Свойства пространства метрические

Свойства пространства метрические 35 [c.403]

Собственные и несобственные элементы пространства взаимосвязаны обычными свойствами принадлежности. Метрические понятия на несобственные элементы не распространяются. Дополнение пространства несобственными элементами дает возможность более полно, без всяких ограничений, осуществлять проецирование. [c.10]

В механике Ньютона метрические свойства пространства считаются не зависящими от движущейся в нем материи и оно рассматривается как трехмерное евклидово пространство, однородное и изотропное по всем направлениям. Время в механике Ньютона также считается не связанным с движущейся материей, т. е. абсолютным, протекающим одинаково во всех точках пространства, на любых, как угодно движущихся друг относительно друга в пространстве телах. [c.46]

Из дифференциальной геометрии известно, что свойства пространства—метрика и параллельный перенос тензорных величин— определяются метрическим тензором и коэффициентами параллельного переноса, или коэффициентами аффинной связности. Эти величины уже были включены в аналитическое описание упомянутой среды. Следовательно, дальнейшие обобщения требуют расширения представлений дифференциальной геометрии, а значит и тензорного исчисления. [c.538]

Тензор (grs) — так называемый метрический тензор — характеризует внутренние геометрические свойства пространства. Поясним эту мысль, воспользовавшись следующей аналогией. Рассмотрим две бесконечно близкие точки, расположенные 1) на плоскости, 2) на поверхности кругового цилиндра и 3) на [c.475]

Положение свободной частицы в пространстве можно определить с помощью сферических координат (г, 0, ф). Если принять эти величины за прямоугольные координаты точки, то построенное таким образом пространство будет сильно отличаться по своим геометрическим свойствам от реального пространства. Прямые линии перейдут в кривые, углы и расстояния изменятся. Однако ряд важных характеристик пространства при этом преобразовании сохранится. Точка перейдет в точку, окрестность точки преобразуется в окрестность, кривая останется кривой, смежные кривые останутся смежными. Непрерывность и дифференцируемость кривых также сохранятся. Для операций вариационного исчисления важны именно такие топологические свойства пространства, в то время как метрические свойства — расстояния, углы, площади и т. п. — не играют роли. Поэтому даже упрощенная картина пространства конфигура- [c.35]

Задача. Применив теорему (7.5.7) к трехмерному случаю п = = 3, показать, что она сводится к интегральному преобразованию, известному под названием теорема Стокса . Интегральное преобразование (7.5.7) обобщает теорему Стокса на любое число измерений. Отметим, что эта теорема не зависит от каких-либо специальных метрических свойств пространства. [c.244]

МЕТРИЧЕСКИЙ ТЕНЗОР — основная характеристика геометрич. свойств пространства, определяющая метрику данного пространства. Обычно эту связь выражают ф-лой [c.209]

Как известно (см., например, [18]), геометрические свойства пространства, связанного с криволинейной системой координат, характеризуются ковариантным метрическим тензором [c.193]

Типичный пример неплоской послойной модели — осесимметричное течение, состоящее из вложенных цилиндрических слоев с постоянной завихренностью и плотностью в каждом слое. В зависимости от типа симметрии течения, послойные модели удобно изучать в соответствующей системе ортогональных криволинейных координат i, С2, Сз, предполагая, что координатные линии Сз совпадают с вихревыми, а координатные линии i и С2 лежат на жидких поверхностях, причем i совпадает с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Для широкого класса послойных моделей геометрические свойства пространства, связанного с такими системами координат, характеризуются только тремя диагональными компонентами, отличными от нуля (/11, (/22, дзз метрического тензора и его детерминантом д, которые так же как и профиль скорости невозмущенного течения считаются независимыми от i. [c.208]

Преобразования Лоренца знаменуют в науке новый этап в познании метрических свойств пространства и времени, более глубоких, чем те, которые сложились постепенно в грубом человеческом опыте и отражены в классической механике. Неудивительно поэтому, что из преобразований Лоренца вытекают кинематические следствия, которые не согласуются со здравым смыслом . Рассмотрим два основных из них. [c.330]

Релятивистская динамика строится на основе принципов Эйнштейна и их следствий - преобразований Лоренца, которые математически аккумулируют в себе метрические свойства пространства и времени. Представленный ниже способ построения релятивистской динамики в известной мере аналогичен построению ньютоновской динамики, он вполне доступен для начина-юш их. Идея изложения заключается в построении цепочки структурно связанных величин и установлению зависимости между ними. Классическая динамика начинается с введения ряда взаимно связанных кинематических и динамических мер движения, образующих логическую цепочку, в которой каждое следующее звено определяется на основе предыдущих. При этом изначальным элементом цепочки является элементарное перемещение точки, определяемое тройкой величин фс, ду, с ), геометрические свойства которой обуславливают свойства многих последующих звеньев цепочки. Свойства эти заключаются в том, что при повороте осей декартовой системы координат, величины дх, ду, дг переходят в новую тройку дх, ду, дг по правилу [c.336]

При геометрическом проектировании геометрические модели применяются для описания геометрических свойств объекта конструирования (формы, расположения в пространстве) решения геометрических задач (позиционных и метрических) преобразования формы и положения геометрических объектов ввода графической информации оформления конструкторской документации. [c.37]

Задача размещения заключается в определении оптимального (с точки зрения выбранного критерия оптимальности) положения элементов и связей между ними в монтажном пространстве типовой конструкции с учетом заданных конструктивно-технологических ограничений. Исходными данными в задаче решения являются принципиальная электрическая схема узла или устройства, метрические параметры и топологические свойства монтажного пространства. [c.325]

Для оценки слагаемых, содержащих символы Кристоффеля, примем, что свойства реального физического пространства мало отличаются от евклидовых. Это предположение основывается на огромном количестве наблюдений и опытов, составляющих основу классической механики. Поэтому компоненты метрического тензора будем определять соотношениями [c.527]

Тесная связь между динамикой и геометрией сохраняется и при более общих предположениях. Риманова геометрия— не единственно возможная форма метрической геометрии. Для римановой геометрии характерным свойством является выпрямление пространства в окрестности произвольной точки, так что обычная евклидова геометрия остается справедливой по крайней мере в бесконечно малых областях. Но для построения геометрии, использующей прямые линии и углы, такого ограничения, вообще говоря, не требуется. В применении к общим задачам динамики заслуживает внимания более общая форма геометрии, линейный элемент которой ds определяется более общим способом по сравнению с римановым линейным элементом. [c.320]

Равенство (11.3) устанавливает метрику евклидова пространства, причем основные метрические свойства этого пространства выражаются условиями [c.84]

Гипотеза о том, что ньютоново движение определяется в неевклидовом пространстве, приводит к вполне естественным вопросам относительно природы и свойств риманова пространства в присутствии очень большого числа притягивающих тел, находящихся в пределах наблюдаемой вселенной. Какова кривизна и размеры или протяженность этой замкнутой поверхности пространства Связаны ли метрические свойства этого пространства с количеством, характеристиками и относительным распределением соответ- [c.84]

При рассмотрении достаточно больших участков Вселенной важную роль начинают играть гравитационные поля. В общей теории относительности гравитационные поля понимаются как изменение пространственно-временной метрики и описываются с помощью особой величины, называемой фундаментальным метрическим тензором. Метрические свойства пространства-времени образуют как бы своеобразные вненлше условия для системы, у которой изучаются статистические свойства. .. [c.146]

Поэтому, даже если Вселенную рассматривать как конечную систему, ни о какой ее тепловой смерти не может быть речи. Даже конечная Вселенная находится в своеобразных внеиншх условиях , роль каковых ш рают метрические свойства пространства-времени Вселенной. Поскольку эти внешние условия не стационарШ) , возрастание энтропии не ведет к наступлению теплового равновесия [c.146]

В искривлённом пространстве-времени общей теории относительности (в конечных, не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты и использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных областях искривлённого пространства-времени ds записывается в криволинейных координатах в общем виде (7). Зная gjiv как ф-ции 4 координат, можно определить все t oM. свойства пространства-времени. Говорят, что величины определяют метрику пространства-времени, а совокупность всех наз. метрическим тензором. С помощью вычисляются темп течения времени в разных точках системы отсчёта и расстояния между точками в трёхмерном пространстве. Так, ф-ла для вычисления бесконечно малого интервала времени di по часам, покоящимся в системе отсчёта, имеет вид [c.190]

Доводы XVIII и XIX вв. о существовании пространства , или эфира , независимо от вещества высказываются и поныне, только сейчас говорят о пространственно-временной структуре (или метрическом поле) космоса. Большинство ученых (Эддингтон, Рассел, Уайтхед и др.) считает, что свойство пространства-времени не зависит от звезд, хотя, конечно, местные искривления создаются звездами. Иными словами, если бы во Вселенной не существовало никаких других тел, кроме Земли, то было бы возможно вращение Земли относительно пространства-времени. Одинокий космический корабль, единственное тело во Вселенной, мог бы включить свои двигатели и ускориться. Космонавты внутри корабля при ускорении почувствовали бы действие инерции. Одинокая Земля, вращаясь в пространстве, сплющивалась бы в направлении к экватору из-за того, что частицы ее вещества, двигаясь, так сказать, [c.41]

Определения пространства, времени и движущейся материн в классической механике, основанной на законах Ньютона, формально не связаны друг с другом и являются лишь пер--выми приближениями к объективно реальным формам существования материи. Пространство в классической механике есть трехмерное пространство евклидовой геометрии. Основные определения и аксиомы геометрии Евклида описывают достаточно точно свойства пространства, в котором происходят ]1аблюдае-мые нами движения материальных тел. Опыты, проведенные по изучению геометрических свойств пространства на Земле, показали высокую точность аксиом евклидовой геометрии. Метрические свойства евклидова пространства не зависят от наполняющей и движущейся в этом пространстве материи пространство считается однородным и изотропным во всех направлениях. [c.12]

Запятой в формуле (3.40) и далее обозначено дифференциро-ванае по четырехмерному многообразию переменных t я х [ПО]. Здесь следует принять во внимание равенство (2.1), или иное, в соответствии со специальной теорией относительности. Впрочем, релятивистские свойства пространства — времени отображены выражениями компонент метрического тензора (2.24). [c.76]

В специальной теории относительности предполагается, что в одной отдельно взятой ИСО метрические свойства пространства и времени такие же, как в классической механике. Именно, пространство отдельно взятой ИСО евклидово (теорема Пифагора), трехмерное, однородное, изотропное, непрерывное, односвязное. Время одномерное, однородное, непрерывное, однонаправленное. Все эти качества являются следствием многовековой человеческой практики. [c.324]

Равенства, находящиеся в первых двух строках, выражают антисимметричность тензора Rprst относительно каждой пары индексов р, г н S, t. Учитывая свойства (1.88), после подсчета получаем, что из 81 компонента тензора Римана — Кристоффеля остается только шесть независимых компонентов Я 2 2, Я г ъ, R2323, Ятз, Rim, Rsisz-Известно, что во все евклидово пространство можно ввести декартову систему координат. Так как в последней компоненты метрического тензора постоянны, а следовательно, символы Кристоф- [c.27]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

Резюме. Условие того, что преобразование является каноническим, может быть сфомулировано без помощи производящей функции S. Характерным свойством канонических преобразований является инвариантность циркуляции вдоль любой замкнутой кривой в фазовом пространстве. Это же самое свойство может быть представлено в дифференциальной форме. Мы получаем определенное дифференциальное выражение, билинейную дифференциальную форму , инвариантную относительно канонических преобразований. Эта билинейная дифференциальная форма аналогична величине ds в метрической геометрии. Однако в то время, как линейный элемент соответствует одному бесконечно малому перемещению, билинейный дифференциал соответствует двум бесконечно малым перемещениям. Поэтому он скорее подобен элементу площади, а не элементу расстояния. [c.245]

Как известно, Кант ) обосновывал свой взгляд на пространство как на форму чувственности следующим примером две фигуры, являющиеся зеркальными изображениями друг друга ), неконгруэнтны, т. е. неэквивалентны с точки зрения группы конгруэнций, являющейся инвариантной подгруппой автоморфизмов ), несмотря на метрическую тождественность. Отсюда Кант заключал, что пространство не связано с внутренними свойствами тел и является априорной формой чувственного восприятия. Этот пример, положенный Кантом в основу созданной им системы трансцендентального идеализма, разъясняется с точки зрения Клейна, суммирующей все достижения геометрии XIX в. от Лоба- [c.911]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Выделен важный подкласс хаусдорфовых пространств, в к-рых любые две точки можно окружить непересекающимися открытыми подмножествами (неха-усдорфовы пространства, как правило, не возникают в приложениях). В частности, хаусдорфовыми являются метрические пространства, в к-рых Т. определяется метрикой неотрицательной ф-цией р(л, v), задающей расстояние между любыми двумя точками. v, у пространства [требуется, чтобы p(,v, >-) = 0 только при у = х р(> , х)=р( с, > ) р х, z) gp x, у) + р у, г)—неравенство треугольника]. Т. в метрич. пространстве определяется базой из открытых шаров pUo. л)<е. Класс компактных пространств X определяется след, условием из любого покрытия пространства X бесконечным числом открытых подмножеств можно выделить конечное число подмножеств, также покрывающих X. Непрерывные ф-ции на компактном связном пространстве обладают многими свойствами ф-ций, непрерывных на отрезке (ограниченность и др.). В евклидовом пространстве компактными будут замкнутые ограниченные подмножества. [c.143]

Делались попытки обоснования Э. г. с помощью исследования свойств фазовых траекторий замкнутых изолированных механич. систем из большого числа частиц. Были доказаны эргодичсские теоремы (см. Эргодическа.ч теория), к-рые сводили Э. г. к предположению о специфич. свойстве фазового пространства (его метрической неразложимости). Однако для обоснования статистич. физики эти теоремы не являются необходимыми, т. к. фазовые траектории чрезвычайно чувствительны к малым возмущениям (см. Раз.мешивание). В частности, они очень чувствительны к малейшему нарушению изоляции или замкнутости системы. Аналогичным свойством чувствительности квантовых состояний к малым возмущениям обладают к квантовые системы. Д. Н. Зубарев. [c.625]

Выражения. для компонентов деформа-НИИ волокон оболочки, лежащих на эквидистантной поверхности, следуют из метрических свойств деформированного зрехмерного пространства, определяемого в соответствии с уравнениями (9.4.8). Для тонкой оболочки (Z Rj l) в линейном приближении относительно координаты Z [c.137]

Если доказано, что система координат ортогональна, то может быть полезен еще и другой метод расчета метрических коэффициентов. В этом случае координатные поверхности 2 и gg перпендикулярны к координатным поверхностям Но так как координатная кривая принадлежит одновременно каждой из первых поверхностей, эта кривая должна быть перпендикулярна к поверхности = onst. Тогда в общем координатные кривые нормальны к поверхностям, на которых постоянна. Общие свойства оператора V таковы, что вектор Vqk нормален к поверхностям, на которых qh постоянна, и направлен в сторону возрастания Следовательно, единичный касательный вектор Ц к координатной кривой дд, проходящей через данную точку пространства, тождествен единичному нормальному вектору щ к координатной поверхности дд, проходящей через эту точку. Поскольку из общих свойств оператора V следует [c.552]

Множество элемштов А, содержащееся в метрическом пространстве Е, называется компактным множеством, если из любой бесконечной последовательности элементов К е можно выделить частичную последовательность, сходящуюся в к некоторому пределу. Если таким свойством обладает все пространство Е, то оно назьшается компактным пространством. Компактное множество ограничою по расстоянию. [c.262]

Метрическое пространство назьшается полным, если в нем всякая фундамштальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным про-изведшием, назьшается гильб товым пространством. Примером гильбертова пространства может служить пространство элементов которого вьшолняется свойство (П2.7). [c.263]

Какое пространство назьшается метричесюш какими свойствами должно быть наделено расстояние между элементами метрического простраиства [c.284]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...