Свойства пространства топологические

Положение свободной частицы в пространстве можно определить с помощью сферических координат (г, 0, ф). Если принять эти величины за прямоугольные координаты точки, то построенное таким образом пространство будет сильно отличаться по своим геометрическим свойствам от реального пространства. Прямые линии перейдут в кривые, углы и расстояния изменятся. Однако ряд важных характеристик пространства при этом преобразовании сохранится. Точка перейдет в точку, окрестность точки преобразуется в окрестность, кривая останется кривой, смежные кривые останутся смежными. Непрерывность и дифференцируемость кривых также сохранятся. Для операций вариационного исчисления важны именно такие топологические свойства пространства, в то время как метрические свойства — расстояния, углы, площади и т. п. — не играют роли. Поэтому даже упрощенная картина пространства конфигура- [c.35]

Два пространства X, Y наз. топологически эквивалентными, если определены два непрерывных взаимно обратных отображения (гомеоморфизма) f-.X Y и g Y- X, g f x )) = x, f g(y)) y. По определению. все топологич. свойства топологически эквивалентных пространств должны совпадать. Числовые (или более сложные, алгебраические) характеристики топологич. свойств, называемые топологическими инвариантами, также должны быть одинаковыми для топологически эквивалентных пространств. Важным (напр., в качественной теории динамических систем) примером такого топологич. инварианта, определённого для широкого класса пространств, является размерность (разл. варианты её определения см. [5]). [c.143]

Изучение критических точек функций в конечно- или бесконечномерном пространстве имеет два аспекта 1) локальный — описание типов и устойчивости изолированных критических точек 2) глобальный, называемый иногда теорией Морса, — описание взаимосвязей между глобальными топологическими свойствами пространства и структурой критических точек функций, заданных на этом пространстве. [c.342]

Обсуждение методологических аспектов применения МММ в инженерной геологии предполагает рассмотрение свойств пространства — времени геологических объектов. В свою очередь, топологические свойства геологического пространства — времени полностью определяются режимом и характером геологического процесса, под которым здесь понимается развитие Земли как геологического тела и ее литосферы. [c.10]

Задача размещения заключается в определении оптимального (с точки зрения выбранного критерия оптимальности) положения элементов и связей между ними в монтажном пространстве типовой конструкции с учетом заданных конструктивно-технологических ограничений. Исходными данными в задаче решения являются принципиальная электрическая схема узла или устройства, метрические параметры и топологические свойства монтажного пространства. [c.325]

Сплавы с аморфной структурой привлекают к себе внимание, с одной стороны, как материалы с уникальным комплексом свойств, а с другой — как объект для изучения структуры и свойств неупорядоченных сред. Аморфное состояние — предельный случай термодинамической устойчивости кристаллической решетки металлов [426]. Общее для этих двух крайних состояний (кристаллическое и аморфное) — наличие ближнего порядка. Он является характеристикой топологического (расположение атомов в пространстве независимо от их сорта) и композиционного (распределение атомов различного сорта) упорядочения. Со времени открытия аморфных металлических материалов произошла значительная эволюция представлений о структуре аморфного состояния — от предположения об абсолютной неупорядоченности аморфной структуры до представления о локальной упорядоченности (ближний порядок, микрокристаллическое строение), не идентифицируемой существующими методами структурного анализа. Наконец, установлена масштабная инвариантность аморфных структур в широком диапазоне пространственных масштабов. [c.269]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Основой для определения граничных значений параметров служат топологические свойства фазового пространства системы. [c.95]

Для исследования динамических свойств нелинейных автоматических систем в настоящее время существует много методов, позволяющих исследовать свободные и вынужденные колебания нелинейных автоматических систем. Ведущее значение имеют методы, опирающиеся на фундаментальные теоремы А. М. Ляпунова об устойчивости движения. Кроме них, широко применяются топологические методы, связанные с геометрическим построением структуры фазовых пространств, методы качественной теории дис еренциальных уравнений, припасовывания, разностные, опирающиеся на понятие передаточной функции и частотной характеристики системы, а также математического моделирования. [c.4]

Напомним, что подмножество топологического пространства является множеством первой категории Бэра, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы нигде не плотных множеств. В свою очередь, нигде не плотное множество характеризуется тем свойством, что в каждой окрестности любой точки топологического пространства найдется открытая непустая область, не содержащая точек из этого множества. [c.310]

Из сказанного выше следует, что та же операция может быть выполнена и другим, комбинаторным способом, когда мы замещаем заданную т-мерную ячейку /п-мерного же пространства уже на другом, плоском планшете комбинацией или ансамблем плоских (двумерных) клеток (ячеек), совершенно однозначно выражающих и топографические и топологические свойства исходной заданной ячейки. Аргументом на этой комбинаторной плоской диаграмме является уже порядок мест , которому соответствует последовательность координат топографического обозначения квантованной ячейки заданного т-мерного пространства. Ординатами же этой комбинаторной диаграммы должны быть те качества, которые численно выражаются заданными соответствующими топографическими координата- [c.296]

До сих пор мы говорили о глобальных свойствах векторных полей на многообразиях. Можно анализировать локальное топологическое поведение траекторий векторных полей. Для векторных полей из некоторого открытого плотного подмножества в пространстве Х М) можно описать поведение траекторий в окрестности каждой точки многообразия. Кроме того, локальная структура траекторий не меняется при малых возмущениях поля (так называемая локальная грубость). Таким образом, получается полная классификация через топологическую сопряженность. [c.146]

При некоторых естественных условиях системы (7.6)—(7.9) и (7.14)—(7.17) отражают основные топологические свойства разбиения на траектории систем (7.1)—(7.4) и (7.10)—(7.13), соответственно, в пространстве v x/ a,Zj,Z2 . [c.266]

Система частного вида (1.18) сохраняет все топологические особенности строения фазового портрета общей системы (1.17). А вот система (8.8) не обладает таким свойством по отношению к системе (2.2) по следующей причине, В силу леммы 2.1, пространство векторных полей систем вида (2.2) делится, по крайней мере, на два обширных класса, в каждом из которых соответствующий фазовый портрет имеет предельный цикл определенного типа устойчивости. По мере исследования системы (2.2) будет указано, для каких функций FeO проводится качественный анализ. [c.289]

Конечно, рассчитывать на то, что тр будет гомеоморфизмом (в этом случае и сдвиг а были бы топологически сопряжены), вообще говоря, ие приходится, хотя бы потому, что пространство последовательностей вполне несвязно, а в наиболее интересных случаях X — гладкое многообразие, Все же при удачном выборе прибора , т. е. множеств < , соответствие (1.2) может дать важную информацию о свойствах каскада /" . В частности, основные результаты данного сборника связаны с том, что для некоторого класса динамических систем удается выбрать множества Ей , Ет так, чтобы онн образовали марковское разбиение . В этом случае рассматриваемая динамическая система обладает свойствами, [c.197]

Возникает вопрос о метрических и топологических свойствах четырехмерного многообразия координат, которые мы будем называть конфигурационным пространством для данной пробной частицы. [c.28]

Ответ на этот вопрос может дать только опыт, причем с уточнением наших знаний может и должно уточняться содержание ответа на заданный вопрос. Во всяком случае, заранее нет никаких оснований и причин предполагать и постулировать, что метрические и топологические свойства конфигурационного пространства окажутся независимыми от физической природы выделяемой частицы (например, от ее массы, заряда и т. д.). [c.28]

Однако все упрощается благодаря свойству потенциальности S, т. е. тому, что dS является полным дифференциалом. Вместо периодического контура вдоль траектории системы можно выбрать топологически замкнутые в фазовом пространстве (р, q) орбиты П, т. е. [c.212]

Мы уже встречались с такими свойствами, связанными с наличием некоторого возвраш ения траекторий, как топологическая транзитивность (определение 1.3.1), минимальность (определение 1.3.2) и топологическое перемешивание (определение 1.8.2). Топологический тип замыкания множества Рег(/) всех периодических точек представляет собой другой инвариант того же типа. Кроме того, из определения 1.6.2 нам известны понятия ш-пре-дельного и а-предельного /-инвариантного множества х для каждой точки X. Некоторые инварианты топологического сопряжения можно получить, изучая топологический тип совокупности а-и w-предельных множеств например, топологическая транзитивность эквивалентна тому факту, что одно из этих множеств содержит все пространство. Объединение всех а-или w-предельных множеств не обязано быть замкнутым. Топологический тип [c.138]

Каждое измеримое множество, рассматриваемое в малом масштабе, сконцентрировано точнее говоря, оно заполняет некоторые маленькие шары или кубы почти полностью и практически не пересекается с другими, потому что это множество может быть аппроксимировано сколь угодно хорошо (по мере) конечными совокупностями кубов. Зафиксируем инвариантное множество А и число е > О и найдем такой маленький куб Л, что Л(Л П Л) > (1 — е)Л(Л). Образы Д под действием итераций нашего отображения обладают тем же свойством, поскольку и мера А, и множество А инвариантны. Так как наше отображение является изометрией, любой образ А представляет собой куб того же размера. В силу топологической транзитивности можно найти совокупность образов, покрывающих все фазовое пространство почти равномерно, без большого числа перекрытий. Для завершения доказательства достаточно установить, что каждая точка покрывается не более, чем N раз, где N не зависит от е, потому что в этом случае мера множества А превосходила бы 1 — Так как е может быть выбрано произвольно малым, мы заключаем, что множество А имеет полную меру. [c.159]

С другой стороны, можно считать большими открытые плотные множества и называть свойство типичным, если оно выполняется для множества параметров, являющегося пересечением счетного множества открытых плотных подмножеств О. Основанием для этого служит теорема Бэра П. 1.22 в полном метрическом пространстве пересечение счетного множества открытых плотных множеств плотно. Пересечение счетного множества открытых множеств называется множеством типа. Множество называется массивным, если оно содержит плотное подмножество типа. Множество называется нигде не плотным, если внутренность его замыкания пуста. Примерами нигде не плотных множеств являются дополнения открытых плотных множеств. Счетные объединения нигде не плотных множеств называются множествами первой категории. Из теоремы Бэра следует, что совокупность массивных множеств замкнута относительно операции счетного пересечения, подобно совокупности множеств полной меры. Дополнение массивного множества, очевидно, является множеством первой категории. Таким образом, совокупность множеств первой категории, замкнутая относительно операции счетного объединения, может рассматриваться как топологический аналог совокупности множеств меры нуль. Из теоремы Бэра следует, что множества первой категории несущественны в следующем смысле рассмотрим множество Р первой категории и непустое открытое множество и. Тогда множество (X 7) и не может быть массивным. [c.294]

При переходе к бесконечномерным пространствам теряется понятие типичности в смысле теории меры, поскольку в интересующих нас бесконечномерных пространствах динамических систем не существует естественного класса мер. Топологическое понятие, однако, по-прежнему существует. Мы будем называть типичные в этом смысле диффеоморфизмы и векторные поля обитыми или диффеоморфизмами (векторными полями) общего положения и исследовать определенные свойства таких диффеоморфизмов и векторных полей в С-топологии. Подчеркнем, что С°-топология с этой точки зрения занимает совершенно особое положение. [c.294]

Топологическое свойство состоит в том, что в одномерном пространстве малая окрестность точки делится этой точкой на две компоненты связности, в то время как для многообразий высших размерностей окрестность после выкалывания точки остается связной. [c.387]

В п. 5.4 е были установлены некоторые свойства геодезических потоков на компактных факторах гиперболической плоскости, характерные для систем с гиперболическим поведением, а именно плотность периодических орбит, топологическая транзитивность и эргодичность относительно гладких инвариантных мер. Теперь мы хотим показать, что геодезический поток на компактном факторе гиперболической плоскости является потоком Аносова. Будем использовать обозначения из 5.4. Рассмотрим геодезический поток на компактном факторе т полуплоскости Н, т. е. геодезический поток на поверхности т, полученной в результате факторизации Н по такой дискретной группе изометрий без неподвижных точек Г, что фактор Г И компактен так как пространство т локально изометрично Н, мы получаем, используя предложение 5.4.13 и компактность т, следующую теорему. [c.549]

Тогда существуют такая окрестность и(А)э А и такие числа ео, 0 > О, что для всех 5 >0 найдется е>0 со следующим свойством. Если / и (А) М — -диффеоморфизм, е -близкий к / в С -топологии, V — топологическое пространство, д У —> У — гомеоморфизм, а еС°(Х,и(А)) и 1 (ад,/ а) = зир (ад(у),/ а(у)) < е, то существу- [c.567]

Покажите, что любой гомеоморфизм компактного метрического пространства со свойством спецификации является топологическим перемешиванием. [c.582]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Излагаемая в настоящей книге теория существенным образом опирается на А1атемати<1еский аппарат функционального анализа. Последний рассматривает подходящим образом выбранные классы функций как множества точек в топологических пространствах. При этом понятие множества вводятся аксиоматически и служит основой для определения более сложных понятий пространства и линейного пространства. Абстрактное множество представляет собой совокупность, собрание каких-либо объектов, элементов, обладающих общим свойством или признаком. [c.205]

Матем. формализация идеи о топологич. свойствах обычно основывается на понятии непрерывности. Наиб, универсальным является определение непрерывности, базирующееся на введении Т. (в узком смысле слова), или структуры топологического пространства (коротко — пространства ) в данное множество. Т. на произвольном множестве точек X задана, если указано, какие подмножества в X считаются открытыми (т. е. состоящими только из своих внутр. точек — точек, имеющих окрестности, целиком содержащиеся в данном подмножестве). При этом, по определению, объединение любого числа открытых подмножеств и пересечения конечного их числа должны быть открытым подмножеством, всё множество X и пустое подмножество также считаются открытыми. Дополнение к открытому подмножеству в X наз. замкнутым подмножеством. Обычно для задания Т. в X указывают её базу совокупность таких открытых подмножеств, из к-рых любое открытое может быть получено операциями объединения и конечного пересечения. Напр., стандартная Т. числовой прямой R задаётся базой из интервалов a[c.143]

Проанализировать особенности поверхности, описываемой целевой функцией. Если известны топологические свойства исследуемой поверхности, это может помочь правильно выбрать подходящий алгоритм. Так, если поверхность имеет гладкие складки, не рекомендуется применять методы покоординатного подъема или градиентные методы. Если же складки явно выражены, то градиентным методам следует предпочесть методы конфигураций. Для поверхностей с глубокими впадинами метод симплексов или метод Розенброка часто оказываются более эффективными, чем метод Хука — Дживса. Если есть основание считать поверхность мультимодальной, то правильней будет выбрать в пространстве проектирования несколько начальных точек и убедиться, что во всех случаях получается одно и то же решение. При обнаружении нескольких локальных оптимумов конструкцию следует разрабатывать с учетом лучшего из них. К сожалению, даже самый тщательный выбор начальных точек не гарантирует нахождение всех локальных оптимумов. [c.195]

Использование методов традиционной статистической физики для описания стохастизации световых пучков под влиянием случайных неоднородностей или в результате проявления нелинейного лучевого резонанса не всегда приводит к исчерпывающим результатам. Это во многом связано с тем, что статистические методы не учитывают свойства масштабной инвариантности (скейтлинга), которыми при определенных условиях могут обладать амплитудно-фазовые распределения или лучевые структуры световых пучков. Указанный пробел восполняет применение фрактальных моделей. В математике фрактал представляет собой множество точек в метрическом пространстве, для которого невозможно определить какую-либо из традиционных мер с целой размерностью -длину, площадь или объем (их размерности - соответственно первая степень, квадрат и куб длины). Измерение, например, длины фрактальной кривой может дать бесконечный результат, а заметаемой ею площади -нулевой. Задача измерения таких множеств решается введением мер Хаусдорфа с любой (в том числе нецелой) размерностью. Наибольшая размерность меры Хаусдорфа называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича (РХБ) этого множества. Используя эти представления фрактал можно определить, как масштабно-инвариантный, т.е. самоподобный объект, РХБ которого превышает топологическую размерность (1 - для линии, 2 - для поверхности и т.д.). [c.120]

Суш ествование на мпообразии М замкнутых форм, не являющихся дифференциалами, связано с топологическими свойствами М. Можно показать, что в линейном пространстве всякая замкнутая Л-форма есть дифференциал некоторой к — 1-формы ( лемма Пуанкаре ). [c.172]

Лемма 5 иэ [6] состоит в следующем. Пусть / — разделяющий траектории гомеоморфизм компактного метрического пространства X. обладающий свойством спецификации (в смысле Боуэна) и сохраняющий меру ц, Ф — непрерывная функция. Snif x) = <р(д ) +4> f(x)) +. .. + p f"" W). Р (ф) — топологическое давление. Обозначим [c.154]

Замечание. Еще одио определение топологической энтропии можно получить, еслн мы будем оценивать разнообразие траекторий рассматриваемой динамической системы при помощи понятия 8-энтропии (подробнее см. [6]). Известно также, что асимптотические свойства е-энтропии связаны с хаусдорфовой размерностью пространства. В этой связи представляет интерес следующее утверждение. Пусть X — замкнутое подмножество в пространстве 2 односторонних т-ичных последовательностей, инвариантное относительно гомеоморфизма сдвига о. Обозначим через М образ X прн обычном отображения ф 2т- [О, определяемом равенством [c.200]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

В заключение отметим, что имеется также более таозрительная причина. Так как физический мир является трехмерным (или по крайней мере выглядит, как трехмерный), элементы геометрической интуиции, входящие в концепцию многомерного пространства, имеют в своей основе аналоги малой размерности. Это значит, что строго определенные объекты высокой размерности могут обладать (и в самом деле обладают) некоторыми свойствами, которых эта интуиция никак не ожидает. Поскольку же дифференциальная и (в меньшей степени) топологическая динамика не мыслимы без использования этой самой интуиции, имеет смысл подвергать тщательному анализу ситуации, в которых она в большей степени пригодна, пытаясь отделить специфически малоразмерные понятия и явления от явлений, имеющих более универсальное значение. [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...