Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных

Изменение типа дифференциального уравнения в частных производных [c.48]

Решение системы а дифференциальных уравнений в частных производных типа (П6-4), связанных между собой нелинейными членами, требует очень сложных расчетов. Их следует проводить в разумных приближениях. Поэтому для каждой конкретной проблемы, как правило, следует оценить те члены, которыми можно пренебречь. Помимо названных материальных констант, должны учитываться реальные условия, в которых протекают исследуемые процессы длительность взаимодействующих групп волн (длительность импульса), длина кюветы, время установления колебаний, коэффициенты усиления, время разбегания групп волн, взаимодействие различных эффектов НЛО. Для обработки математической части этой задачи преимуществом обладает фурье-представление уравнения (П6-4). В этой связи сошлемся на выкладки, приведенные в конце разд. 1.321. В фурье-представлении отдельные члены принимают вид членов разложения в ряд по степеням fk или q(fh), что значительно облегчает количественные оценки. Так, например, отношение третьего слагаемого ко второму слагаемому в левой части обычно имеет порядок отношения q(fh)lq fh), а отношение пятого слагаемого к четвертому — порядок fft/fft. При соответствующих экспериментальных условиях может оказаться полезным перейти от координат t я z к другим координатам, чтобы можно было описать нестационарное поведение при помощи наиболее простого дифференциального уравнения (пренебречь производными высших порядков). Такое упрощение может быть достигнуто (см., например, [21]), если считать волновую амплитуду Е зависящей от координат Z и w t — Z. Вторая координата позволяет непосредственно задать изменение Е в системе, движущейся вместе с группой волн (групповая скорость w ). Упрощение дифференциального уравнения может быть достигнуто, если при соответствующих экспериментальных условиях исходить из допущения, что Е лишь относительно медленно меняется с изменением г при постоянном значении w t — Z. [c.233]

Математическая модель гидродинамических процессов в инерционных насосах разных типов описывается одной н той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма расчета гидродинамических процессов граничные условия учитываются совместным решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЭЦВМ изменению подвергают только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.337]

По-видимому, эту систему надо отнести к новым системам дифференциальных уравнений смешанно-составного типа. Так, в локальной системе координат, связанной с главными напряжениями, изменение перемещений (скоростей перемещений) определяется дифференциальным оператором эллиптического типа вдоль второго главного направления, содержащим вторые частные производные от перемещений по координатам. А в поверхностях, ортогональных второму главному направлению, происходит привычное для плоской деформации описание перемещений (скоростей перемещений) с помощью дифференциальных операторов гиперболического типа две поверхности разрыва — линии скольжения (вещественные характеристики). По-видимому, эти особенности отражают физическую гипотезу Т. Кармана о сохранении упругой (квазиупругой) связи по второму главному направлению. [c.43]

При произвольном изменении температуры частные производные в уравнении (II.9) необходимо заменить соответствующими функциями концентрации. Такая замена приводит к дифференциальному уравнению типа уравнения Пфаффа- . Если положить, что характер закона изменения концентрации с температурой таков же, как и уравнения (П.З), т. е. [c.74]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений. [c.211]

Для решения дифференциальных уравнений с 4a t-ными производными типа уравнения теплопроводности необходимо перейти от уравнения с частными производными к уравнению с обыкновенными производными. Этот переход осуществляется с помощью так называемого метода прямых. Существо этого метода заключается в том, что изменение искомой функции в направлении одной координатной оси предполагается дискретным, а в направлении другой — непрерывным. [c.348]

Программа ONDU T разработана для решения уравнений с частными производными типа уравнения теплопроводности. Эта программа рассчитывает распределение таких скалярных величин, как температура в задачах теплопроводности, концентрация в задачах диффузии, скорость и температура при полностью развитых течениях в каналах, потенциал и др. Как будет показано далее, подобные явления описываются обобщенным дифференциальным уравнением, которое может быть записано в виде (3.6). Таким образом, программа ONDU T может быть использована для расчета любой переменной, описываемой дифференциальным уравнением вида (3.6). В дальнейшем мы ограничимся только двумерными задачами, т.е. теми случаями, когда интересующие нас величины могут претерпевать значительные изменения только по двум пространственным координатам. Программа может быть использована для решения как стационарных, так и нестационарных задач. [c.21]

Заметим, что формула Дюгамеля (1.12) может быть использована не только для решения дифференциального уравнения типа теплопроводности, но и для некоторых других видов линейных дифференциальных уравнений, содержащих частные производные по времени. Смысл формулы Дюгамеля заключается в том, что скорость в какой-либо момент времени в некоторой точке в утри области, занятой вязкой жидкостью, будет определяться не значением скорости на границе в данный момент времени, а изменением значений скорости на границе за всё предшествующее время, начиная с начального момента времени. Таким образом, формула Дюгамеля представляет собой математическое выражение своего рода принципа наследственности в механике неустановившегося движения вязкой жидкости. [c.306]

Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера — Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности (уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления (за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости (газа) в канале магнитодинамического генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. А. Лурье. [c.239]

При дозвуковом течении, так же как и в потоке несжимаемой жидкости, возмущение давления, плотности, температуры и др. в любой точке потока зависит от формь контура в целом. Изменения в форме контура вблизи какой-нибудь точки профиля отражаются на распределении давлений и других параметров во всем потоке-, таково основное свойство дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа (18). Пр( л1шеарнзованном сверхзвуковом течении изменение формы профиля вблизи одной его точки отражается на величине возмущения параметров только вдоль той линии возмущения, которая проходит через эту точку, во всем же остальном потоке такое местное изменение формы профиля не вызовет искажений в распреде-ленин возмущений. Такова особенность гиперболического (волнового) уравнения (31). [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...