Типы дифференциальных уравнений в частных производных

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Если дискриминант уравнения (37.68е) равен нулю, то две системы характеристик сливаются в одно семейство кривых, когда же он отрицателен, то действительных характеристик не существует вовсе. Три соответствующих типа дифференциальных уравнений в частных производных, как известно, называются гиперболическим, параболическим и эллиптическим 2). Само собой разумеется, что характер дифференциального уравнения в частных производных общего вида (37.68) в различных областях поля координат может изменяться, а уравнение может быть гиперболическим в одной области и параболическим или эллиптическим в примыкающих областях и т. д. [c.624]

ТИПЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [c.103]

Известные типы дифференциальных уравнений в частных производных [c.105]

Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных [c.48]

В зависимости от типа дифференциального уравнения в частных производных для корректной постановки задачи требуются те или иные граничные и начальные условия. Если исходное уравнение при нулевом значении малого параметра меняет свой тип, становясь, скажем, из эллиптического параболическим или гиперболическим, то могут возникнуть трудности. Этот класс задач можно рассматривать как подкласс задач, которые обсуждались в п. 2.2.1—2.2.4. Ниже мы опишем два примера, а также трудности, которые возникают при разложении в одном из них. [c.48]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей. [c.253]

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением в частных производных того же типа, что и уравнение (3.2.1), но с постоянными коэффициентами [c.99]

Следующий пример — линейная система, представляющая собой тонкий прямолинейный стержень. Входом у него является произвольная точка, например, имеющая координату хо = О, в которой задана внешняя случайная сила f(t), выходом —смещение u(t) в другой точке х. В тонком стержне могут возбуждаться три типа волн — продольные, крутильные и изгибные (см. главу 5). Два первых типа (продольные и крутильные) описываются сходными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Частотная характеристика для них имеет следующий вид [c.104]

Совместные уравнения среды и набивки. Из предшествующих рассуждений с учетом сделанных допущений и условий процесс теплообмена в рассматриваемом типе нестационарных теплообменников описывается такой системой двух дифференциальных уравнений в частных производных [c.181]

Сначала мы рассмотрим семейство автомодельных решений уравнения движения стационарного ламинарного пограничного слоя. Поскольку большинство эффективных решений уравнений пограничного слоя, в том числе теплового и диффузионного, являются автомодельными, мы достаточно подробно обсудим понятие автомодельности решений дифференциальных уравнений в частных производных. На основе понятия автомодельности разработаны методы отыскания решений и некоторых других типов уравнений в частных производных. [c.102]

Рассмотрим теперь решение уравнения (8-29) при указанных граничных условиях. Уравнение (8-29) является линейным и однородным. Дифференциальные уравнения в частных производных такого типа всегда могут быть решены методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения (8-29) можно представить в виде произведения [c.155]

В работах А. В. Лыкова систематически разработана аналитическая теория внутреннего тепло- и массообмена в капиллярно-пористых телах, которая описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа. Эта система в потенциальной ([юрме может быть записана так [c.166]

Для исследования физических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического и параболического типов, используются аналоговые универсальные сеточные моделирующие установки типов УСМ-1 и МСМ-1 [20]. [c.801]

Математическая модель гидродинамических процессов в инерционных насосах разных типов описывается одной н той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма расчета гидродинамических процессов граничные условия учитываются совместным решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЭЦВМ изменению подвергают только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.337]

Решение гидромеханической задачи находится в приближении теории смазочного слоя в форме, полученной Осборном Рейнольдсом. Область течения задается следующим образом по оси х - [О а], по оси у - [О, Ь], по оси z - [О, h(x, у)]. Математическая модель сводится к дифференциальному уравнению в частных производных эллиптического типа для поля давлений [c.170]

На самом деле в дозвуковом потоке, описываемом дифференциальными уравнениями в частных производных эллиптического типа, влияние сжимаемости не сводится к местному, характеризуемому числом М в данной точке. [c.259]

Для иллюстрации различий между этими двумя типами вычислительных приемов сопоставим методы граничных элементов с методами конечных элементов. Для простоты представим R двумерной плоской областью, ограниченной контуром С (рис. 1.1). Метод конечных элементов требует, чтобы вся область R была разбита, как показано на рис. 1.1 (а), на сетку элементов. При этом цель состоит в отыскании решения задачи в узлах сетки, решение же между узлами выражается в простой приближенной форме через значения в узлах. Связывая эти приближенные выражения с исходными дифференциальными уравнениями в частных производных, в конечном счете приходим к системе линейных алгебраических уравнений, в которых неизвестные параметры— узловые значения в R — выражаются через известные величины в узлах сетки, находящихся на границе области. Эта система уравнений большая, но разряженная, т. е. хотя она и содержит [c.10]

При исследовании задач статистической динамики и теории случайных колебаний второе уравнение Колмогорова получило наибольшее распространение. По существующей классификации дифференциальных уравнений в частных производных уравнения Колмогорова (4.19) и (4.30) принадлежат к параболическому типу уравнений. Для того чтобы решение уравнения было однозначным, необходимо знать начальные и граничные условия для искомой функции (для плотности вероятности f(x, /[хд, / о)). Кроме начальных и граничных условий, функция / должна удовлетворять условиям, справедливым для любой плотности вероятностей [c.133]

Уравнения Сен-Венана представляют собой систе му нелинейных с переменными коэффициентами дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и относятся к разделу математической физики. Справедливость их подтверждена многочисленными наблю- [c.232]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

Объединив это уравнение с соотношениями (7), (8), получим квазилинейную систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с независимыми переменными t, X. Нетрудно показать, что при выполнении определенных ограничений, наложенных на полиномиальные разложения в (7) и (8), эта система уравнений есть система гиперболического типа. [c.154]

Франкль Ф. И. и Алексеева Р. И. Две граничные задачи из теории дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с применениями к течениям газа со сверхзвуковой скоростью. Математический сборник, 1934, т. 41. стр. 483—499. [c.92]

Определим, к какому типу — эллиптическому, параболическому или гиперболическому— относится это уравнение в случае, когда скорость движения газа во всех точках потока больше скорости распространения звука. Записывая дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем виде [c.402]

Система (13.5), (13.6) есть система совместных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно вектора скорости V и скаляров р (давления) и р (плотности). Это незамкнутая система, так как для пяти функций координат и времени У], 2, з, Р, Р она дает только четыре уравнения указанного типа. [c.183]

Такое изучение стало возможным сравнительно недавно, хотя история термоупругости как научной дисциплины восходит к истокам классической теории упругости. Трудности задач динамической термоупругости в известной мере связаны с тем, что система уравнений (1.1) не принадлежит ни одному из основных типов уравнений математической физики (см. гл. I, 15, п. 1), и построению ее теории предшествовали обширные исследования по теории граничных задач эллиптических дифференциальных уравнений в частных производных. [c.373]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

Уравнение (VIII.5) есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В записанной форме это уравнение используется при рассмотрении дозвукового потока (М < ) Такое уравнение относится к так называемым уравнениям эллиптического типа. Оно легко может быть сведено к уравнению Лапласа. [c.186]

Тарапон А. Г. Моделирование дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа на электропроводной бумаге с распределенной емкостью.— Некоторые вопросы прикладной математики и аналоговой вычислительной техники. К., Наук, думка , 1966, № 2, с. 3—18. [c.245]

Математические модели можно разделить на три типа [60]. Модели, для описания которых используется главным образом математический аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, относятся к нижнему уровню — наиболее детальному описанию физических процессов. Модели топологического типа относятся ко второму уровню и описываются часто обыкновенными дифференциальными уравнениями. И, наконец, модели третьего, информационного уровня используют для своего описания в основном аппарат теории вероятности (например, теорию массового обслуживания и др.) и специфический для данной предметной области аппарат (базируется на известных теоретических исследованиях и обобш,ениях в соответствующей обла- [c.191]

В принципе численное решение для трехмерного течения газа можно получить путем совместного решения трех уравнений сохранения количества движения для газа, уравнения состояния, уравнений сохранения массы и состава смеси для шести неизвестных Uzy Ur, Uq, р, р, с. Даже с учетом того, что уравнение сохранения энергии не используется, решение такой системы сопряжено с определенными трудностями. Самая большая из них заключается в том, что дифференциальные уравнения в частных производных для газовой фазы — комбинированного параболическо-эллиптического типа, поэтому анализ затруднен из-за сложности решения начальной задачи Коши. Для решения такой системы уравнений, как задачи на отыскание собственных значений, необходимо полное описание неизвестных во всех точках (г, 0) границы с последующей зоной трубок тока. Но степень сгорания топлива на этой нижней границе зоны горения заранее не известна, поэтому неизвестны концентрации распыленной жидкости и скорости жидкости и газа, как и продольное распределение давления. [c.156]

В приложении обсуждаются свойства интегралов дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными и предлагаются асимптотические методы построения этих интегралов. Показывается также, как из них можно составить решение некоторых краевых задач типа Дирихле, близких по смыслу к краевым задачам теории оболочек. [c.469]

В 1890 г. Хевисайд разработал ставший знаменитым операционный метод для решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, встречающихся в теории электрических цепей. Для этого случая Хевисайд дал элементарное обоснование своего метода. Затем он обобщил ) его на дифференциальные уравнения в частных производных электромагнитного поля и теплопроводности и получил целый ряд новых решений, причем этим методом не только удалось найти решения еще нерешенных задач, но и получить решения новых типов, например решения, специально соответствующие большим или малым промежуткам времени. Математическая строгость этих решений оставалась довольно сомнительной, и поэтому появилась настоятельная потребность математически строго обосновать всю теорию. Первый шаг в этом направлении был сделан Бромвичем ) [2], который в своей классической статье получил контурный интеграл с операционным выражением Хевисайда в качестве подынтегральной функции. Далее он доказал, что этот интеграл удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям, а позже оценил интеграл обычными методами контурного интегрирования. Его идеи были в дальнейшем развиты в книге [4] и нашли широкое использование в теории теплопроводности. Подобный метод, в котором также применяется контурный интеграл, был разработан Карслоу [5] (см. также приложение 1), но в его методе подын- [c.292]

Особо характерным для уравнений параболического типа является последнее граничное условие, выражающее задание профиля скоростей Мо у) в некотором начальном сечении пограничного слоя х = х ). Согласно общей теории дифференциальных уравнений в частных производных, реще-ние уравнений параболического типа при заданных граничных условиях определяется только в области течения, расположенной вниз по потоку за этим начальным сечением. [c.446]

Особо следует отметить работу 3. С. Аграновича, В. А. Марченко, В. П. Шестопалова [89], в которой по существу определены основные направления в решении проблем резонансного рассеяния волн периодическими дифракционными решетками. К моменту ее появления было ясно, что основным средством электродинамического анализа в резонансной области частот должен стать численный эксперимент. Необходимо только так переформулировать исходную краевую задачу для дифференциального уравнения в частных производных, чтобы можно было эффективно использовать вычислительную технику с прогнозируемой погрешностью и в реальном масштабе времени получать необходимые результаты. В [891 реализована схема, отработанная в рамках классического функционального анализа. Путем выделения и обраш,ения (метод полуобраш,ения, левая регуляризация) статической части задача сведена к канонической фредголь-мовой. На этом формально ее решение можно считать законченным, так как для операторных уравнений фредгольмового типа из единственности следует существование решения, а свойства компактности обеспечивают сходимость вычислительных процедур, основанных на редукции бесконечных систем линейных алгебраических уравнений [90]. [c.8]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Решение задач вязкоупругопластичности связано с решением системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных типа (1.68), (1.69). Это представляет собой не менее сложную математическую проблему, чем задачи теории пластичности. 17оэтому воспользуемся здесь методом последовательных приближений, который базируется на методе упругих решений Ильюшина, рассмотренном ранее. [c.62]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Мы видели, что самый общий интеграл дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего типов (37.54) выражается через jMMy двух произвольных функций, аргументами которых являются [c.620]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...