Уравнения для потенциала скоростей и функции тока

Чаплыгин исследовал установившееся безвихревое дозвуковое течение нетеплопроводного идеального газа, для которого плотность и давление связаны законом адиабаты. Использование интеграла Бернулли и уравнения неразрывности приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям для потенциала скоростей и функции тока в плоскости ху (физическая плоскость). Чаплыгин предложил метод линеаризации выведенных им уравнений, основанный на преобразовании годографа он вводит новые независимые переменные 0 и т = F /2p, где 0 и F — полярные координаты скоро- [c.310]

Преобразование уравнений для потенциала скоростей и функции тока в линейные дифференциальные уравнения. Уравнения С. А. Чаплыгина. [c.377]

Другой способ преобразования уравнений для потенциала скоростей и функции тока плоского потока в линейные уравнения был впервые широко использован для решения задач газовой динамики акад. С. А. Чаплыгиным. Его работа О газовых струях ), в которой был применен этот способ, положила начало дальнейшему развитию аэродинамики больших скоростей. [c.380]

Чаплыгина способ линеаризации уравнений для потенциала скоростей и функции тока плоского потока D случае идеального газа 380 и д. [c.624]

Запишите уравнение Лапласа для потенциала скорости и функции тока. [c.298]

При наличии в газовом потоке возмущений, которые не могут считаться малыми, решения конкретных задач должны основываться на уравнениях (1 134) или (1.136). Нелинейность этих уравнений создает значительные трудности в получении решений. С. А. Чаплыгин предложил в 1904 г метод точной линеаризации уравнений плоского движения газа при дозвуковых скоростях. Исходными в этом методе являются выражения для потенциала скорости и функции тока [c.73]

ДЛЯ потенциала скоростей и функций тока уравнения (27) и (28) являются линейными дифференциальными уравнениями. [c.383]

Наибольший интерес представляет плоское безвихревое движение, для которого, кроме потенциала скоростей, существует еще функция тока, введенная впервые Лагранжам в 1781 г. кинематическая интерпретация функции тока, связанная с понятием линии тока, была дана значительно позднее (в 1864 г.) Рэнкиным. Наличие этих двух функций— потенциала скоростей и функции тока, удовлетворяющих в отдельности уравнениям Лапласа, позволило свести решение гидродинамической задачи к разысканию одной комплексной функции — комплексного потенциала. Подробное изложение этого метода, весьма близкого к современному, можно найти в двадцать первой лекции классических Лекций по математической физике (ч. 1, Механика) Кирхгоффа (1876). Отдельные задачи плоского безвихревого потока решались и ранее самим Кирхгоффом в 1845 г. и Гельмгольцем в 1868 г. Заметим, что с математической стороны эти задачи эквивалентны аналогичным задачам электростатики. Наряду с плоским стационарным безвихревым движением были изучена некоторые простейшие задачи нестационарного дви кения (Рэлей в 1878 г., Лэмб в 1875 г. и др.). Особенно больших успехов метод комплексной переменной достиг в теории обтекания тел со срывом струй, созданной трудами Гельмгольца, Кирхгоффа и Жуковского. Подлинного своего расцвета плоская задача безвихревого стационарного и нестационарного движения достигла в первую четверть нашего столетия в замечательных работах ученых московской школы, о чем еще будет речь впереди. [c.25]

Гораздо большее значение имеет прямая задача разыскания плоского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной задачи существуют два пути 1) непосредственное решение уравнений Лапласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей и функция тока, [c.269]

Обратно, если мы предполагаем, что w есть аналитическая функция переменной г, то действительная и мнимая части этой функции представляют собой потенциал скоростей и функцию тока для некоторого возможного двумерного безвихревого движения жидкости, так как они удовлетворяют уравнениям (1) и уравнению Лапласа. [c.149]

Уравнения (33) показывают, что 5 и можно рассматривать соответственно как логарифм вектора скорости и угол, составляемый этим вектором с осью абсцисс для некоторого потока несжимаемой жидкости, обтекающего заданный контур на плоскости . В самом деле, если обозначим через < >0 и фо потенциал скоростей и функцию тока этого потока, то его характеристическая функция будет равна — Фо, а производная от характеристической функции по С = будет равна [c.394]

При решении многих важных задач о течениях газа, например задачи об обтекании тел или о движениях газа в каналах, когда форма тела или стенок канала задана, краевые условия для уравнений (3.5), определяющих потенциал скорости и функцию тока, естественным образом формулируются в плоскости течения х, у. Для решения же уравнений (3.10) нужно формулировать краевые задачи в плоскости годографа. В общем случае это нельзя сделать, исходя [c.255]

Используя уравнение (3.55), определим для источника и стока потенциал скорости и функцию тока с точностью до постоянной [c.52]

Функция тока для потенциального течения, как и потенциал скорости ф, удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, взяв условие потенциальности (77) и выражения для компонентов скорости через функцию тока (83), получим [c.72]

Так же, как и уравнение для потенциала скоростей, это есть нелинейное уравнение в частных производных, причем производные от функции тока входят как явно, так и через посредство ц . Действительно, по уравнению Бернулли [c.359]

В этом случае уравнение (7.10.28) обращается в уравнение Лапласа и вспомогательная функция Ф приобретает физический смысл ее можно рассматривать как потенциал скорости (или функцию тока) течения в слое постоянной толщины Р = ). Обозначив гармоническую функцию Ф через /, формулу (7.10.29) для серии К— запишем в виде [c.210]

Уравнения для потенциала скорости ф и функции тока "ф, записанные в переменных годографа, после введения вместо скорости V переменной г (М — 1)—1/2 были преобразованы им к следующему виду [c.184]

Уравнения (5.1.8) для потенциала скоростей и (5. .25) для функции тока являются нелинейными уравнениями в частных производных второго порядка. Так как в этих уравнениях кроме членов со вторыми частными производными имеются свободные члены, не содержащие этих производных, то они будут неоднородными. [c.198]

В уравнениях (5.1.8) для потенциала скоростей и (5.1.25) для функции тока коэффициенты А, В п С определяются одинаково, а именно [c.203]

В двухмерных задачах, для которых необходимо установить общую картину потока, например, при изучении фильтрации, линии тока обычно наносятся на лист обыкновенной бумаги с помощью пантографа. Пересечение проводящих и изолирующих границ создает новую картину движения, при которой эквипотенциальные линии ортогональны свободным поверхностям. Аналогия с водным потоком основана здесь на том факте, что как потенциал скорости, так и функция тока подчиняются уравнению Лапласа. [c.129]

Уравнения С. А. Чаплыгина. Другой вариант преобразования системы (23) на плоскость годографа состоит в том, что в качестве иско.мых величин берутся потенциал скоростей р и функция тока ф. Это преобразование особенно эффективно в случае плоскопараллельных течений, для которых оно и дастся ниже. [c.231]

Из рассмотрений 10 вытекает, что при д > с (или М > 1) система (1) является гиперболической. Поэтому для нее важно найти характеристики и условия на них, а также построить транспортные уравнения для описания распространения слабых разрывов вдоль характеристик и выяснения возможности градиентной катастрофы. Необходимые для выполнения этой программы выкладки будут более компактными, если сразу ввести в качестве независимых переменных потенциал скоростей р и функцию тока ф [c.258]

В силу линейности уравнения Лапласа его решение для сложного сечения может быть получено наложением ряда простейших полей, для которых известны потенциалы скоростей фь ф2,... или функции тока -фь -11)2... Потенциал скорости ф и функция тока -ф синтезируемого или результирующего поля определяются алгебраическим, а вектор скорости—геометрическим суммированием исходных значений [c.50]

Как видно из изложенного, если для интересующего нас плоского потенциального потока известны или потенциал скорости Ф (х,у), или функция тока Ф х, у), то этого достаточно, чтобы исследовать этот поток. В самом деле, пользуясь уравнениями (31-14) или соответственно (31-16), можно, зная Ф или вычислить для любых точек в потоке местные скорости, а через них давления, и задача была бы решена. [c.316]

Введенную функцию ч 5(х, у) принято называть функцией тока. Подставляя (4.5) в (4.1), получаем, что и эта функция, так же как и потенциал скорости ф(д , у), удовлетворяет уравнению Лапласа. Если потенциал скорости описывает поле скоростей только безвихревого (потенциального) течения, то функция тока может быть введена всегда, так как условие ее существования следует из уравнения неразрывности, справедливого для любых течений. Однако уравнению Лапласа эта функция будет удовлетворять только для потенциального потока. Поскольку y)=udy— [c.80]

Для построения линий тока и изопотенциальных Линий МОЖНО использовать функцию тока и потенциал скоростей, которые получатся исключением Е и -q из систе.мы уравнений [c.251]

Наряду с преобразованием уравнения (6) д.ля потенциала скоростей, мы преобразуем к линейному виду и уравнение (8) для функции тока плоского потока. [c.377]

Из этих двух уравнений, содержащих две неизвестные функции f и ф, можно путем исключения одной из них получить уравнение, содержащее только одну функцию. Для того чтобы исключить потенциал скоростей, продифференцируем первое уравнение по 9, второе — по и и приравняем друг другу правые части. Тогда получится уравнение для функции тока плоского потока газа [c.382]

Уравнения возмущений. Получим теперь уравнения малых возмущений основного плоскопараллельного течения. Кроме возмущений скорости, температуры и давления, введем также возмущения магнитного поля Яо + Я, где Яо - невозмущенное поле, состоящее из внешнего и индуцированного полей, а Я — малое возмущение. Будем рассматривать сначала плоские возмущения. В этом случае введем, наряду с функцией тока ф возмущения скорости, магнитный потенциал А для возмущения поля, связанный с компонентами вектора Я [c.120]

Можно значительно расширить круг известных нам решений уравнений для потенциала скоростей и функции тока, если воспользоваться этим свойством. Это свойство дает возможность получать все более и более сложные потенциалы скоростей и функции тока суммированием известных нам простейших частных решений. При надлен ащем же подборе складываемых решений можно, как увидим на конкретных примерах, получить решение, соответствующее обтеканию того или иного тела. [c.173]

Если несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одними и темн же дифференциальными уравнениями при одних и тех же условиях однозначности, то такие явления называются аналогичными, а метод их исследования — аналогией. В технической механике жидкости часто используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные аналогии относятся к безвихревому (потенциальному) движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как известно, оп-исывается уравнениями Лапласа для потенциала скорости и функции тока д Ф 3 ф [c.395]

На границе эжектирующего и эжектируемого газа примем равенство давлений. Поскольку получение аналитического решения для критических режимов работы звукового эжектора затруднительно, то, исходя из указанных предположений, рассчитаем критические режимы плоского звукового эжектора численным методом. Эжектирующая струя в сеченни тО имеет скорость звука, а дальше по течению является существенно двумерной, поэтому будем рассчитывать ее по законам двумерного сверхзвукового течения газа методом характеристик, воспользовавшись видоизменением метода С. А. Христиановича [4]. В этом случае уравнения, связывающие потенциал скорости и функцию тока, имеют вид [c.42]

В общем случае, т. е. для тела любой формы, помещенного в поток, эта задача не решена точно и до настоящего времени. Поэтому особый интерес и значение представляют те немногочисленные простейшие случаи.потенциального потока, для которых можно точно определить потенциал скоростей и функцию тока, исходя из известного распределения скоростей, т. е. не решая уравнения Лапласа, или уравнения (35). Сюда относятся уже рассмотренные ранее поступательный поток, источнитс и сток, вихрь иа плоскости. Зная потенциалы скоростей этих простейших потоков, можно затем, комбинируя их между собой так, как это будет показано в дальнейшем, получать более сложные потоки. Оказывается, что при надлежащей комбинации перечисленных простейших потоков можно, вообще говоря, получить потенциальный поток, обтекающий любое данное тело. [c.168]

Значительные результаты в исследовании плоских потенциальных установившихся движений газа были получены на основе обобщения метода Чаплыгина перехода к переменным годографа в качестве независимых переменных). Уже в тридцатах годах были достигнуты хорошие результаты в применении приближенного метода Чаплыгина к задачам дозвукового обтекания тел. Приближенный метод Чаплыгина для расчета адиабатических потенциальных движений газа, как известно, основан на замене истинной адиабатической связи между давлением р и плотностью р линейной связью между р и 1/р. При этом уравнение для потенциала скорости ф или функции токал ) в специальным образом преобразованных [c.162]

Любое из этих уравнений должно решаться при определенных граничных условиях. Последние ввиду изломанности подземного контура напорных гидросооружений крайне осложняют определение потенциала скорости Ф или функции тока Ф в отличие от рассмотренных выше простых случаев потенциального движения. При этом для решения таких вопросов приходится прибегать к некоторому специальному математическому аппарату теории фу икций комплексного переменного, конформным отображениям и др. [c.323]

Вместо функции тока для составления интегрального уравнения можно использовать потенциал ф скорости в этом случае условием на контуре обтекаемого тела будет d(pldn L = 0. Можно также применить аппарат теории аналитических функций, в частности их представление криволинейными интегралами для получения интегральных уравнений, определяющих комплексный потенциал и сопряженную скорость. Этот метод применяется для расчетов гидродинамических решеток [4]. [c.249]

Причем Фл, так же как и р, удов-летворяет уравнению Лапласа и, следовательно, может рассматриваться как потенциал скорости усредненного по толщине слоя течения. Поэтому, если для функции Фл (т. е. для давления р) создать граничные условия такие же, как для исследуемого потенциального потока идеальной жидкости, то мы должны получить при течении в щели распределение скоростей и сетку течения такими же, как для идеальной жидкости. Опыт полностью подтверждает этот вывод. Течение описанного типа было исследовано Хил-Шоу (1898 г.) и применено им для визуального изучения потенциальных потоков. Схема прибора Хил-Шоу показана на рис. 153. На таком приборе путем подкращивания струек легко воспроизвести линии тока, которые затем графически могут быть дополнены эквипотенциалями. [c.300]

В отличие от потенциала скоростей ц>, существующего только для безвихревых течений, функция тока ф, являющаяся решением уравнения неразрывности, сзодествует и для вихревых плоских и пространственных осесимметричных течений. [c.56]

Линии, для которых 1 = onst, называют линиями тока. Гармоническая сопряженная с а[з функция ф называется потенциалом скоростей потока. Линии тока и линии, вдоль которых потенциалы скоростей постоянны, взаимно ортогональны. Обе функции (тока и потенциала скоростей) удовлетворяют уравнению Лапласа [ср. например, (21.48) и (23,27)]. Поэтому линии теплового потока и температурного потенциала при двумерной стационарной теплопроводности аналогичны соответственно линиям тока и потенциалу скоростей идеального потока жидкости. [c.249]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Вра1цеиие около оси полости. Вращение около оси, перпендикулярпой к оси полости. Потенциал скоростей. Дифференциальные уравнения линий тока и ояенты инерции эквивалентных тел. Уравнения для присоединенных сферических функций первого рода и их некоторые свойства. Легко видеть, что вращательное движение около оси полости, имеющей форму тела вращения, не вызывает никакого абсолютного движения жидкости. Действительно, если направим ось Ог по оси вращения полости, то найдем [c.220]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...