Нормальные решения уравнения Больцмана

ЗА. Нормальные решения уравнения Больцмана [c.233]

В соответствии с общей идеей сокращенного описания неравновесных систем, нормальным решением уравнения Больцмана (ЗА.З) можно назвать такое решение, которое в отдаленном прошлом совпадает с локально-равновесным максвелловским распределением (ЗА.19). Иными словами, нормальное решение уравнения Больцмана отбирается с помощью специального граничного условия точно так же, как неравновесный статистический оператор был найден в главе 2 с помощью граничных условий к уравнению Лиувилля. Продолжая дальше эту аналогию, введем в уравнение Больцмана бесконечно малый источник, отбирающий нормальное решение [27] [c.236]

Так как производная Dfo/Dt с помощью (ЗА.28) выражается через гидродинамические величины, то функция / = /о + 5/ представляет собой нормальное решение уравнения Больцмана. [c.238]

В стационарном случае изложенный выше метод построения нормальных решений уравнения Больцмана эквивалентен хорошо известной теории Чепмена-Энскога ). Отметим, что путем итераций уравнения (ЗА.22) можно построить более общие нормальные решения уравнения Больцмана. Они приводят к обобщенным гидродинамическим уравнениям, включающим производные более высоких порядков от термодинамических параметров и эффекты запаздывания [27]. [c.240]

Рассмотрение ведется с использованием операторной формы для уравнения Больцмана, и общие результаты выражаются через операторы столкновений, причем различаются операторы для нормального рассеяния Л и для резистивного рассеяния / , Решение уравнения Больцмана и, следовательно, выражения для потока тепла и теплопроводности записываются через эти операторы, поэтому необходимо только выразить последние через скорости релаксации и чтобы довести ответы до числовых результатов. [c.68]

Пять гидродинамических величин представляют собой пять интегралов по I от функции распределения. Очевидно, существует бесконечное множество функций распределения, интегралы от которых равны одним и тем же гидродинамическим величинам, т. е. в общем случае функция распределения не определена заданием пяти гидродинамических величин. Следовательно, представимые в виде ряда по малому параметру решения уравнения Больцмана являются в этом смысле особыми. По-видимому, лишь достаточно узкий класс решений уравнения Больцмана может быть представлен в виде ряда по е. Этот класс решений уравнения Больцмана называют гильбертовым классом нормальных решений. Принадлежащие к этому классу реше- [c.138]

В гл. 2 было найдено решение уравнения Больцмана, а именнО максвелловское распределение. Это — точное решение уравнения Больцмана и практически единственное известное точное решение (другое решение (см. работу [1] в конце настояш ей главы) интересно лишь для иллюстраций). Смысл максвелловского распределения ясен оно описывает равновесные (или чуть более общие) состояния, характеризующиеся тем, что отсутствуют и тепловой поток, и напряжения, не совпадающие с нормальным давлением. Для того чтобы описать более реальные, неравновесные состояния, когда существуют касательные напряжения и теплопередача, приходится прибегать к приближенным методам. [c.79]

Итак, основной результат теории Чепмена — Энскога состоит в том, что можно вернуться к макроскопическому описанию Навье — Стокса—Фурье, надлежащим образом разложив соответствующие решения уравнения Больцмана. При этом преодолеваются некоторые из многочисленных неравномерностей разложения Гильберта вязкие пограничные слои (толщиной порядка 8 /= ) и финальный слой (порядка 8 ) описываются единым образом вместе с нормальными областями, однако начальный и кнудсеновский слой толщиной порядка 8 все еще не охватываются. Теория Чепмена — Энскога просто учитывает существование режимов с с1 гх)- (где т и с1 — характерные время и длина т можно заменить некоторой длиной, отличной от с1). [c.275]

Из оценки (11.51) следует, что решения уравнения (11.49) при любых начальных данных экспоненциально быстро приближаются к решению У(0, /о, 0), зависящему только от длинноволновой компоненты гидродинамических функций. Решения уравнения Больцмана f f fo)=fo+V 0,fo,0) естественно считать нормальными. Их отличие от обычно рассматриваемых нормальных решений состоит в том, что оператор V нелокален для вычисления f fo) в точке х, I нужно знать значения /о 7 Х [0, ]. Однако при малых е вне начального слоя оператор ру хорошо аппроксимируется локальным. Действительно, рассмотрим формальное разложение [c.304]

Здесь мы дадим вывод уравнений гидродинамики разреженного газа путем построения так называемых нормальных решений кинетического уравнения Больцмана. Эти [c.233]

Прежде чем приступить к основной теме, остановимся кратко на обозначениях. Ранее одночастичная функция распределения Д(г,р, ) вводилась как функция радиуса-вектора г и импульса р частицы. Такое удобно при выводе цепочки уравнений для приведенных функций распределения из уравнения Лиувилля. Однако в кинетической теории чаще пользуются одночастичной функцией распределения / (г, v, ), которая зависит от скорости частицы. Для более наглядного сравнения излагаемого здесь подхода с традиционными методами построения нормальных решений кинетических уравнений мы будем исходить из уравнения Больцмана, записанного для функции /(r,v, ). Нетрудно установить связь между этой функцией и Д(г,р, ). Вводя условие нормировки [c.234]

Мы уже указывали, что при помош и разложения Гильберта нельзя получить равномерно пригодные решения. Это следует нз того, что решения уравнений невязкого газа невозможно уточнить так, чтобы они описывали вязкие пограничные слои, даже путем учета поправок высших порядков, а также из того, что параметр г входит в уравнение Больцмана сингулярным образом, нз результатов исследования нестационарных проблем (где сингулярные члены вводятся высшими приближениями) и т. д. Все это, однако, не препятствует тому, чтобы оборванное разложение Гильберта с любой заданной точностью удовлетворяло уравнению Больцмана в подходяш им образом выбранных пространственно-временных областях (которые мы будем называть нормальными областями) при условии, что расстояния от известных сингулярных поверхностей конечны, а е достаточно мало. Рассмотрим кратко этот вопрос. [c.128]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Для того чтобы увидеть, что представляют собой эти нормальные решения, можно заметить, что упомянутый выше остаток порядка 8 содержит производные по координатам порядка я, поэтому для существования нормальных решений требуется высокая степень гладкости. Это означает, что нормальные решения перестают быть справедливыми в тех пространственно-временных областях, где профили плотности, скорости и температуры становятся очень крутыми. Ясно, что к таким областям относятся окрестности границ (пограничные слои), начальный этап (начальный слой) и ударные волны (ударные слои). Первые два типа слоев существуют также и для линеаризованного уравнения Больцмана, что следует из (IV.6.9), где х и (II.7.45), где 8 Ударный слой — это область больших градиентов, возникающая внутри газового потока и обладающая структурой, тесно связанной с нелинейностью уравнения Больцмана. [c.268]

Как мы знаем, теория Чепмена — Энскога в значительной мере заключается в разложении оператора поэтому сходимость имеет смысл только по отношению к определенному классу функций, па которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана легко указать нормальные решения, разложения которых сходятся тривиальным образом, так как содержат только конечное число членов. Такова, например, асимптотическая часть На общего решения одномерных задач (IV. 7.44). [c.279]

До сих пор остается открытым вопрос об определении термодинамических величин в случаях, когда при описании процессов переноса нужно учитывать эффекты нелокальности и памяти ). В так называемой расширенной неравновесной термодинамике [94,134] для учета эффектов памяти в набор наблюдаемых включаются не только локальные термодинамические величины, но и их потоки. Эта идея имеет долгую историю и восходит к работе Максвелла по кинетической теории классических газов [127], где впервые была сделана попытка учесть память в уравнениях переноса с помощью релаксационного уравнения для тензора вязких напряжений. Следующий важный шаг был сделан Грэдом [74], который разработал метод моментов для построения нормальных решений уравнения Больцмана ). [c.280]

Очевидно, ЧТО если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, последнее будет выполняться с ошибкой порядка 8 . Поэтому можно использовать разложение Гильберта для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана со сколь угодно малой ошибкой при достаточно малом 8 (строгие оценки в случае линеаризованного уравнения Больцмана приведены в работе Грэда [6]). [c.129]

Однако эти обстоятельства не мешают тому, чтобы оборванное разложение Гильберта представляло решения уравнения Больцмана с любой заданной точностью в подходящим образом выбранных пространственно-временных областях (которые будем называть нормальными областями) при условии, что рас-СТ051НИЯ от известных сингулярных поверхностей конечны, а 8 достаточно мало. Действительно, если подставить оборванное разложение Гильберта в уравнение Больцмана, то последнее удовлетворится с ошибкой порядка поэтому разложение Гильберта можно использовать для аппроксимации определенных решений (нормальных решений) уравнения Больцмана, причем ошибка будет сколь угодно малой для достаточно малого 8 (строгое доказательство с оценками существует в случае линеаризованного уравнения Больцмана [3]). [c.268]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Для жестких молекул спектр простирается от некоторого конечного значения Vg до бесконечности, а для мягких — от Vq до нуля. Последний факт существен для доказательства асимптотической сходимости общего решения уравнения Больцмана к гильбертовому нормальному решению (см, 3.7). Именно благодаря тому, что для мягких молекул собственные значения доходят до нуля, оказывается невозможным показать, что при общее решение уравнения [c.198]

Как указывалось в 4 гл. 5, если рассмотреть задачу с начальными данными, то мояшо получить строгое доказательство того, что разложение Гильберта является асимптотическим (при 8- 0) решением уравнения Больцмана и что то же самое справедливо для процедуры Чепмена — Энскога, оборванной на приближении Навье — Стокса. Из этих результатов ясно, что рассмотренные разложения, действительно, дают разумные приближения (при определенных значениях параметров), но вопрос о сходимости разлоя ений и, следовательно, о самом существовании нормальных решений не проясняется. Ввиду того что сходимости иногда придают большое значение (хотя при обычных применениях основное свойство ряда — его асимптотичность, а не сходимость), обсудим кратко вопрос о сходимости разложения Чепмена — Энскога для линеаризованного уравнения Больцмана. [c.168]

Решающий шаг в этой области был сделан, однако, лишь после введения понятия нормальных решений и вытекающих из него методов разложения. Эти методы открыли возможность систематического вычислениякоэффициентов переноса при произвольных потенциалах взаимодействия. Кроме того, эти методы можно непосредственно применить или приспособить для решения кинетических уравнений, отличных от уравнения Больцмана. [c.121]

Стоит упомянуть о применении метода неравновесных статистических ансамблей к релятивистским квантовым системам. В настоящей книге этот вопрос не рассматривался по двум причинам. Во-первых, объединение идей неравновесной статистической механики и релятивистской квантовой теории поля является далеко не тривиальной проблемой, обсуждение которой привело бы к неизбежному увеличению объема книги ). Другая, более важная, причина состоит в том, что релятивистская статистическая механика находится еще в процессе развития и ее принципы пока не разработаны в той же мере, что и принципы нерелятивистской статистической механики. В настоящее время более или менее завершенным разделом является релятивистская кинетика, основанная на обобщениях уравнения Больцмана с учетом квантовых и релятивистских эффектов. Путем построения нормальных решений релятивистского кинетического уравнения иногда удается вычислить коэффициенты переноса [61], а метод моментов [90], аналогичный методу Трэда в нерелятивистской кинетической теории, позволяет распространить релятивистскую гидродинамику на случай быстрых процессов, когда необходимо учитывать конечную скорость распространения термических возмущений. [c.282]

Вообще говоря, со и к комплексны, и уравнение (7.1) имеет решение, только если со и к удовлетворяют специальному соотношению в соответствии с допустимыми значениями со и к можно найти функции g, которые либо интегрируемы с квадратом ( собственные решения ), либо нет ( обобщенные собственные решения ). В первом случае соотношение между со и к обычно называют дисперсионным соотношением, а решение g ехр [ к-х + i oi] — нормальной модой. Комбинация собственных решений и обобщенных собственных решений дает общее решение линеаризованного уравнения Больцмана [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...