Обобщенные координаты и число степеней свободы механической системы

ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ И ЧИСЛО СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [c.750]

Обобщенные координаты и обобщенные скорости. Число координат (параметров), определяющих положение механической системы, зависит от количества точек (или тел), входящих в систему, и от числа и характера наложенных связей. Буде.м в дальнейшем рассматривать только системы с геометрическими связями, т. е. со связями, налагающими ограничения на положения точек системы в пространстве, но не на их скорости. Числом степеней свободы механической системы называется, как известно, число независимых между собою возможных перемещений системы ( 170). Геометрические связи уменьшают на одно и то же количество единиц и число независимых возможных перемещений системы, и число независимых между собою координат, определяющих положение этой системы. Например, если какую-нибудь точку системы с координатами х , у , связать жестким стержнем длины I (геометрическая связь) с неподвижной точкой Л (лГд, уд, ), то число возможных перемещений системы уменьшится на единицу, так как станет невозможным перемещение точки вдоль прямой АВк- Одновременно координаты точки будут все время удовлетворять уравнению (лг — х ) ( д — укУ - -(г д — кУ= Л выражающему эту связь математически следовательно, число независимых между собою координат системы тоже уменьшится на единицу. В результате оказывается, что число независимых координат, определяющих положение системы с геометрическими связями, равно числу степеней свободы этой системы. В качестве таких координат можно выбирать параметры, имеющие любую [c.453]

Уравнения (23) называются дифференциальными уравнениями Лагранжа 2-го рода. Число этих уравнений равно числу степеней свободы механической системы точек. Для составления уравнений (23) следует прежде всего выбрать обобщенные координаты системы и выразить кинетическую энергию системы Т через обобщенные координаты и обобщенные скорости. [c.494]

В 12 мы выяснили, что благодаря закону сохранения полной механической энергии движение материальной точки может быть ограничено некоторой областью пространства. Это утверждение справедливо и для системы материальных точек. Метод обобщенных координат, изложенный в предыдущей главе, позволяет сократить число независимых параметров, определяющих движение несвободной системы материальных точек. Число независимых параметров — обобщенных координат — равно числу степеней свободы системы движение системы рассматривается как движение изображающей ее точки в пространстве конфигураций. Многие системы описываются только одной координатой, так как обладают всего одной степенью свободы. Для таких систем характерно колебательное движение. [c.212]

Для системы с механическими голономными связями различие между операторами d и б имеет простой механический смысл, соответствующий различию между возможными и виртуальными скоростями, а число п новых координат равно числу степеней свободы системы. Имея в виду это обстоятельство, мы при выводе уравнений Лагранжа считали, что п удовлетворяет неравенству ns SN, хотя при отсутствии механических связей оснований для такого обобщения не было. [c.154]

Большой интерес представляют турбулентные течения и с чисто теоретической точки зрения как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы. В самом деле, движения любой непрерывной среды, строго говоря, описываются бесконечным числом обобщенных координат (в качестве которых можно принять, например, коэффициенты разложения поля скорости по какой-либо полной системе функции от пространственных координат). Однако в случае ламинарных движений эти координаты обычно можно выбрать таким образом, что лишь небольшое число отвечающих им степеней свободы будет возбуждено, т. е. будет реально участвовать в движении. В случае же развитого турбулентного движения возбужденным оказывается большое число степеней свободы, в результате чего изменения во времени любой физической величины описываются функциями, содержащими много компонент Фурье, т. е. имеющими очень сложный характер. Здесь практически безнадежно пытаться описать индивидуальные изменения во времени всех обобщенных координат, соответствующих возбужденным степеням свободы (т. е. математически выразить зависимость от времени полей скорости, давления и т. д. одного отдельного течения). Единственно возможным в теории турбулентности представляется статистическое описание, опирающееся на изучение статистических закономерностей, присущих большим совокупностям однотипных объектов. Таким образом, теорией турбулентности может быть лишь статистическая гидромеханика, изучающая статистические свойства ансамблей течений жидкостей или газов, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях. [c.8]

Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты (см. 142) 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные), [c.379]

Число степеней свободы и обобщенные координаты. Для того чтобы полностью описать движение материальной системы, содержащей N точек и лишенной каких-либо механических связей, нужно задать ЗЛ/ величин — этими величинами являются 2>N координат точек. Иначе обстоит дело в системах с механическими связями. [c.150]

При наличии механических связей, как и при отсутствии их, уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид при любом выборе обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы п исследуемой системы, а порядок системы уравнений Лагранжа равен 2п. [c.156]

Как известно, если на систему точек наложены голономные связи, то декартовы координаты всех точек системы можно выразить через обобщенные координаты число которых определяется числом степеней свободы данной механической системы. Следовательно, и радиус-вектор каждой точки системы можно выразить через обобщенные [c.325]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Данная система дифференциальных уравнений движения механической системы в обобщенных координатах — уравнений Лагранжа второго рода — дает единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Их вид и число не зависят ни от количества тел, входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся, и определяются лишь числом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений входят только активные силы. Следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все неизвестные заранее реакции связей. [c.303]

Приступая к составлению уравнений Лагранжа — Максвелла, следует, как обычно, установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты как механической, так и электрической частей системы. [c.219]

Число степеней свободы механизма с неголономными связями. Для механической системы с неголономными связями число независимых возможных перемещений, т. е. число степеней свободы Wh, равно разности между числом обобщенных координат S и числом уравнений неголономных связей /, так как каждое уравнение неголономных связей связывает между собой вариации обобщенных координат [c.48]

Составление этих уравнений предполагает, что состояние электромеханической системы описывается обобщенными координатами механической части, число которых в голономных системах равно числу степеней свободы механизма, и обобщенны ми координатами электрической части, определяющими состояние электрической части системы. [c.280]

Иногда целесообразно использовать переменные, характеризующие конфигурацию механической системы, в количестве превышающим число степеней свободы п = к, т. е. вместо п = к обобщенных координат (форм)01а (17.4)) принять к = ЪМ — т переменных т <. т) и налагать на них гп2 = т — гпх связей. Число степеней свободы. при этом, разумеется, остается прежним [c.13]

Число степеней свободы рассмотренной механической системы равно двум п — к — г = 3 — 1 =2. Исключить неголономную связь и ввести две независимые обобщенные координаты невозможно. [c.18]

Планетарный редуктор при учете упругих свойств подшипниковых опор сателлитов, и механических связей, наложенных на звенья редуктора, как правило, представляет собой сложную динамическую систему с дифференциальными связями, обладающую несколькими степенями свободы. Число степеней свободы планетарного редуктора в указанном случае, как в любой динамической системе с голономными связями, определяется числом независимых обобщенных координат, однозначно характеризующих динамические состояния этого редуктора. [c.109]

Предварительные замечания. Под упругими распределенными системами понимают упругие механические системы с непрерывно распределенными массой и жесткостью. Они имеют бесконечное число степеней свободы. В отличие от систем с сосредоточенными параметрами (с конечным числом степеней свободы п), динамическое поведение которых можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат i/y (I) (/ = 1, 2,. .., а) (см. часть первую), поведение распределенных систем описывают дифференциальными уравнениями в частных производных относительно некоторых функций координат и времени. Распределенные упругие системы называют линейными, если они описываются линейными уравнениями в частных производных. При решении задач динамики для распределенных упругих систем, кроме начальных условий, требуется формулировка краевых условий. [c.135]

Методы анализа случайных колебаний, изложенные в книге, дают возможность исследовать динамические процессы, возникающие в механических системах, определить вероятностные характеристики обобщенных координат системы и их производных для систем с конечным числом степеней свободы, получить вероятностные характеристики напряженно-дефор-мированного состояния для систем с распределенными параметрами. [c.5]

Таким образом, для равновесия механической системы необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным для системы обобщенным координатам, были равны нулю. Число условий равновесия (129) равно, как видим, числу обобщенных координат, т.е. числу степеней свободы системы. [c.460]

Чтобы для данной механической системы составить уравнения Лагранжа, надо 1) установить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты ( 174) 2) изобразить систему в произвольном положении и показать на рисунке все действующие силы (для систем с идеальными связями только активные) 3) вычислить обобщенные силы Q,- путем, указанным в 175 при этом во избежание ошибок в знаках каждое сообщаемое системе возможное перемещение должно быть направлено так, чтобы приращение соответствующей координаты было положительным, 4) вычислить [c.464]

Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа. Как уже говорилось, для определения положения механической системы, на которую наложено т двусторонних связей, достаточно задать только к = 3п—т каких-либо независимых параметров, полностью определяющих положение этой системы. Число независимых параметров равно числу степеней свободы системы. Каждая новая связь будет на единицу уменьшать число степеней свободы, а следовательно, и число независимых параметров, определяющих положение системы. Здесь всюду предполагается, что на систему наложены удерживающие связи. Независимые параметры, через которые могут быть выражены все декартовы координаты точек системы и которые полностью определяют положение последней, называются обобщенными координа-т а м и системы, или л а г р а н ж е в ы м и координатами [c.172]

Свободные и несвободные механические системы. Классификация связей. Геометрические связи. Ограничения, налагаемые геометрическими связями на скорости и ускорения точек системы, и вариации координат. Число степеней свободы системы. Обобщенные координаты, обобщенные скорости. [c.12]

Найти число степеней свободы и обобщенные координаты механической системы, которая состоит из грузов Ши Ш2у расположенных на стержне. Грузы связаны между собой и неподвижной точкой О пружинами рис. 1.2.1). Система моделируется двумя материальными точками (грузы гпх и тг), стержень — прямой, которая может вращаться вокруг точки О в плоскости хОу без трения. Записать уравнения связей и уравнения, которые накладывают ограничения на скорости и ускорения точек системы. [c.13]

При исследовании движения механических систем методом канонических уравнений Гамильтона полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Как и в методе уравнений Лагранжа 2-го рода, прежде всего устанавливаем число степеней свободы рассматриваемой механической системы точек. Затем выбираем независимые обобщенные координаты и составляем выражения для кинетической и потенциальной энергии в функции обобщенных координат и обобщенных скоростей. Составив функцию L = T+U T—V, по формулам (62) находим обобщенные импульсы pi, р2,. .Ps. Разрешая полученную систему линейных уравнений относительно обобщенных скоростей, мы можем по формуле (64) найти И в функции канонических переменных qu 2,. , qs, pu р2,. .., Ps H времени t Зная функцию H = H qu Ръ Ps, 0. можно написать канонические уравнения (67) и затем интегрировать полученную систему уравнений. [c.515]

Так как мы всюду интегрировали по каждому р тл г независимо от остальных и вообще рассматривали р всегда как независимые переменные, мы, следовательно, все время предполагали, что обобщенные координаты р , р ,. .., не связаны никаким уравнением. Следовательно, а есть число независимых переменных, требующихся для определения абсолютного положения всех составных частей молекулы в пространстве и их относительного положения друг относительно друга, [х называют числом степеней свободы молекулы, рассматриваемой как механическая система. [c.386]

Рассмотрим теперь задачу об устойчивости реального движения какой-либо механической системы без неинтегрируемых дифференциальных связей и с конечным числом степеней свободы. Пусть к — число степеней свободы, т. е. число независимых обобщенных координат определяющих положение системы. Во всякой динамической задаче (например, в любой задаче небесной механики), в которой заданы действующие на систему силы, величины да, рассматриваемые как функции времени /, будут удовлетворять к дифференциальным уравнениям второго порядка. Эти уравнения в самом общем виде можно написать следующим образом [c.63]

Можно было бы возразить, что классическая статистическая механика, следствием которой является теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы, неприменима к системам с бесконечным числом степеней свободы. Но такое возражение неубедительно. В основе классической статистической механики лежат уравнения классической механики в форме Гамильтона (1805—1865). Хотя они и были установлены для механических систем с конечным числом степеней свободы, но можно показать, что излучение в полости можно описывать бесконечным, но счетным числом обобщенных координат, также подчиняющихся уравнениям Гамильтона. Следовательно, и вся система, состоящая из-вещества и излучения, будет описываться уравнениями Гамильтона. [c.697]

Механическая система может состоять из произвольно большого числа частиц или тел и вместе с тем обладать небольшим числом степеней свободы. Например, кривошипно-шатунный механизм (кривошип - шатун - шток -поршень в цилиндре) обладает лишь одной степенью свободы уравнение движения механизма можно определить законом вращения одного только кривошипа ф = ф( ) угол поворота кривошипа ф - обобщенная координата. [c.231]

Ранг матрицы 5= 1,. .., т, к= 1,. .., и, предполагается равным т, и, следовательно, число независимых вариаций обобщенных координат равно п-т. По определению это число п-т называется числом степеней свободы неголономной механической системы. [c.197]

Число п не может меняться для данной механической системы и является ее характерной константой. Меньшее количество параметров недостаточно для описания системы, большего же количества не требуется. О системе, для однозначного определения конфигурации которой необходимо и достаточно задать п параметров, говорят, что она обладает т степенями свободы сами п параметров q ,. .., называются обобщенными координатами системы. Число частиц, образующих механическую систему, а также их координаты несущественны при аналитическом методе исследования, важны лишь обобщенные координаты q , q ,. .., q и некоторые определенные функции от них. Твердое тело может состоять из бесконечного количества частиц, а с точки зрения механики — это система, имеющая не более чем 6 независимых координат. [c.32]

Допустим, что рассматривается механическая система с голоном-ными, идеальными, двусторонними связями. Пусть число степеней свободы такой системы равно п. Это означает, что можно найти п обобщенных координат ql, д-2, Цп., определяющих геометрическую конфигурацию системы, т. е. положение системы в пространстве. Декартовы координаты всех точек механической системы, определяющие положение их в некоторой системе прямоугольных координат, можно выразить через обобщенные координаты. Число точек системы обозначим N. Других ограничений на связи системы не налагается связи, наложенные на систему, считаем реономными, т. е. выражающимися уравнениями связей, содержащими явно время 1. Тогда в формулах, выражающих декартовы координаты через обобитенные координаты, может входить явно и время с. Таким образом, зти формулы имеют следующий вид [c.361]

При определении положения механической системы часто пользуются обобщенными координатами. Обобщенными координатами механической системы и, следовательно, механизма называют такие независимые один от другого параметры, при помощи которых, выразив координаты всех ее точек через эти параметры, можно определить положение данной системы. Количество этих независимых параметров определяет число степеней свободы данной системы. Рассмотрим, например, кривошипно-пол-зунный механизм (рис. 1). Положение этого механизма, очевидно, определяется одним параметром — углом ф поворота кривошипа. Таким образом, значение ф однозначно определяет соответствующие ему положения отдельных звеньев и всего механизма в целом относительно стойки, поэтому угол <р есть обобщенная координата рассматриваемого механизма. [c.9]

Мы уже говорили о том, что кинематические соотношения ограничивают число степеней свободы рассматриваемой системы до 37V —р (=s), и во многих случаях более удобно сразу ввести s независимых переменных, задание которых полностью определяет состояние си- темы, чем по-прежнему пользоваться N величинами Xi (т. е, 3.V декартовыми координатами) наряду с кинематическими соотношениями и множителями Xi. Следует отдавать себе отчет в том, что, переходя к обобш енным координатам <7 (k=, 2, s), как принято называть такие новые параметры, мы, как и раньше, имеем дело с механическими системами, для которых справедлив принцип Д Аламбера однако эта гипотеза не выступает здесь уже столь очевидным образом. Обобщенные координаты являются функциями всех Xi и обратно что касается обоби енных скоростей jk, то они связаны с соотношениями [c.50]

Определяемое по формуле (4.1) число степеней свободы планетарного механизма можно условно назвать кинематическим, т. е. указанное число степеней свободы подсчитывается без учета упругих свойств связей. В действительности зубья центральных колес и сателлитов, а также механические элементы, посредством которых осуществляется остановка или взаимная связь основных звеньев отдельных планетарных одно- и двухступенчатых передач механизма, не являются абсолютно жесткими. При учете упругих свойстй звеньев число степеней свободы планетарного механизма как динамической системы определяется числом независимых обобщенных координат этого механизма. [c.127]

Фазовые диаграммы автономных систем. Состояние автономной системы, определяемое обобщенными координатами и обобщенными скоростями (/ = 1,2,. ..,п п — число степеней свободы), можно представить изображающей точкой G в 2я-мер-ном фазовом пространстве. Состояние автономной системы с одной степенью свободы (п = 1) может быть представлено изображающей точкой G в системе координат q, q (на фазовой плоскости). При этом процесс движения механической системы отображается движением изображающей точки на фазовой плоскости траекторию изображающей точки называют фазовой траекторией, а совокупность фазовых траекторий, соответствующих всевозможным начальным условиям, — мзовой диаграммой (рис. 3, а). Если [c.23]

При решении задач методом уравнений Лагранжа 2-го рода полезно придерживаться следующего порядка вычислений. Прежде всего нужно определить число степеней свободы рассматриваемой механической системы и выбрать обобщенные координаты. Затем следует установить связь между декартовыми и обобщенными координатами, т. е. установить зависимости типа уравнений (12). После этого нужно составить выражение для кинетической энергии в функции обобщенных координат. В большинстве практических задач кинетическая энергия определяется простыми формулами на основании теоремы Кёнига формулами (25) или (26) приходится пользоваться сравнительно редко. При определении обобщенной силы можно пользоваться формулой (150 или находить ее, руководствуясь следующими соображениями. Пусть требуется найти обобщенную силу Рд, отнесенную к координате Дадим точкам системы такие [c.496]

Эти к уравнений представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах, они впервые были получены Лагранжем в его Аналитической механике и потому называются уравнениями Лагранжа. Важно обратить внимание на то, что, во-первых, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат данной системы, т. е. равно числу ее степеней свободы, и, во-вторых, что неизвестные реакции совершенных связей, наложенных на систему, в эти уравнения не входят. Уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями д ,. .., Если проинтегрируем эти уравнения, то найдем координаты механической системы 911 > 9йКак функции времени I, а потому будем знать положение этой системы в любой момент времени, и, следовательно, движение системы будет полностью определено. Таким образом, когда уравнения Лагранжа для данной механической системы составлены, то решение второй основной задачи динамики, т. е. определение движения системы под действием заданных сил, сводится к математической задаче интегрирования этих уравнений. [c.555]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...