Степени свободы и обобщенные координаты

Число степеней свободы и обобщенные координаты. Для того чтобы полностью описать движение материальной системы, содержащей N точек и лишенной каких-либо механических связей, нужно задать ЗЛ/ величин — этими величинами являются 2>N координат точек. Иначе обстоит дело в системах с механическими связями. [c.150]

СТЕПЕНИ СВОБОДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ [c.8]

Рис. 17.70. К примеру 17.28 а) система с двумя степенями свободы И обобщенные координаты б) пе вое слагаемое деформации системы в) к определению жесткости упруго проседающей опоры г) присоединение слагаемого деформации д) к определению жесткости балки в отношении прогиба посредине пролета.

Для решения задач динамики важным является выбор числа степеней свободы и обобщенных координат, так как, строго говоря, мы всегда имеем дело с системой, обладающей бесконечным числом степеней свободы. Для одной и той же системы может быть предложено несколько моделей в зависимости от начальных условий, требуемой точности, характера действующих сил и задач исследования. [c.15]

Найти число степеней свободы и обобщенные координаты механической системы, которая состоит из грузов Ши Ш2у расположенных на стержне. Грузы связаны между собой и неподвижной точкой О пружинами рис. 1.2.1). Система моделируется двумя материальными точками (грузы гпх и тг), стержень — прямой, которая может вращаться вокруг точки О в плоскости хОу без трения. Записать уравнения связей и уравнения, которые накладывают ограничения на скорости и ускорения точек системы. [c.13]

П.2. Пусть к связям, рассмотренным в примере 1, добавлены еще две связи х, = А ф,, Я2 = А ф2, т.е. материальные точки движутся по винтовым линиям с одинаковым шагом. Система имеет две степени свободы и обобщенные координаты (ф,, Ф2). Допустим, что поле силы тяжести отсутствует (g=0) и лагранжиан [c.105]

Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем углы поворотов барабанов и ф . Определим предварительно обобщенные силы как функции обобщенных координат. Для этого составим выражение для элементарной работы задаваемых сил на возможном перемещении [c.406]

Решение. Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем абсолютные вертикальные перемещения Sj и Sj грузов из положения статического равновесия. [c.469]

Рассматриваемая система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты выберем расстояние вдоль плоскости от груза А до точки статического равновесия пружины и угол ф, образуемый маятником с вертикалью [c.64]

Рассматриваемая система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф (угол между осью х и стержнем О А), т. е. <7 = ф. Запишем координаты центра масс стержня 0.4 [c.96]

Физический маятник можно считать системой с одной степенью свободы. За обобщенную координату примем угол ф между вертикалью и отрезком ОС, соединяющим точку привеса О с центром масс С. Считаем, что трения в подшипниках оси привеса нет и, следовательно, связи, наложенные на маятник, являются идеальными. Составим для физического маятника уравнение Лагранжа [c.428]

Рассмотрим консервативную динамическую систему, подчиненную стационарным голономным связям и имеющую две степени свободы независимые обобщенные координаты системы обозначим через q и <72. [c.547]

Решение. Система имеет две степени свободы за обобщенные координаты примем угол ф и расстояние х. Тогда уравнения Лагранжа запишутся в виде [c.305]

Плоская фигура, вынужденная двигаться, оставаясь в своей плоскости, имеет три степени свободы. За обобщенные координаты примем две координаты полюса О и угол (р, образованный осью Ох, [c.64]

Пример 3 (Движение двойного маятника в вертикальной плоскости в ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ (рис. 15)). Пусть стержни, образующие маятник, имеют одинаковую длину I и одинаковую массу т. Эта система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем углы ср и ф, изображенные на рис. 15. Для вычисления потенциала П возьмем систему координат с началом в точке А и с осью Ах, направленной вертикально вниз. Тогда, обозначая через х и Х2 абсциссы центров тяжести верхнего и нижнего стержней, имеем [c.98]

Сферический маятник имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем сферические координаты ср, в точки т. Так как расстояние точки т до начала координат постоянно и равно то, согласно формуле (30) п. 9, для кинетической энергии имеем выражение [c.271]

Вспомним, что всякую машину мы можем рассматривать, как некоторую систему с одной степенью свободы, и всякую координату, которой определяется положение всех точек этой системы, — как обобщенную координату. [c.43]

Подобные соотношения существуют и в классической механике. В виде примера можно указать на уравнение фазовой траектории системы с одной степенью свободы, связывающее обобщенную координату и ее производную по времени Известно, какое значение для аналитической механики и теоретической механики имеют понятия фазовых координат и фазовых пространств и соотношения, выражающиеся интегральными инвариантами, например, теоремой Лиувилля и др. Но оказывается область подобных соотношений, независимых от силовых воздействий, может -быть значительно расширена. Такие соотношения можно назвать автономными связями. Приведем в виде примера автономные связи, сопутствующие движению одной точки. Рассмотрим для этой цели основные характеристические векторы движения г — радиус-вектор точки [c.14]

Свободные и несвободные механические системы. Классификация связей. Геометрические связи. Ограничения, налагаемые геометрическими связями на скорости и ускорения точек системы, и вариации координат. Число степеней свободы системы. Обобщенные координаты, обобщенные скорости. [c.12]

Система с одной степенью свободы характеризуется обобщенной координатой q. Если на эту систему действуют силы потенциального поля, то потенциальная энергия является функцией обобщенной координаты П(9). Положение равновесия системы соответствует условию dn/d9=0, а устойчивое равновесие — минимуму потенциальной энергии. Колебания системы с одной степенью свободы (одномерный осциллятор) описываются потенциальной энергией U x)= iX /2 и кинетической энерги- [c.150]

Система имеет, очевидно, две степени свободы. За обобщенные координаты выберем абсциссу л тела / и угол ф отклонения маятника от вертикали. Кинетическая энергия Т системы состоит из суммы кинетической энергии и тел / и II [c.440]

Двойной математический маятник (см. рис. 18.15) имеет две степени свободы. За обобщенные координаты возьмем углы и фз. Система состоит из двух материальных точек, поэтому ее кинетическая энергия равна [c.442]

Так как колебания автомобиля происходят в его средней вертикальной плоскости, то система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем вертикальное перемещение г центра тяжести С автомобиля и угол ф поворота его вокруг оси, проходящей через точку С параллельно осям (рис. 20.12). [c.486]

Рассмотрим так называемый двойной маятник (рис. 187) маятник II шарнирно связан с маятником I. Система, очевидно, обладает двумя степенями свободы за обобщенные координаты примем углы ф1 и ф2. Кинетическая энергия первого маятника [c.414]

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф между осью О2 и линией ОС. Кинетическая энергия в данном случае равна [c.499]

Введение. Рассмотрим механическую систему с п степенями свободы, описываемую обобщенными координатами q G и скоростями q G (q= [0 +с>о)У Пусть Т = - ( (q)q, q) [c.62]

Наша система имеет одну степень свободы за обобщенную координату возьмем угол ср, образованный стержнем АВ с вертикалью. Введем вспомогательные углы аир, образованные коромыслами BOi и Og соответственно с горизонталью и с вертикалью. Эти лишние координаты а и связаны с основной координатой tp уравнениями [c.379]

Первая причина состоит в том, что мы можем рассматривать системы с бесконечным числом степеней свободы. Система с конечным числом степеней свободы описывается обобщенными координатами и обобщенными скоростями щ ). Если число координат становится континуальным, мы начинаем иметь дело с полем (р х,Ь), где непрерывная величина х играет роль индекса i. [c.34]

Однако временно для получения выражения зависимости давления тормозных колодок на ограничительное кольцо мы не будем полагать, что 8 = 8о. и будем рассматривать регулятор как систему с двумя степенями свободы (с обобщенными координатами ср и ). Функция Лагранжа для такой системы запишется в виде [c.264]

Математическая модель колесной пары на жестком пути представляет колебательную систему с восемью степенями свободы. За обобщенные координаты системы дх — да примем соответственно вертикальные перемещения сосредоточенных масс и углы поворота колесных центров. При решении дифференциальных уравнений изгибных колебаний балок используется каноническая форма метода сил и перемещение -й точки выражается через действующие силы (силы инерции) [c.50]

При решении этой задачи может возникнуть следующий вопрос так как система имеет две степени свободы и обобщенные координаты у и гз независимы друг от друга, то можно ли решать задачу в предположении, что грузы и Л1з не движутся относительно второго блока, т. е. zs = onst [c.396]

Решение. Систе.ма движущихся тел имеет две степени свободы. За обобщенные координаты системы примем перемещение 5 груза по наклонной плоскости и угол ф поворота диска А. Считаем угол ф положительным против двилсення часовой стрелки, а перемещение X — вниз по наклонной плоскости. [c.369]

Р е ill 9 и и й. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф, отсчитываемый от положения равновесия огержия ОМ против часовой стрелки. [c.431]

С телом жестко свяжем систему координат Oxyz ее ось Оъ направлена вдоль оси 00. Тело имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол ф, образуемый осями ОХ и Ох. [c.147]

Примем точку О за начало неподвижной системы координат OXYZ, ось 0Z которой направим по оси OOi. С телом жестко свяжем систему координат Oxyz ее ось Oz направлена вдоль оси OOi. Тело имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол (р образуемый осями ОХ и Ох. [c.177]

В общем случае точное воспроизведение заданных движений объекта каким-либо механизмом без высших пар возможно лишь при равенстве числа его степеней свободы числу обобщенных координат объекта. Соответственно точные генераторы заданных движений с низшими кинематическими парами должны иметь несколько степеней свободы, что требует введения специальной системы управления, обеспечивающей требуемые связи между обобщенными координатами перемещаемого объекта. Однако стремление к реализа-Щ И заданных движений простейшими средствами, в частности рычажными механизмами с минимальным числом звеньев и управляемых степеней свободы, приводит к аппрокси-мационной постановке задач кинематического синтеза механизмов, суть которой состоит в построении механизмов, приближенно реализующих заданную програмвлу движения. Эти задачи в свою очередь представляются в виде классической задачи приближения функций среди множества функций перемещения механизмов рассматриваемой структуры определить такую, которая наиболее близка к функции, описывающей заданное движение. Наиболее близка - естественно, понятие относительное, зависящее от метрики, в которой определенно расстояние (отклонение) приближающей фунгаши от заданной. [c.432]

Рассмотрим теперь обпщй случай системы, состоящей из п материальных точек и имеющей к степеней свободы. Обозначим обобщенные координаты этой системы через qx, % [c.537]

При такой конструкции вся система движется-в вертикальной плоскости, которую мы примем за плоскость ху (ось Z направим перпендикулярно к плоскости чертежа). Положение двойного математического маятннка вполне определяется двумя угла-ми ф1 и фз отклонения стернчней от вертикали, Следов<11е.п,но, сисгема иуеег две степени свободы. За обобщенные координаты qi и примем углы ф и ф2. Обобщенные силы вычислим тремя способами. [c.426]

Система имеет две степени свободы. За обобщенные координаты примем углы фх и фг отклонения маятников от верхнего вертикального положения. Потенциальная энергия системы П складывается нз потенциальной энергии П, сил тяжести маятников и потенциальной энергии Пг спиральных пружин. Приняв вертикальное положение маятников за нулевое, вычислим как работу сил тяжестп при переходе системы из данного положения в нулевое [c.460]

Л1Ы-ма/ериальных точек. При рассмотрении различных видов движения твердого тела устанавливается число его степеней свободы, выбираются обобщенные координаты. Далее разбирается вопрос о распределении скоростей. Формулы для скорости произвольной точки тела рассматриваются как иллюстрация общей формулы, выражающей скорость точки, принадлежащей системе, через обобщенные скорости. Для дальнейшего важно рассмотреть общий случай движения. В то же время плоскопараллельное дв ижение не занимает особого положения, и объем сведений о его свойствах может быть уменьшен или увеличен в зависимости от конкретных обстоятельств. Вообще, центральное место здесь занимает вопрос о способах описания движения (выбор обобщенных координат) и теоремы о распределении скоростей. Теоремы о распределении ускорений, геометрические построения (центроиды, аксоиды, план скоростей) и т. д. представляют собой роскошь , которую можно себе позволить, если это возможно и целесообразно. Сюда же можно отнести и теорию сложного движения точки, рассматриваемую обычным способом в этом же разделе. [c.74]

Следовательно, эти уравнения можно рассматривать независимо от уравнений неголономных связей (42), которые служат для определения переменных у, как уравнения движения механической системы с п степенями свободы, определяемой обобщенными координатами х, кинетической энергией Т и находящейся под действием потенциальных сил, производных от потенциальной энергии V и гироскопических сил (iix) X (заметим, что х" (Ох) х = LOijhXiXjXh = О, так как uJijh = = —ujjih)- Наличие этих сил вызвано существованием неинтегрируемых связей в данной системе, поэтому слагаемые (i2x)x в уравнениях (43) будем называть членами неголономности. [c.442]

Прежде чем продолжить вывод уравнений Лагранжа второго рода, остановимся на понятии независимых обобщенных координат. Такими координатами по определению являются любые ЗМ—к величины, однозначно определяюи ие положение системы Кик — числа точек системы и голономных связей соответственно). Число независимых обобщенных координат, равное 5 = ЗЛ —к, в случае систем с голономными связями называется числом степеней свободы. Независимые обобщенные координаты будем обозначать 7ь 2, а всю эту совокупность для краткости будем в дальнейшем обозначать символом q. [c.217]

Решение. В отличие от случая Лагранжа волчок на плоскости — система с пятью степенями свободы. Выберем обобщенные координаты X, у — проекции радиуса-вектора центра масс на плоскость и три эйлеровых угла. Радиус-вектор центра масс К = (ж, у, I С08в), скорость [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...