Простейшие случаи упругого равновесия

Простейшие случаи упругого равновесия. Основные упругие постоянные. Прежде, чем идти дальше, остановимся на нескольких простейших случаях упругого равновесия, имея в виду определение физического смысла постоянных, характеризующих упругие свойства тела. [c.66]

В книге освещены следующие темы общие уравнения теории упругости анизотропного тела (глава 1) простейшие случаи упругого равновесия (глава 2) напряженное [c.11]

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ УПРУГОГО РАВНОВЕСИЯ [c.77]

Натяжение и изгибающий момент. Пусть дан однородный упругий стержень, длина которого велика по сравнению с его толщиной и который имеет по всей своей длине одинаковые поперечные сечения. Осью стержня называют геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Естественным состоянием равновесия стержня является та его форма, которую он принимает, когда на него не действуют никакие силы, которые стремились бы его деформировать, например, когда он положен на стол. Если к стержню приложить силы, стремящиеся его изогнуть, то он изменит свою форму и придет в новое состояние равновесия, которое называется вынужденным состоянием равновесия, соответствующим данным силам. Мы исследуем здесь наиболее простые случаи равновесия, когда изогнутая ось стержня (эластика) является плоской кривой. Но сначала укажем некоторые общие предложения, касающиеся такого рода задач. [c.195]

Общие особенности задачи определения главных колебаний хорошо объясняются на простой классической модели, которая дает полное представление о поведении линейной трехатомной молекулы. В этой модели материальная точка массы М упруго связана с двумя другими материальными точками, каждая из которых имеет массу т. В каждом случае упругая постоянная равна р, и в положении равновесия точки находятся на одной прямой на одинаковых расстояниях одна от другой при этом рассматривается движение только по прямой (см. рис. 2). [c.52]

Вообще развитие в XIX в. энергетических методов в теории упругости тесно связано с разработкой методов расчета статически неопределимых систем. Применительно к этим расчетам в конце XIX в. широкое применение получили линии влияния, введенные в строительную механику Э. Винклером и О. Мором в конце 60-х годов. Построение их основано на теореме взаимности, сформулированной в простейшем случае Максвеллом и обобщенной на произвольные условия равновесия Э. Бетти и на колебания упругих систем Рэлеем Последнему принадлежит широкое применение понятия обобщенных сил и перемещений, сыгравшего важную роль в последующем развитии прикладной теории упругости. В частности, В. Л. Кирпичев применил теоремы взаимности, вводя обобщенные силы для расчета неразрезных балок и арок [c.62]

Для многих процессов неупругой деформации и разрушения, которые для малых объемов не могут рассматриваться как проходящие в изолированных системах, простая формулировка условий равновесия, по-видимому, еще отсутствует. Поэтому чисто механическое рассмотрение процесса нагружения (например, как перехода упругой энергии, накопленной ее внешним источником— машиной , в среднюю энергию деформации нагружаемого тела — образца ) в ряде случаев недостаточно, так как деформация определяется в значительной мере микроскопическими и более локальными процессами, связанными с тепловыми, физико-химическими и структурными процессами. [c.59]

Поэтому в настоящей главе будет подвергнута исследованию общая задача о равновесии сферы, причём для упрощения дела мы будем идти от частных случаев к более общим вначале мы займёмся сплошной сферой и решим относящиеся к ней краевые задачи о разыскании равновесия при задании на поверхности сферы, во-первых, перемещений и, во-вторых, поверхностных усилий. Найдя эти решения, мы простым приёмом перейдём от них к случаю сферической полости в упругой среде, когда на поверхности полости заданы или перемещения, или усилия. Гораздо более трудными становятся эти краевые задачи в случае полой сферы однако при некотором усложнении вычислений и небольшом видоизменении хода рассуждения оказывается возможным перенести и на эти задачи те же приёмы, которые были применены при рассмотрении упомянутых выше более простых случаев. [c.441]

До сих пор мы имели в виду статические задачи. Мы видели, что существующие здесь трудности преодолены в методе Фредгольма лишь частично. Легко предвидеть новые трудности, которые возникают при переходе к динамическим задачам даже в простейшем случае установившихся колебаний Эти трудности возрастают еще более, если вместо однородных тел рассматриваются упругие тела, составленные из отдельных, сопряженных друг с другом тем или иным способом частей с различными упругими свойствами. Изучая колебания или равновесие подобных кусочно-неоднородных тел, мы должны считаться не только с граничными условиями типа первой, второй, третьей или четвертой граничных задач на геометрической границе тела, но и с условиями сопряжений отдельных частей, нз которых тело составлено, с условиями контактов на границах раздела различных сред. [c.11]

Мы рассмотрим простейшие случаи кругового цилиндра радиуса В, имеющего на оси вращения сферическое включение или полость и находящегося в упругом равновесии под действием скручивающих моментов приложенных к торцам. Все задачи этого рода будем решать приближенно цилиндр рассматриваем как бесконечное упругое пространство с включением или полостью, а напряжения разыскиваем так, чтобы они точно удовлетворяли условиям на поверхности включения или поло- [c.356]

Если статически нагруженную упругую систему типа балки или вала воздушного винта вывести каким-либо способом из состояния равновесия, то внутренние силы и изгибающие моменты в деформированном состоянии уже не будут более находиться в равновесии с внешними нагрузками, и возникнут колебания. В общем случае упругая система может совершать колебания по различным формам или модам. Например, растянутая проволока может колебаться по различным формам в зависимости от числа узлов, укладывающихся на ее длине. В простейшем случае конфигурацию колеблющейся системы можно задать с помощью одной координаты такие случаи называют системами с одной степенью свободы. [c.16]

Переходя к результатам определения критической силы, прежде всего отметим, что все они получены в предположении, что деформации происходят в пределах упругости и что материал следует закону Гука. Для тех случаев, когда форма равновесия становится неустойчивой при напряжениях, превосходящих предел упругости, имеется лишь очень небольшое число решений и то лишь для простейших -случаев. Так, по Карману для основного случая продольного изгиба надо в ф-ле Эйлера модуль Юнга Е заменить через [c.369]

Во многих случаях (но не всегда) можно получить необходимый. ответ, изучая упруго-пластическую деформацию системы, имеющей начальные отклонения. Однако такой анализ приводит к нелинейным задачам и также связан с большими математическими трудностями. Обычно исходят из некоторого статического критерия, разыскивая нагрузку, для которой возможны различные близкие формы равновесия при тех или иных дополнительных условиях. Эти критерии, рассматриваемые в следующем параграфе, не имеют надежного теоретического обоснования их значение иллюстрируется анализом поведения очень простых моделей упруго-пластических тел и подтверждается экспериментальными данными. [c.350]

Обобщенные позиционные силы - это силы, зависящие от положения точек системы, т.е. от обобщенных координат. Особое значение здесь имеют восстанавливающие силы, которые возникают при отклонении системы от положения равновесия. Эти силы обусловливают способность системы совершать свободные колебания. Основным типом восстанавливающих сил являются силы упругости. В простейшем случае линейно деформируемой системы восстанавливающая сила упругости пропорциональна отклонению системы. Свойства упругих связей при этом определяются коэффициентом жесткости, который представляет собой обобщенную силу, способную вызвать обобщенное единичное перемещение. Возможны случаи, когда между силой и отклонением существует нелинейная зависимость. При этом упругие свойства связей невозможно определить одним коэффициентом и приходится использовать так называемую упругую характеристику, уравнение которой Р=Р(х) иллюстрируется графиком в координатах х, Р. Упругая характеристика строится расчетным путём или экспериментально. [c.7]

Зная упругие свойства тела, мы всегда сможем определить деформации, которые возникают в теле при действии заданных внешних сил, т. е. найти форму, которую принимает тело. Это — задача о равновесии упругого тела. Мы определяем деформации тела, при которых силы, возникающие в теле, уравновесят внешние силы. Простейшие задачи этого типа мы и решали, когда рассматривали однородные деформации растяжения и сдвига. В случае более сложных деформа-р ций (кручения, изгиба и т. д.) задача ста- [c.480]

Объяснение этому явлению очень простое. Если труба несколько изогнулась (рис. 96, б), поток жидкости создает дополнительное давление на выпуклой стороне, величина которого пропорциональна местной кривизне упругой линии. При достаточно большой скорости и массе жидкости силы упругости будут не в состоянии восстановить прямолинейную форму стержня. Особенно интересно это проявляется в случае защемленного одним концом стержня. Здесь в отличие от шарнирного закрепления новых форм равновесия нет они не существуют, но прямолинейная форма равновесия неустойчива. Это находит свое выражение в том, что труба из состояния покоя переходит в [c.139]

Отметим, что в задачах о равновесии и движении упругих тел (за исключением задачи вида II, когда заранее задаются перемещения границы) поверхность деформируемого тела, на которой задаются граничные условия, заранее неизвестна и должна быть найдена в процессе решения задачи. Однако в линейной теории упругости предполагается, что деформированная поверхность тела мало отличается от его начальной недеформированной поверхности. В этом случае, пренебрегая малыми второго порядка, можно считать, что граничные условия должны выполняться на недеформированной, а следовательно, известной поверхности (см. гл. VII т. 1). Именно так мы поступали при решении задач о простом растяжении бруса и о деформации трубы под действием заданных внутреннего и внешнего давлений. [c.342]

В этом случае конец одной из ножек можно рассматривать как материальную точку, которая колеблется, описывая линию, очень мало отличающуюся от прямой. Его связь с ножкой определяет восстанавливающую силу и пассивные сопротивления (трение, несовершенную упругость и т. п.), к которым присоединяется пассивное сопротивление воздуха. Эти пассивные сопротивления в первом приближении можно свести к простому вязкому сопротивлению, так что приблизительно будут осуществлены условия действия силы, предположенные в самом начале. Тогда, если обозначим через s дугу, описываемую концом ножки и отсчитываемую от положения равновесия (положительную в одном направлении и отрицательную в другом), то движение определится как раз уравнением типа (40). Так как, далее, результирующее (касательное) пассивное сопротивление крайне мало по сравнению с упругой силой, то с большим избытком выполнится условие k h , обеспечивающее для движения характер затухающего колебания. [c.66]

Итак, даже на простых примерах можно показать, что при одной и той же внешней нагрузке и одних и тех же условиях закрепления упругая система может иметь несколько различных положений равновесия. Чрезвычайно важно подчеркнуть, что эта множественность положений равновесия может быть обнаружена только в том случае, когда уравнения равновесия составляются для деформированной, отклоненной от своего исходного ненагруженного положения системы. В линейной теории упругости уравнения равновесия составляют для недеформированной системы, т. е. используют принцип неизменности начальных размеров сопротивления материалов. В этом случае при заданных условиях закрепления и заданных внешних нагрузках всегда будет обнаружено только одно единственное положение статического равновесия упругой системы. Так, в рассмотренных примерах, составляя уравнения равновесия для недеформированной системы, не обнаружим других положений равновесия стержня, кроме исходного вертикального положения. [c.9]

Продемонстрированный на простейших примерах путь исследования устойчивости положений статического равновесия упругих систем используют и в случае более сложных систем. С усложнением упругой системы растут технические трудности его реализации, но принципиальная основа — условие минимума полной потенциальной энергии — полностью сохраняется. [c.15]

Во многих более сложных задачах определение критических сил с помощью метода начальных параметров приводит к значительным трудностям вычислительного характера, связанным с необходимостью решения сложных трансцендентных уравнений. Поэтому в таких случаях предпочтительнее оказываются приближенные методы. Одним из наиболее простых приближенных методов является энергетический метод. Он основан на рассмотрении изменения полной потенциальной энергии упругого стержня при переходе от прямолинейной формы равновесия к искривленной. [c.290]

В этой работе он доказывает две теоремы, сыгравшие большую роль в теории колебаний упругих тел. Рассмотрим эти теоремы в их применении к простейшему случаю системы с одной степенью свободы. Смещение х из положения равновесия может быть в этом случае представлено выражением [c.276]

В тех случаях, когда форма равновесия становится неустойчивой при напряжениях, превосходящих предел упругости материала, вычисление критических нагрузок должно выполняться иными методами. В настоящее время уже имеется решение простейших задач этого рода и полученные результаты прекрасно совпадают с данными опытов. [c.261]

В задаче о равновесии плиты требуется удовлетворить не только краевым условиям на торцах, но и условиям на поверхности С. Поэтому, кроме решений, удовлетворяющих краевым условиям на торцах, необходимо располагать классом решений уравнений теории упругости, оставляющих торцы свободными от напряжений эти решения будем называть однородными, а решения, удовлетворяющие условиям загружения торцов,—неоднородными. Очевидно, что последними могут служить решения задачи о равновесии слоя, представленные выше в форме определённых интегралов. Но это не обязательно, так как во многих случаях неоднородные решения можно получить в более простой форме — рядов или же для некоторых классов нагрузок (полигармонических нагрузок, см. 4 главы 3) в замкнутой форме. Однородные решения определяют напряжённое состояние плиты, создаваемое нагрузками, распределёнными по её боковой поверхности. [c.200]

В настоящей главе изложены основные общие положения и частные случаи упругого равновесия, которые названы обобщенным кручением и при развитой упругой симметрии переходят в обычное или чистое кручение стержней с прямолинейной осью. Теория обобщенного кручения впервые разработана Фойгтом [38], строгая теория чистого кручения — Сен-Венаном [121]. 11о теории простого или чистого кручения известно очень много работ и среди них — большая монография Н. X. Арутю-няна и Б. Л. Абрамяна [4]. В этой монографии указана обширная литература по кручению, собранная в аннотированные списки. Есть и у нас монография, посвященная кручению [22]. [c.258]

В простом случае атом рассматрршается как гармонический осциллятор с круговой частотой собственного колебания ы ,. Предположение о гармоническом колебании электрона означает, что на него действует упругая сила, линейно возрастающая с увеличением смещения электрона из положения равновесия. Напишем уравнение движения [c.269]

Возможность получить у = у(х) дает решение, основанное на уравнении (XII. 1), интегрирование которого даже для простейших случаев опорных устройств, нагружения и геометрии стержня является сложным, а общий интеграл (XII. 1) выражается через специальные функции. Из этого решения следует, что значениям Р) < Р < Р)(" " соответствуют п + 1 возможные формы равновесия упругой линии стержня. Дополнительное исследование этих форм говорит, что устойчивой является только одна из них — криволинейная, имеющая наименьщее число точек перегиба, возможное при опорных устройствах данного стержня. [c.359]

Ионная П. (а ) в ионных кристаллах обусловлена упругим смещением в поле Е раавоинённых ионов из их положений равновесия в противоположных друг относительно друга направлениях. В простейшем случае ионных кристаллов типа Na l величина [c.73]

Предыдущие условия характеризуют случай, когда основные уравнения упругого равновесия можно представить в такрй же простой форме, как и в случае плоской задачи, и мы можем ограничиться рассмотрением соотношений, имеющих место для точек одной и той же плоскости. Так как этот случай встречается часто, ю он заслуживает особого рассмотрения. Задача заключается в том, чтобы четыре напряжения j(, jj., т, характеризующие полностью напряженное состояние в точке X, г меридионального сечения, представить в виде функций от д и г, если на контуре заданы внешние силы или поставлены другие граничные условия. [c.144]

Не прибегая к теореме взаимности работ упругой системы, можно чисто формальными методами вывести интегро-дифференциальные уравнения равновесия даже при конечных перемещениях пологой оболочки и оболочки вращения (А. А. Березовский, 1959, 1960). Этот путь применялся в более простых случаях неоднократно и ранее (В. Н. Шаншмелашвили, 1955 И. А. Биргер, 1956). [c.241]

Свободные гармонические колебания.— Если упругую систему, например нагруженную балку, закрученный вал или деформированную пружину, отклонить от положения равновесия ударом или дополнительной внезапно прилоленной и затем устраненной силой, то в возмущенном положении упругие силы не будут находиться в равновесии с нагрузкой и возникнут колебания. В общем случае упругая система может совершать колебания различных видов, Например, колеблющаяся струна или балка может принимать различные формы в зависимости от числа узлов, подразделяющих ее длину. В простейших случаях конфигурация колеблющейся системы может быть определена только одной координатой. Такие системы называются системами с одной степенью свободы. [c.9]

МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛЦЫ, волны, возникающие в магнитоупорядоченных кристаллах — ферромагнетиках и антиферромагнетиках — в результате магнитоупругого вз-ствия. Упругие колебания ионов в крист, решётке относительно положения равновесия в магнитоупорядоченных кристаллах сопровождаются колебаниями спинов, а следовательно, и магнитных моментов в свою очередь, колебания спинов, распространяясь по кристаллу в виде спиновых волн, вызывают смещение ионов. Поэтому в М. в. изменение намагниченности связано с изменением деформации и механич. напряжения. Магнитоупругое вз-ствие наиболее сильно проявляется в той области частот, где длина упругой волны оказывается величиной, близкой к длине спиновой волны. Дисперсионные соотношения, характеризующие зависимость частоты волны со от величины волн, вектора к 2л к, в простейшем случае имеют вид для спиновой волны о)сп= =7( +а/ссп), а для продольных и поперечных упругих волн а)уп=С А уп [c.387]

Для решения трехмерных статических задач теории упругости мы не располагаем таким эффективным аналитическим аппаратом, как в плоской теории упругости. Здесь мы рассмотрим такие частные решения ура1внения равновесия в случае отсутствия массовых сил, для которых вблизи определенных точек перемещение неограниченно возрастает. Эти точки должны лежать вне тела или содержаться в особых полостях внутри него. Следует отметить, что наиболее простой тип изолированной особой точки представляет С0160Ю точка приложения сосредоточенной силы. [c.223]

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии тонких плит (пластин) в общем случае связано с интегрированием системы нелинейных дифференциальных уравнений равновесия (16.40), в которых усилия и моменты для линейно-упругих материалов с характеристиками деформации связаны соотношениями (16.26). Де- рмации, в свою очередь, выражаются через перемещения по формулам (16.14) в декартовых осях и по формулам (16.15) в полярных оординатах. Эта задача представляет большие математические трудности, и поэтому целесообразно классифицировать задачи, с тем чтобы выделить из них те случаи, которые дают возможность применительно к разным конкретным условиям получить более простые уравнения, поддающиеся решению относительно простыми средст-<вами. [c.389]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

Совершенно аналогйчно прямоугольной пластинке исследуется и вопрос об устойчивости плоской формы равновесия круглой пластинки. Кто придает большое значение точным решениям, тот в случае круглой пластинки будет чувствовать себя удовлетворенным в большей степени, чем в случае прямоугольной пластинки, так как мы можем совершенно аналогично тому, как это оказалось возможным в третьей главе при рассмотрении изгиба круглых пластинок, симметрично нагруженных силами, перпендикулярными к их поверхности, вывести сравнительно просто точное выражение для критической нагрузки. Но для практических целей это не имеет никакого значения, и потому мы предпочитаем вывести формулу для критической нагрузки круглой пластинки совершенно таким же способом, как и для прямоугольной. Для этой цели нам нужно лишь составить выражение работы деформации при изгибе для такой возможной формы изогнутой поверхности со стрелою прогиба /, которая не очень отличалась бы от получающейся при потере устойчивости плоской формы. В третьей главе такого готового выражения, мы непосредственно не имеем, так как там задачу, относящуюся к круглой пластинке, мы решали на основании диференциального уравнения упругой поверхности, а не на основании теорем о работе упругих сил. Но мы легко можем его вывести дополнительно. По формуле (103), найденной нами в 27, стрела прогиба /круглой пластинки, нагруженной в центре сосредоточенной силой Р и свободно опертой по контуру, выражается следующим образом [c.319]

Систему материальных точек с одной степенью свобод совершающую колебательные движения около положения равнов сия, называют осциллятором. Простейшим движением такс системы является гармоническое колебание. Систем совершающая гармонические колебания, называется гармон ческим осциллятором. В частном случае гармонически осциллятором является материальная точка, совершающая прям линейное движение под действием силы, пропорциональной откл нению точки от положения равновесия, направленной в каждь момент в сторону положения равновесия. Такая сила всегда стр мится вернуть точку в положение равновесия. Физическая природ силы может быть самой разнообразной, но проще всего ее пре, ставить как упругую силу, подчиняющуюся закону Гука. [c.540]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...