Основное уравнение для функции распределения скоростей

Основное уравнение для функции распределения скоростей [c.24]

Так как давление и скорость внешнего потока U считаются известными функциями от переменного х, то интегральные соотношения (3.5), (3.6) и (3.7) будут содержать две неизвестные функции, из которых первая будет представлять собой распределение основной скорости и по толщине слоя, а вторая — изменение толщины слоя с изменением криволинейной координаты х. При использовании этих интегральных соотношений приходится первую из неизвестных функций в какой-то мере задавать заранее и отдельные коэффициенты её определять из граничных условий. При подстановке в интегральное соотношение (3.5) задаваемой функции распределения скоростей по толщине слоя получится для толщины слоя дифференциальное уравнение первого порядка. [c.267]

В кинетической теории газов используется. модель, основанная на статистическом (вероятностном) описании поведения совокупности молекул. Основную роль в этой модели играет уравнение Больцмана для функции распределения молекул по их положениям в пространстве и по скоростям. Газокинетическая модель существенна и успешно применяется для описания поведения сильно разреженных газов, [c.14]

Граничные и временные краевые условия позволяют выделить конкретный изучаемый процесс из общего класса явлений, описываемых совокупностью уравнения распространения тепла в движущейся среде, уравнениями движения вязкой жидкости и сплошности. Основным пространственным краевым условием для движущейся жидкости является характеристика скорости течения вблизи твердой поверхности. Из условия прилипания граничного слоя жидкости к поверхности стенки касательная составляющая вектора относительности скорости на стенке равна нулю. Для непроницаемой стенки в случае отсутствия какого-либо физико-химического процесса, сопровождающегося поглощением или выделением жидкости, нормальная составляющая скорости относительного течения также отсутствуют. Для входа и выхода жидкости из зазора обычно задают распределения скоростей и давления. Условия теплообмена различаются следующими краевыми условиями условием первого рода — задается распределение температуры на поверхностях в функции координат и времени второго рода — характеризуют распределение теплового потока на границе в функции координат и времени третьего рода — выражают зависимость температуры твердой стенки от температуры окружающей среды через коэффициенты теплоотдачи = ср+<7/ i = ср-(аст/а)(аг/аи)ет или (Эг/Эи)сх = -(Х/Аст) X X ( ст - ср). где Гст - температура стенки t p - температура среды q — плотность теплового потока а — коэффициент теплоотдачи. Временные краевые условия выражаются заданным распределением температур в характерный момент времени. [c.164]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Если бы мы ещё раз продифференцировали равенство (3.9) по переменному у и использовали бы все ранее полученные граничные условия, то получили бы ещё новые дополнительные условия для производных третьего и четвёртого порядка от искомой функции и. Разумеется, что этот процесс получения новых граничных условий можно продолжать и дальше. Подчиняя выбор вида функции распределения по толщине слоя основных скоростей всё большему числу дополнительных граничных условий, мы тем самым можем всё больше и больше приближать задаваемую функцию к действительному решению самих уравнений (1.13) пограничного слоя. [c.268]

Основная идея многих приближенных методов расчета ламинарного пограничного слоя состоит в представлении распределения скорости и температуры поперек слоя в виде некоторых функций, зависящих, кроме переменной у, еще от ряда параметров. Проведенный в работе [3] анализ показывает, что, как минимум, следует, для удовлетворения уравнениям и граничным условиям ввести еще три параметра, т. е. представить безразмерные профили скоростей и температур в сечениях слоя в форме [c.546]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

При исследовании различных задач гидродинамики и массообмена применялся метод интегральных соотношений. Основная идея этого метода состоит в том, что вместо точных распределений скоростей в сечениях пограничного гидродинамического слоя применяется некоторый набор профилей, представленных семейством кривых с одним параметром. Изменение параметра создает то разнообразие профилей, которое необходимо для приближенного описания движения во всем пограничном слое. Этот параметр, иногда его называют формпараметром , представляет собой функцию продольной координаты в пограничном слое. Для определения этого параметра выведено интегральное условие, которое является результатом применения теоремы импульсов к элементарному объему пограничного слоя и называется иногда уравнением импульсов. [c.122]

Следует заметить, что косвенное установление граничных условий для Ф на основании заранее принятых значений давления, не является, повидимому, осложнением, неизбежно связанным с применением потенциальной функции Ф. Скорее это возникает из почти универсального образа представления о давлении как о количестве принципиальной физической значимости даже в пространственных системах. В действительности, когда принимается во внимание сила тяжести, основное значение приобретает потенциальная функция, хотя оба они—-давление и Ф —удовлетворяют уравнению Лапласа. Если принять в вышеуказанной системе, что давление постоянно на контуре г = rJ , то его распределение примет вид (6), и отсюда система будет сферически симметрична. Однако распределение скорости не будет более при этом радиальным, и система в целом и в действительности не будет сферически симметричной. [c.218]

Таким образом, для теоретического расчета < или а = с/АГ необходимо знать функции роста капель w R) и распределения по размерам (p R) (Л. 162]. Эти функции ищутся для различных условий как аналитически, так и экспериментально. Например, согласно опытным данным и расчетам скорость роста полусферической капли, когда основным термическим сопротивлением является термическое сопротивление теплопроводности капли, определяется уравнением [c.288]

Здесь первый множитель под интегралом показывает вероятность отсутствия удара до момента , а величина й1/т равна вероятности "измерения" на интервале Если мы переходим к усредненной по времени вероятности, то число ударов за время Л/ следует считать равным Аг/т. Таким образом, предлагаемая логика автоматически приводит к классической цепи Маркова, а квантовый подход понадобился лишь для нахождения вероятностей перехода от одного "измерения" к другому. В итоге, для многих последовательных измерений мы получаем диффузионное уравнение (143) для р , 1) с Максвелловским распределением частицы по скоростям. От этих вероятностей можно было бы перейти к матрице плотности р х,х ) = (ф х)ф х )). Но как мы видим, в этом нет большой нужды. Найденные нами усредненные волновые пакеты, которые входят в выражение (147), играют роль базиса, в котором матрица плотности имеет диагональный вид р х,х ) представляет собой случайную выборку одного из таких пакетов с вероятностью, которая предписывается извне оператором измерения М ф). В результате для описания статистических свойств случайной волновой функции основную роль играют именно свойства "измерения", а свободный пролет частицы от одного "измерения" до другого "измерения" определяет лишь величину коэффициента диффузии П. [c.142]

До сих пор основным допущением в аналитическом рассмотрении была предпосылка о подобии распределения скоростей [уравнение (270) или более специфическое соотношение для струи, полученное оттуда]. Для дальнейшего анализа, однако, необходимо что-то знать или допустить о форме кривой распределения скорости f(Ti). По экспериментальным замерам скоростей в зоне диффузии можно построить зависимость f(ri) от т). Для получения величин трех интегралов Iq, 1м и можно применить графическое штегрирование или же по желанию можно подобрать алгебраическое выражение для экспериментальной кривой и интегрирование выполнить аналитически. Например, для изображения распределения скорости может быть выбрана гауссовская нормальная функция вероятности, тогда [c.356]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Уравнение (81) называется дифференциальным уравнением возмущающего движения. Исследование устойчивости решения этого уравнения представляет собой задачу о собственных значениях дифференциального уравнения (81) при граничных условиях (78). Предположим, что основное течение задано, то есть известно распределение скоростей в ламинарном пограничном слое и (у). Тогда уравнение (81) будет содержать четьхре параметра R, а, Сг, Си Для каждой выбранной пары R и а можно найти собственную функцию ф и комплексное собственное значение с = Сг + i i, причем здесь Сг — безразмерная скорость распространения возмущений, а i — безразмерный коэффициент [c.310]

Цель этого — современного — аспекта кинетической теории, который будет представлять для нас основной интерес, состоит вовсе не в выводе макроскопической (в обычном смысле) теории, хотя конечные результаты и будут выражены через измеряемые. и практически нужные величины, такие, например, как сопротивление объекта, движуш егося в разреженной атмосфере. Действительно, современная кинетическая теория рассматривает ситуации, где газ настолько разрежен, что средняя частота столкновений молекул оказывается равной (или меньше) по порядку величины частоте столкновений молекул со стенками, ограничи-ваюш ими исследуемую область, или частоте звукоподобных возмуш ений, распространяюш ихся через газ. Ясно, что в таких условиях нельзя ожидать макроскопического поведения , описываемого просто в терминах таких величин, как плотность, давление, температура, массовая скорость и т. п., хотя все эти понятия сохраняют свое значение (в статистическом смысле). При этом оправдано использование одночастичной функции распределения, а уравнение Больцмана становится очень важным как уравнение, пригодное для описания всего спектра разрежений и, следовательно, поведения газа на режимах от континуального (для умеренно плотного газа) до свободномолекулярного (когда межмолекулярные столкновения практически несуш ественны). [c.35]

В этой книге получены свойства течений газа, исходя из модели молекулы и распределения скоростей молекул. Макроскопические свойства невязкого, сжимаемого (изоэн-. тропического) течения выведены в предположении, что молекулы являются просто сферами и подчиняются максвелловскому закону распределения. Для соответствующих вычислений в случае вязкого, сжимаемого (мало отличающегося от изоэнтропического) течения необходимо пользоваться более сложной моделью молекулы (центральное силовое поле) и функцией распределения, которая несколько отличается от функции распределения Максвелла. Примерами таких течений являются течения со слабыми скачками и течения в пограничном слое. Молекулярные представления позволяют получить и уравнения движения газа и граничные условия на поверхности твердого тела. Рассмотрение этих вопросов приводит к понятию о течении со скольжением и явлении аккомодации температуры в разреженных газах. Такие же основные идеи были использованы для построения теории свободномолекулярного течения. [c.7]

В последние годы большое распространение получили различные формы метода статистических испытаний (Монте-Карло). Метод состоит в моделировании на ЭВМ элементарных процессов и статистических гипотез, лежаш их в основе вывода уравнения Больцмана. В различных вариантах метода применяются различные способы разыгрывания пробегов и столкновения молекул. Естественно, это требует большого объема вычислений. Но основная трудность при реализации метода на современных ЭВМ — это большая потребная память для запоминания функции распределения. Если по каждой пространственной и скоростной координате запоминать лишь по 10 чисел, то в трехмерной задаче нужна память порядка 10 . В. И. Власов (1966) предложил метод статистического запоминания функции, позволяюш,ий запоминать в каждой пространственной ячейке лишь по нескольку скоростей молекул, что делает потребнуЮ память приемлемой. [c.431]

Приближенный метод, который мы здесь применим для расчеты турбулентного пограничного слоя, основан на использовании уравнения импульсов (8.35), выведенного в 5 главы VIII. Распределение скоростей по толщине пограничного слоя заменяется подходящей аппроксимирующей функцией. Уравнение, получаемое в результате такой замены, дает связь между основными величинами, характеризующими пограничный слой толщиной вытеснения, толщиной потери импульса и касательным напряжением на стенке. [c.572]

Если рабочими телами обоих потоков с йр1с1хф0 являются идеальные газы и известна функция о"(х), для определения зависимости (р/а) ( ю/ч) =/(- ) надо интегрировать (12-90) с тем, чтобы затем по уравнению (12-79) или (12-89) вычислить функцию (л ). На этом преобразование завершается. При таком преобразовании исключается возмущающее влияние больщих скоростей течения на распределение параметров потока при сохранении его основных свойств. [c.426]

Представление (3Л) в применении к функциям ш (г), и z) или 1п г (2) на основном профиле решетки после отделения действительных и мнимых частей дает линейные интегральные уравнения относительно потенциала скорости <р, проекций иу или модуля скорости V как функций дуги профиля 8. в случае решеток из тонких профилей эти уравнения имеют указанное в 2 эффективное решение в виде квадратур для профилей произвольного вида уравнения решаются численно, путем сведения к системе линейных уравнений или последовательными приближениями. Такой способ решения прямой задачи называется обычно вихревым методом в связи с гидродинамической интерпретацией представления (3.1) при Р z) = = V z) и другим способом получения уравнений задачи в результате наложения однородного потока со скоростью иоо на поток от вихрей, распределенных по контурам профилей. Вихревой метод, как лринципиально самый простой, получил широкое распространение и применялся как для одиночных профилей (П. А. Вальтер, 1922 М. А. Лаврентьев, 1932 [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...