть представлена однородной линейной функцией шести компонент деформации (обобщенный закон Гука). В эти функции входило 36 постоянных. Положив в основу физического истолкования явления упомянутую выше молекулярнуро теорию, они снизили число постоянных для общего случая до 15. Они показали, что изотропия допускает дальнейшее снижение этого числа, так что окончательно для записи соотношений между компонентами напряжения и деформации необходима лишь одна постоянная, которую и ввел Навье. [c.262]

Рассмотренные в начале параграфа 3.11 соотношения относятся к такому случаю, при котором вид деформации пьезокристалла и вид механического напряжения заранее выбраны и считается, что они скалярно связаны между собой модулем упругости. Точно так же заранее выбран вид пьезоэффекта и вид электрической поляризации этого пьезокристалла. Между тем известно, что даже в изотропном упругом теле приложение усилий в одном на-правлении вызывает дефордтации не только в этом же направлении, но и в перпендикулярных ему. В анизотропном теле — в кристалле — упругие свойства еще более сложны связь между напряжениями и возникающими деформациями зависит еще от ориентации приложенных напряжений или деформаций относительна кристаллической решетки кристалла. Так как структура кристал-лической решетки внешне проявляется в виде определенного вида симметрии кристалла — наличия осей симметрии, — то формально можно считать, что величина и направление деформации кристалла зависят от направления приложения усилий по отношению к осям симметрии кристалла. Пьезоэлектрические и диэлектрические свойства кристаллов также оказываются зависящими от ориента> ции по отношению к осям симметрии. [c.87]

Рассматриваются соотношения связи между напряженным и деформированным состояниями модели упругого изотропного тела при кусочно линейном потенциале в случае малых деформаций. Предполагается, что при одноосном растяжении-сжатии и чистом сдвиге для рассматриваемой модели имеет место линейный закон Гука, изменение объема прямо пропорционально среднему напряжению. В обш,ем случае поведение исследуемой модели отличается от поведения модели упругого изотропного тела, описываемого обш,епринятыми соотношениями линейной теории упругости [1, 2]. [c.111]

Осветим бегло содержание книги Нейманна. В первых пяти главах он выводит основные уравнения теории упругости изотропного тела, вводя понятие компонент напряжения и деформации и устанавливая соотношения между ними через две упругие постоянные. Его обозначения для компонент напряжения были впоследствии приняты многими авторами в частности, их принял Ляв (А. Е. Н. Love). В следующих трех главах дается вывод основных уравнений с помощью гипотезы о молекулярном строении твердых тел. Излагаются работы Навье и Пуассона. Выводятся уравнения для неравномерного распределения температуры, исследуется теорема об единственности решений уравнений упругости. Следующая часть книги посвящена приложениям основных уравнений к частным задачам. Глава, в которой описывается [c.303]

Кинетическая теория описывает изотропное несжимаемое идеально упругое тело и позволяет установить соотношения между главными напряжениями и главными удлинениями, аналогичные тем, которые были выведены нами ранее для материала, подчиняющегося условию (4.7). (У Трелоара в уравнениях (4.19а) символы ti, ки G, р соответствуют символам ри, е,-, [Хо, —р в нашей записи уравнений (4.14)). Из того, что эти уравнения были выведены для однородной деформации общего типа (при постоянном объеме), следует идентич- [c.111]

Наиболее общие математически возможные соотношения напряжение — деформация необязательно являются производными от одной скалярной функции. Например, из классической теории упругости хорошо известно, что введение деформационно-энергетической функции уменьшает число независимых упругих констант в соотношениях напряжение—деформация. Ограничения на соотношения напряжение — деформация для изотропных материалов в теории больших конечных деформаций были рассмотрены Лоджем и Вейссенбергом Р]. Некоторые авторы ввели термин гипоупругость (т. е. меньше, чем упругость) для описания упругих материалов, напряжение в которых является производной только от простой деформационно-энергетической функции. По-видимому, весьма маловероятно, чтобы реально существовала упругая среда (в том смысле, что напряжение есть однозначная функция деформации), которая в то же время была бы негипоупругой. В этом случае переменных Т, уц было бы достаточно для описания напряжений, но не термодинамического состояния, что довольно странно. Если это так, то различие между упругими и гипоупругими твердыми телами скорее математическое, нежели физическое. [c.206]

Коши ( au hy) Огюстен Луи (1789 - 1857) — известный французский математик, один и.э основоположников теории аналитических функций. Окончил Политехническую школу (1807 г.), Школу дорог и мостов (1810 г.) в Париже. В 1810 1813 гг. работал инженером на постройке порта в Шербуре. С 1816 г. профессор Политехнической школы, Сорбонны, Колеж де Франс (1848 - 1857 гг.). Написал более 700 фундаментальных работ по теории функций, математическому анализу, математической физике. Создал теорию функцнй комп-лексного переменного. Заложил основы теории сходимости рядов. Ему принадлежит постановка одной из ос новных задач теории дифференциальных уравнений, метод интегрирования уравнений с частными произвол ными первого порядка. В теории упругости ввел понятие напряжения, расширил понятие деформации и ввел соотношения между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций для изотропного тела. Исследовал задачи о деформации стержней, в частности задачу о кручении. В оптике развил математические основания теории Френеля и дисперсии. [c.242]

I- Наиболее простая модель, учитывающая пластические де- формации материала, основана на деформационной теории пластичности Генки—Надаи—Ильюшина [60, 61, 66, 67, 109, 131]. Эта модель предполагает наличие одноаначной аависимости между суммарными деформациями и напряжениями в упруго-пластическом теле. Для изотропного тела основные соотношения деформационной теории имеют внд [c.20]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...