Важнейшие теоремы и уравнения

Важнейшие теоремы и уравнения. Высокая ценность потенциальной теории заключается в изобилии теорем и заключений, выведенных в различных областях на ее основе. Многие из [c.72]

Обычно интегралы диференциальных уравнений приводят к важным теоремам и свойствам движения, даже если вся задача не решена. Более подробно мы рассмотрим это в дальнейшем. [c.75]

Для доказательства этой важной теоремы поступим следующим образом. Предположим, что некоторый корень Я,-является комплексным, н решим линейные уравнения (5.10.22) при этом значении Я. В качестве qi получаются некоторые комплексные числа. Как известно, любое алгебраическое соотношение между комплексными числами остается справедливым при замене i на —i. Следовательно, мы можем выписать уравнения (5.10.22), заменив qi на q, а Я на V", где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины. Умножим первую систему уравнений последовательно на q , . .., qn, а вторую—на q ,. .., 17,, и составим в каждом из этих случаев сумму уравнений. В левых частях уравнений мы получим в обоих случаях одинаковые суммы, а сравнение правых частей приведет к соотношению [c.182]

Важная роль производящей функции в задаче о движении. В теории канонических преобразований нет более важной теоремы, чем та, которая утверждает, что произвольное каноническое преобразование полностью характеризуется заданием одной-единственной функции S — производящей функции этого преобразования. Подобным же образом и канонические уравнения характеризуются одной функцией —функцией Гамильтона Н. Эти две фундаментальные функции можно связать между собой определенными соотношениями. Для решения задачи о движении достаточно рассмотреть функцию Гамильтона и попытаться упростить ее с тем, чтобы канонические уравнения стали непосредственно интегрируемыми. С этой целью можно применить подходящее каноническое преобразование, причем это преобразование зависит от одной функции S. Поэтому вместо решения целой системы канонических уравнений можно свести задачу к решению одного уравнения, дифференциального уравнения в частных производных. [c.264]

Рассмотрим теперь систему, конфигурация и скорость которой заданы в момент t. Мы хотим получить уравнения для определения ускорений частиц системы. Этого легко достигнуть при помощи следующей простой и важной теоремы. Ускорение системы таково, что выражение [c.218]

Из алгебры известно (см., например, [1]) ), что 1) система уравнений (П.III.2) имеет п — г) линейно независимых решений (г — ранг матрицы размерностей) и что 2) любое решение системы (/С(, /с2, кп) можно представить в виде линейной комбинации этих п — г) линейно независимых решений. Поскольку каждое решение системы дает безразмерное произведение переменных a-i, Х2,. .., то первое свойство эквивалентно утверждению, что эти (п — г) безразмерных величин являются независимыми по отношению друг к другу, а второе свойство — утверждению, что все безразмерные величины, образованные из переменных ajj, Х2,. ... .., Хп, можно представить в виде произведений степеней этих (и — г) независимых безразмерных произведений. Отсюда вытекает следующая важная теорема теории размерности число безразмерных величин, образующих полную систему, равно общему числу переменных минус ранг матрицы их размерностей. [c.452]

Суммирование в левой части этого равенства распространяется на все загруженные шарниры, в правой части —на все стержни фермы. Кастильяно вводит относительно этой системы допущение, что ее прогибы являются линейными функциями внешних сил.. Вводя эти функции в левую часть уравнения (f), он получает возможность представить энергию деформации в виде однородной функции второй степени от внешних сил Р . Воспользовавшись теми же самыми соотношениями между прогибами и силами, он представляет силы в виде линейных функций от перемещений и получает таким путем энергию деформации как однородную функцию второй степени от перемещений Кастильяно применяет в своем исследовании оба эти выражения для энергии деформации V и доказывает две важные теоремы. [c.348]

Поскольку угловой размер смоченной дуги контура препятствия, определяемой естественным уравнением к = /С(б), не входит в интегральные уравнения (6.15) и (6.16), легко предположить, что этот размер определяется выбором параметра М. Некоторые довольно важные теоремы, относящиеся к этому предположению, будут рассмотрены в гл. VII, п. 4— 6. Однако, используя (6.8а), (6.8в) и (6.10), легко показать, что угловой размер 2Ss смоченной части спрямленного препятствия") определяется формулой [c.175]

Коши, устанавливая уравнения равновесия при поступательном смещении элемента в виде тетраэдра и уравнения равновесия при повороте относительно своей оси элемента в виде призмы с ромбическим основанием, пришел, пренебрегая величинами, пропорциональными объему, при наличии величин, пропорциональных площадям, к двум весьма важным теоремам, применимым к давлениям как в твер- [c.36]

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и [c.246]

Следовательно, электрический заряд элемента объема материальной среды — инвариант. (То же самое справедливо и для полного заряда.) Эта важная теорема об инвариантности электрического заряда является, таким образом, следствием справедливости уравнения непрерывности во всех инерциальных системах. Это можно показать также с помощью следующего рассуждения. Пусть заряженная частица с зарядом е первоначально покоится в системе 5. Под действием силы частица ускоряется, пока не достигнет той же скорости V, что и система 5 относительно 5. Поскольку заряд частицы сохраняется во время ускорения, то частица пока имеет заряд е относительно 5. С другой стороны, частица теперь имеет относительно 5 нулевую скорость, и поскольку она относительно 5 находится в том же положении, в каком находилась первоначально относительно 5, то заряд е частицы относительно 5 должен равняться постоянному заряду е относительно 5. Следовательно, в любое время е = е, что соответствует (5.10). [c.109]

Независимость поступательного и вращательного движений. Укажем теперь две важные теоремы, которые вытекают из предыдущих результатов. Однако более полезно вывести их из исходных уравнений. [c.72]

Двойственность, характерная для кристаллооптики, о которой говорилось в начале этого параграфа, в электромагнитной теории выражается общим положением, называемом теоремой обращения. Эта важная теорема помогает ориентироваться в обилии сложных формул кристаллооптики, давая руководящую нить при установлении внутренних связей между ними. Выражаясь упрощенно, можно сказать, что теорема обращения сокращает вдвое число формул и теорем кристаллооптики, подлежащих запоминанию. Для вывода этой теоремы умножим первое уравнение (75.5) векторно на 5. Получим [c.503]

Из уравнений (3) и (4) мы можем вывести две важные теоремы, касающиеся значения V для системы, которой сообщаются заданные перемещения или которая подвергается действию заданных сил. [c.114]

Бели заданы й, V, р, то с помощью этих уравнений можно вычислить й, I я р. Из третьего интеграла площадей следует важнейшая теорема небесной механики, а именно, знаменитая теорема Лапласа об устойчивости. Благодаря исследованиям Лапласа и Лагранжа, к которым мы еще возвратимся в одном из следующих разделов, было показано, что если принимать во внимание по крайней мере только члены низшего порядка относительно возмущающих масс, то большие полуоси а и а оскулирующих эллипсов будут совершать только периодические колебания вблизи средних значений о и а . Это утверждение, которое составляет первую часть теоремы об устойчивости Лапласа, мы будем предполагать здесь доказанным. [c.221]

Для дальнейшего продвижения в этой области нужно обратиться к методам специальных или общих возмущений. Возможность разработки удовлетворительных теорий общих возмущений основана на очень важной теореме Коши. Эта теорема по существу утверждает, что если в некоторый момент времени материальные точки расположены на конечных расстояниях друг от друга, то система дифференциальных уравнений имеет решение в том смысле, что на конечном интервале времени координаты и скорости точек могут быть представлены сходящимися рядами. [c.139]

Отметим, следуя С. М. Рытову [81], следующее важное обстоятельство. Исключая из (13.21) Н (или В), иы получаем для (или И) уравнение второго порядка, применительно к которому теорема Фату дает для среднего показателя преломления значение = 8)1, в то время как из (13.21) следует, что п — ер.. Это расхождение обусловлено тем, что переход к уравнению второго порядка связан с дифференцированием одного из уравнений (13.21), производная же от приближенного решения не равна пределу при А - О производной от точного решения. Поэтому для получения приближенных Еъ Н переход к уравнению второго порядка недопустим. [c.69]

В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8—И). В гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению, начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них). В этой главе излагаются также новые результаты,. [c.89]

Важно также иметь в виду, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно (когда положение системы определяется одним параметром) составлять дифференциальные уравнения движения системы и, в частности, находить ускорения движущихся тел при этом на систему могут-вообще действовать и любые переменные силы (см. задачи 141—143 и задачу 154 в 130). [c.310]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

Вместе с тем появились и существенные дополнения, среди которых следует отметить написанную К. А. Лурье новую (тридцать первую) главу, содержащую изложение основ специальной теории относительности. В заново написанных параграфах получили освещение вопросы полета ракеты простейшей схемы, теории колебаний систем с произвольным конечным числом степеней свободы, применения общих теорем динамики систем материальных точек к сплошным средам (теоремы Эйлера, Бернулли, Борда), а также к выводу общих дифференциальных уравнений динамики сплошных сред и выражения мощности внутренних сил в сплошной среде. Последнее в случае сред с внутренним трением позволяет глубже судить о важном для механики понятии потерь (диссипации) механической энергии при движении среды. [c.7]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Обратим внимание на важную особенность системы (4.17) в нее не входят константы упругости и и. Следовательно, при заданных на поверхности пластинки нагрузках р , ру (4.4) эти уравнения могут быть решены и дадут напряжения, не зависящие от упругих свойств изотропного линейно-упругого материала. Это положение обычно называют теоремой Леви. Она служит теоретическим основанием, позволяющим напряжения, найденные на моделях, изготовленных из какого-либо материала, переносить на геометрически подобные и аналогично загруженные детали конструкций, выполненные из другого материала. Например, в методе фотоупругости используются прозрачные модели, а результаты экспериментальных исследований переносят на стальные, бетонные и т. п. элементы конструкций. Подчеркнем, что строго это положение справедливо только для элементов с заданной поверхностной нагрузкой (а не перемещениями) и, как показывает более подробный анализ, только для односвязных тел, т. е. тел без отверстий. В телах с отверстиями для применимости теоремы Леви надо, чтобы выполнялось дополнительное условие, а именно на каждом из замкнутых контуров тела и отверстий главные векторы и момент поверхностной нагрузки должны быть равны нулю. [c.77]

Джордж Габриель Стокс (1819—1903 гг.)—выдающийся английский физик и математик, профессор Кембриджского университета, автор ряда исследований по математике и гидродинамике. Дал вывод уравнения движения вязкой жидкости (см. гл. 5), исследовал закон медленного движения шара в жидкости и волны на поверхности жидкости. Получил ряд важных математических результатов, в числе которых излагаемая теорема. [c.51]

Из сказанного ясно, что, пользуясь девятью направляющими косинусами как обобщенными координатами, нельзя получить лагранжиан и составить с его помощью уравнения движения. Для этой цели мы должны использовать не сами эти косинусы, а некоторую систему трех независимых функций этих косинусов. Некоторые такие системы независимых переменных, из которых наиболее важной является система углов Эйлера, будут описаны нами позже. Однако применение направляющих косинусов для описания связи между двумя декартовыми системами координат имеет ряд собственных важных преимуществ. Так, например, многие теоремы о движении твердых тел можно получить с их помощью весьма изящным и общим способом, притом в форме, встречающейся в специальной теории относительности и в квантовой механике. Поэтому этот метод заслуживает более подробного изложения. [c.113]

Кроме отмеченных выше специфических проявлений механистического упрощенного мировоззрения, типичного для 18 века, труд Лагранжа, разумеется, не свободен и от известных недостатков специального научного характера. Некоторые теоремы (например — теорема Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной динамической системы и т. п.) доказаны в нем недостаточно строго, некоторые выводы недостаточна ясны или недостаточно общи (вывод условий равновесия проведен только для удерживающих связей, а вывод уравнений движения дан только для удерживающих и не зависящих от времени связей и т. д.). Дальнейший прогресс аналитической механики в 19 веке устранил эти недостатки и принес существенные обобщения системы аналитической механики Лагранжа, причем в этом прогрессе науки исключительно важную роль сыграли труды представителей передовой русской школы механики, школы Остроградского — Чебышева — Ляпунова Жуковского. [c.6]

Все же важно уже теперь отметить, что на основании общей теоремы Лиувилля, которую мы уже упоминали в п. 10 и доказательство которой отложили до 7 гл. X, задача 6 движении тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, будет интегрироваться только в квадратурах во всех тех случаях, когда для системы уравнений (34 ), (35 ) возможно указать первый интеграл, отличный от первых интегралов живых сил и моментов. [c.104]

В силу непрерывности мультипликаторов, они останутся некратными и при достаточно малых , отличных от нуля. Кроме того, при достаточно малых мультипликаторы не могут иметь модулей, больших единицы. Этот важный вывод является простым следствием теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении (14) системы (3) (п. 244). Согласно этой теореме, мультипликаторы расположены симметрично относительно единичной окружности. При малых е мультипликаторы не могут сойти с окружности, не нарушив указанной симметрии. [c.551]

Обычно в теории колебаний уравнение (III.15) является частотным уравнением соответствующей колебательной системы, числа равны квадратам собственных частот, а числа определяют v-ю форму свободных колебаний. Однако (и это важно для дальнейшего) и в том случае, когда некоторые из корней уравнения (II 1.15) отрицательны и, стало быть, не равны квадратам собственных частот, сформулированная теорема также верна. [c.117]

Таким образом выведена вторая половина дифференциальных уравнений (3), и следовательно данная выше теорема вполне доказана. Важно отметить, что согласно полученному результату ]х постоянных, входящих в V, могут быть выбраны произвольно и не должны быть обязательно равны начальным значениям q°,. . . действительно, для введения начальных значений надо или решать уравнения, или производить исключения, т. е. осуш,ествлять в большинстве случаев затруднительные операции, чего теперь можем избежать. [c.139]

Чтобы в заключение показать на особенно важном примере всю силу подстановки, разобранной в двадцать шестой лекции и давшей нам уже решение ряда механических задач, мы ее применим к теореме Абеля. Эта теорема относится к некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений и дает две различные системы ее интегральных уравнений, из которых одна выражается через трансцендентные функции, другая — чисто алгебраически. Эти две системы интегральных уравнений, так различные по своей форме, тем пе менее вполне тождественны. [c.207]

Первым и весьма важным результатом, полученным на основании решения уравнения (386), является теорема о влиянии на устойчивость точки перегиба на профиле скоростей. Согласно этой теореме профили скорости, имеющие точку перегиба, являются неустойчивыми. Расчеты на основе уравнения (386) для профилей (см. работу [41 ]) показали, что выпуклые профили (рис. 80, а, б) обеспечивают устойчивость движения, а профили скорости (рис. 80, в, г) приводят к неустойчивости. [c.177]

На основании этого положения имеем очень важную теорему 8. Редуцированные фигуры соответственно подобны действительным фигурам. Эта теорема значительно упрощает многие важные построения прикладной геометрии и механики. Для получения уравнения прямой пересечения плоскостей воспользуемся методом про- [c.166]

Из этой леммы может быть получена важная теорема, доказанная и Лиувил-лем, что если для канонических уравнений [c.30]

В т. п. устанавливается понятие г р у п-п ы явлений как области, в пределах которой обобщение закономерно и плодотворно. Группы выделяются из класса на основе расширенного понимания условий однозначности. Задание условий однозначности для единичного явления заключается в определении частных значений ряда физич. величин, характеризующих особые его признаки. Применительно к группе явлений те же признаки выражаются в виде произведений из соответствующих величин на постоянные численные множители (м н о-жители преобразования), к-рые принимают различные частные значения для отдельных явлений, входящих в состав группы, но сохраняют неизменные значения в пределах каждой данной системы. Умножение совокупности величин на один и тот же численный множитель есть подобное преобразование и X. Следовательно условия однозначности всякого явления получаются из условий однозначности любого другого явления той же группы непосредственно с помощью подобного преобразования всех величин, входящих в их состав. Так, поверхности взаимодействия между системой и окружающей средой во всех явлениях одной и той же группы между собой подобны (геометрическое подобие систем). Физич. константы образуют подобные поля (физическое подобие систем). Векторы всех величин в начальный момент и на границах систем также между собой подобны (подобие начальных и граничных условий). Т. о. условия однозначности для различных явлений одной и той же группы по существу представляют между собой одну и ту же систему условий, данную в различных масштабах (в широком понимании этого слова имеется в виду не только геометрич. масштаб, нотакжемасштаб всех физич. величин скоростей, перепадов давлений, Г-ных градиентов и т. п.). Но условия однозначности в совокупности с основными ур-иями определяют все свойства явления. Поэтому явления одной и той же группы, отвечающие одинаковым ур-иям и подобным между собой условиям однозначности, представляют собой одно и то же явление, данное в различных масштабах, т. е. образуют группу подобных между собой явлений. Этот вывод выражает содержание важнейшей теоремы Т. п. подобие условий однозначности есть достаточное основание для утверждения подобия явлений, определяемых одной. и той же системой уравнений. Группа подобных между собою явлений и есть область обобщения данных опыта. [c.426]

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные приложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. XXXI) и при изучении реактивного движения (см. 114). , [c.282]

Теорема об изменении количества движенин играет в гидра - > лике важную роль. Так, на ее основе мы получили даффереыда-альное уравнение движения и равновесия жидкости (Коши). Но чаще она используется в методе средних величин для составления [c.86]

Лагранжа выводятся уравнения сохранения углового момента Мк = pi Xj — X pj = onst, где индексы i, j, к образуют циклическую подстановку /, /, /с = 1, 2, 3. В современной физике теорема Нетер играет особо важную роль при математической интерпретации различных вариантов классификации элементарных частиц. Наиболее успешной из этих схем является классификация Гельмана ), в которой вводится наряду со спином, изотопическим спином ) и орбитальным моментом новое квантовое число странность, по которому проводится классификация элементарных частиц. Правила отбора по странности хорошо согласуются с экспериментальными данными по временам жизни элементарных частиц. В работе D Espagna и J. Prentki ) было показано, что странность можно полу- [c.912]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...