Равновесное статистическое распределение

РАВНОВЕСНОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ [c.147]

Глава 7. Равновесное статистическое распределение [c.149]

Проблема выбора решения уравнения Лиувилля возникает даже в случае равновесного состояния. Так как равновесное статистическое распределение не зависит от времени, классическое (1.1.19) и квантовое (1.2.66) уравнения Лиувилля указывают лишь на то, что любое равновесное распределение eq должно удовлетворять соотношению [c.52]

Равновесное статистическое распределение должно удовлетворять кинетическому уравнению тождественным образом. Это условие действительно выполняется. Равновесное распределение стационарно и (в отсутствие внешнего поля) однородно поэтому левая сторона уравнения (3,8) тождественно обращается в нуль. Равен нулю также и интеграл столкновений в силу равенства [c.24]

Идеальные системы в статистической теории — это условное понятие, использование которого в равновесной теории стало возможным благодаря тому, что равновесные статистические распределения не содер кат никакой информации о механизмах достижения системой равновесного состояния и поддержания его во время любых квазистатических процессов. [c.437]

Как следует из уравнения Неймана (11.36), равновесный статистический оператор коммутирует с гамильтонианом Й и для покоящейся системы является его функцией р=р[Я]. Поэтому необходимо задать зависимость коэффициентов Wu от энергии Если число квантовых состояний изолированной системы, имеющей энергию Е с определенным отклонением А <- , равно ЛГ( ), то в соответствии с постулатом равной априорной вероятности состояний таких систем имеем квантовое микроканоническое распределение [c.216]

Можно спросить, зачем нужно разрабатывать новый метод равновесной статистической механики, если известно, что проблема (в принципе) полностью решается методом статистической суммы. Частичные функции распределения могут дать лишь результаты, эквивалентные результатам, полученным методом статистической суммы. [c.254]

Согласно положениям статистической физики все макроскопические характеристики суть средние по распределению вероятностей для микросостояний системы. Поэтому постоянство термодинамических величин и одинаковость их значений во всех точках системы означают наличие единой для всех подсистем и стационарной, т. е. независящей от времени, функции статистического распределения. Мы увидим далее, что существуют достаточно простые и универсальные равновесные распределения, пригодные для всех систем. Это позволяет детально исследовать равновесные макроскопические системы. [c.37]

Для равновесных систем функция статистического распределение р q, р) не зависит от времени явно. Это значит, что в любом месте фазового пространства плотность фазовых точек не изменяется со временем. [c.39]

Второй способ изучения неравновесных процессов представляет собой дальнейшее развитие и обобщение идей статистической физики. Часто оказывается полезным следующий метод. Вводится функция распределения вероятностей для различных состояний частиц. Она обычно не совпадает с изучавшимися ранее распределениями по состояниям для равновесных систем. Как правило, распределение зависит от координат, а для нестационарных случаев — еще и от времени. (Равновесные же распределения постоянны во времени, зависимость от координат в них имеет место только при наличии внешних полей.) [c.216]

Если число частиц не фиксировано, но сохраняется для каждого члена статистического ансамбля, то равновесная функция распределения может быть записана в виде [c.53]

Традиционный способ вывода равновесных распределений основан на постулате Гиббса о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы [39]. Этот постулат определяет так называемый микроканонический ансамбль и соответствующее микроканоническое распределение. Распределения Гиббса, описывающие статистическое равновесие при других внешних условиях, выводится затем из микроканонического распределения. Эта схема изложена во многих книгах по равновесной статистической механике, но, к сожалению, ее невозможно обобщить на неравновесные состояния. По этой причине мы рассмотрим другой способ построения равновесных распределений Гиббса, основанный на теории информации. Все эти распределения будут выведены из условия максимума информационной энтропии при дополнительных условиях, определяющих равновесный ансамбль. Мы покажем, что в равновесном случае максимум информационной энтропии совпадает с энтропией Гиббса и может быть отождествлен с термодинамической энтропией. Преимущество такого подхода перед традиционным заключается прежде всего в том, что он допускает интересные обобщения на неравновесные системы, и мы будем часто им пользоваться. [c.53]

Как уже отмечалось, микроканоническое распределение обычно постулируется в равновесной статистической механике. Между тем предположение о равновероятности динамических состояний замкнутой, энергетически изолированной системы — разумная, но отнюдь не очевидная гипотеза. Проблема обоснования этой гипотезы называется эргодической проблемой [53]. Мы не будем здесь обсуждать эту проблему, но заметим, что мы доказали важное свойство микроканонического распределения, которое можно считать аргументом в пользу эргодической гипотезы. Мы показали, что среди всех распределений в заданном энергетическом слое микроканоническое распределение соответствует максимальному значению информационной энтропии ). [c.56]

Рассмотрим теперь систему с фиксированным объемом V, находящуюся в контакте с термостатом, который служит также резервуаром частиц. Равновесное состояние такой системы описывается большим каноническим ансамблем а соответствующее статистическое распределение (классическое или квантовое) называется большим каноническим распределением. Мы получим это распределение, исходя из принципа максимума информационной энтропии. [c.59]

Энтропия и термодинамические соотношения в квазиравновесных ансамблях. Важно отметить, что с помощью квазиравновесно-го ансамбля и соответствующего статистического распределения можно распространить термодинамические соотношения на неравновесные системы. Как и в равновесном случае, естественно отождествить максимальное значение информационной энтропии (при заданных значениях наблюдаемых) с термодинамической энтропией. Информационная энтропия квазиравновесного распределения (2.1.20) равна [c.86]

Хорошо известно, что простейшими моделями в равновесной статистической механики ЯВЛЯЮТСЯ системы с малой плотностью или со слабым взаимодействием, так как изучение каждой из них можно начинать с очень простого нулевого приближения — системы свободных частиц. Аналогичная ситуация имеет место и в теории неравновесных процессов. Как отмечено в разделе 2.1.1, для разреженного газа и для систем со слабым взаимодействием можно ввести кинетическую шкалу времени или, как ее иногда называют, кинетическую стадию эволюции. На этой стадии все многочастичные функции распределения полностью определяются одночастичной функцией распределения. При этом основная задача состоит в том, чтобы получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения. В настоящей главе мы применим метод неравновесного статистического оператора к выводу кинетических уравнений для классических систем и рассмотрим несколько типичных примеров. [c.163]

Мы начнем с подхода к кинетической теории, основанного на последовательном разложении кинетического уравнения по степеням плотности. Этот подход, получивший название групповых разложений, аналогичен хорошо известному методу вириаль-ных разложений термодинамических величин в равновесной статистической механике неидеальных газов [124]. Для простоты будем считать, что частицы не обладают внутренними степенями свободы. Мы не будем также рассматривать связанные состояния или составные частицы, которые могут образовываться благодаря притягивающей части потенциала взаимодействия. Строго говоря, подобная модель описывает только инертные газы (гелий, аргон и т.д.), но в некоторых случаях возможно ее обобщение на молекулярные газы путем введения дополнительного аргумента у одночастичной функции распределения, учитывающего внутренние состояния молекулы [78]. Проблема связанных состояний в кинетической теории значительно более сложна, поскольку при рассмотрении многочастичных процессов рассеяния нужно, вообще говоря, учитывать квантовые эффекты [105]. [c.164]

В соответствии с общей идеей сокращенного описания неравновесных систем, нормальным решением уравнения Больцмана (ЗА.З) можно назвать такое решение, которое в отдаленном прошлом совпадает с локально-равновесным максвелловским распределением (ЗА.19). Иными словами, нормальное решение уравнения Больцмана отбирается с помощью специального граничного условия точно так же, как неравновесный статистический оператор был найден в главе 2 с помощью граничных условий к уравнению Лиувилля. Продолжая дальше эту аналогию, введем в уравнение Больцмана бесконечно малый источник, отбирающий нормальное решение [27] [c.236]

По своей структуре член Ii t) аналогичен интегралу столкновений Левинсона (4.5.13), за исключением того, что в формуле (4.5.47) поправки Хартри-Фока включены в невозмущенный оператор эволюции. Новый член Ii (t) учитывает вклад неравновесных корреляций в интеграл столкновений. Даже не производя явных вычислений, легко заметить, что в тепловом равновесии Ii t) и Ii t) точно компенсируют друг друга и, тем самым, полный интеграл столкновений (4.5.46) обращается в нуль. Чтобы убедиться в этом, проще всего вернуться к выражению (4.5.45) для статистического оператора. Мы уже отмечали, что в тепловом равновесии квазиравновесный статистический оператор (4.5.26) переходит в распределение Гиббса Заменяя в (4.5.45) Qq на равновесный статистический оператор и учитывая, что коммутирует с гамильтонианом системы, находим, что д = д . Отметим, что при этом каждый из интегральных членов уравнения (4.5.45) в равновесном состоянии не равен нулю [c.318]

Пример статистического распределения, описывающего локально-равновесное состояние жидкости или газа, мы приводили в разделе 2.2.1. Статистическая теория нелинейных гидродинамических процессов будет излагаться во втором томе. [c.390]

Теперь, если /5 = /5 = квазиравновесный статистический оператор совпадает с равновесным (гиббсовским) распределением при температуре Т = 1//5. Однако Qq t) может описывать и сильно неравновесное состояние системы, в котором обратные температуры Pi t) и / 2( ) имеют смысл множителей Лагранжа, определяемых из условий самосогласования [c.91]

Если состояние сверхтекучей жидкости обладает вихревой структурой, то некоторые из выведенных в этом параграфе соотношений оказываются несправедливыми. Несмотря на то, что делались различные попытки сформулировать термодинамические соотношения и построить феноменологическое обобщение гидродинамики сверхтекучести при наличии квантованных вихревых линий [38], в настоящий момент мы не имеем удовлетворительного микроскопического подхода к этой проблеме. Трудности возникают даже при построении статистического распределения, описывающего локально-равновесное состояние с квантованными вихрями. [c.207]

В некотором отношении энтропия (9.4.47) аналогична энтропии Гиббса в статистической механике. Иногда используются другие определения. Например, в [20] неравновесная энтропия вводится через локально-равновесное максвелловское распределение, зависящее от флуктуирующей макроскопической скорости. В разделе 9.4.6 будет показано, что можно определить термодинамическую энтропию турбулентного движения, основанную на квазиравновесном распределении для поля скоростей. Ясно, что различным определениям могут соответствовать различные свойства энтропии. Во всяком случае поведение энтропии в турбулентности является очень интересным вопросом, который требует дальнейших исследований. [c.266]

Здесь п — число поглощающих молекул, В(Е, Е ) — коэффициент Эйнштейна (переход между двумя состояниями вырожденных уровней Е и Е с поглощением частоты V), g E) и g E ) — статистические веса уровней Е и , V — скорость света в среде, О — статистический интеграл равновесной функции распределения молекул по колебательным уровням исходного электронного состояния. Колебательные энергии начального и конечного уровней связаны с частотой перехода V (рис. 18) соотношением [c.41]

НОЙ ИСТОЧНИК ошибок при таком (методе градуировки — отсутствие статистического распределения атомов по уровням энергий, что становится существенным, поскольку уровни тонкой структуры для Н и Не II в условиях эксперимента не разрешены. Так, например, в полом катоде возможны значительные отступления от равновесных заселенностей, так как при концентрациях электронов 10 см и давлениях р>1 тор решающее влияние на распределение атомов по близлежащим уровням оказывают атомные столкновения. Это означает, что распределение по уровням тонкой структуры определяется температурой газа [58а]. Отсюда следует, что даже при расстояниях между подуровнями 0,01 эв могут быть заметные отступления. Менее вероятно отсутствие статистического распределения по уровням энергии в таких источниках, как, Стелларатор [54], Зета [55], скользящая искра [58]. [c.245]

Оказывается, что движение гранулированных сред может успешно изучаться при помощи моделей идеальной жидкости ( сухая вода ), вязкой ньютоновской и неньютоновской жидкостей, пластических и упруго вязких сред и т. д. При этом применяются как методы феноменологической гидродинамики и теории упругости и пластичности, так и статистический подход, основанный на изучении законов взаимодействия отдельных гранул и получения при помощи функции распределения (обычно рассматривают равновесную функцию распределения) выражений для тензора напряжений, скорости, плотности и т. д. [c.403]

Можно сразу же найти саму равновесную функцию распределения, которая определяется с помощью обычного для статистической механики вариационного метода. При этом мы производим вариации относительно равновесного распределения и энергия (р, х л), которая входит в распределение Ферми, вычисляется при равновесии. Единственное использованное здесь предположение опять-таки состоит в том, что функция л (р, х) полностью описывает систему. [c.397]

Мы видим, что равновесное статистическое распределение подсистем по своим микросостояниям имеет универсальный характер. Различные подсистемы отличаются друг от друга не типом этого распределения, а только величиной статсуммы. Статсумма выступа- [c.150]

В статистическом пределе N oo, У- оо, V/iV = u = Gnst) получаем цепочку уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения [c.212]

Таким образом, равновесные термодинамические параметры, как показывает статистико-механическая теория, либо представляют собой средние значения микроскопических параметров (U= = Е), (N)), либо являются характеристиками статистического распределения (Т, ti, S, F). Поскольку макроскопическая система состоит из физически бесконечно большого (yV—10 ) числа частиц, плотности распределения параметров системы имеют очень резкий максимум, соответствующий наиболее вероятному состоянию системы. С этой точки зрения равновесные макроскопические параметры системы характеризуют наиболее вероятное состояние системы. [c.148]

ЭНТРОПИЯ (от греч. entropfa—поворот, превращение)— понятие, впервые введённое в термодинамике для определения меры необратимого рассеяния энергии. В статистической физике Э. служит мерой вероятности осуществления к.-л. макроскопич. состояния, в теории информации—ые-рой неопределённости к.-л, опыта (испытания), к-рый может иметь разл. исходы. Эти трактовки Э. имеют глубо кую внутр. связь. Напр., на основе представлений об информационной энтропии можно вывести все равновесные статистич. распределения (см. 1иббса распределения). [c.616]

Энтропия в равновесной статистической физике зависит от выбора статистич. ансамбля. Для микроканонич. ансамбля Гиббса (см. Гиббси распределения), описывающего равновесное состояние изолированных систем, Э. выражается через статистический вес состояния N, V) [c.617]

Сделаем в заключение этого параграфа следуюшее замечание. Вывод распределений Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака методом яши-ков и ячеек предполагает, что в ходе процесса установления термодинамического равновесия частицы могут менять энергию, переходя из яшика в яшик. В противном случае любое начальное неравновесное распределение частиц в //-пространстве оставалось бы неизменным и не релаксировало бы к равновесному состоянию, а процедура максимизации In W не имела бы смысла. Очевидно, возможность переходов частиц из яшика в яшик возникает благодаря взаимодействию частиц с окружаюшей средой (друг с другом частицы не взаимодействуют). Эта окружаюшая среда обязана быть термостатом (Т = onst) с непроницаемыми (N = onst) стенками. Это следует из того, что при выводе статистических распределений мы считаем фиксированными полное число частиц N я полную энергию U, которая при фиксированном N зависит для идеального газа только от температуры. Таким образом, распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака, а также распределение Максвелла - Больцмана, которое мы получим в следуюшем параграфе, представляют собой наиболее вероятные распределения частиц идеального газа в //-пространстве при условии, что этот газ помешен в термостат. [c.184]

Далее он переходит к систематическому изложению равновесной статистической механики (гл. 4—10), начиная с введения равновесных ансамблей Гиббса для различных типов контакта системы с окружением и обсуждения их связи с термодинамикой (гл. 4). В качестве простых примеров рассмотрены идеальные и слабоидеальные газы, причем очень подробно обсуждается диаграммный метод для случаев слабого взаимодействия и малой плотности. Большое внимание уделяется методу частичных распределений в равновесном случае. Этот метод далее, в гл. 8, служит основой для приближенных теорий жидкого состояния (уравнение Перкуса — Йевика, гиперцепное приближение). Большая [c.5]

Два важнейших метода равновесной статистической механики, один из которых основан на использовании статистической суммы, а другой — на использовании частичных функций распределения, не являются независимыми друг от друга на это указывает идентичность получаеьшх с их помош ью результатов. Связь между обоими методами в весьма изящной форме была найдена Боголюбовым, затем этот вопрос получил дальнейшее развитие в работе Лебовитца и Перкуса. Помимо того что зтот метод вскрывает важную структурную особенность теории, он, как будет видно из следующей главы, полезен и для конкретных применений. [c.274]

Второе замечание касается связи изложенного метода построения ансамблей Г иббса с равновесной термодинамикой. Мы видели, что некоторые термодинамические величины вводятся как множители Лагранжа и определяются из дополнительных условий, наложенных на статистический ансамбль. Папример, температура Т и химический потенциал fi определяются условиями, что средние значения 7/ и полученные из статистического распределения (1.3.70), должны совпадать с заданными величинами (Я) и (7V) [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...