Теорема стационарное доказательство

Доказательство теоремы 3.4. В условиях теоремы стационарное множество системы (3.11), (3.12) может состоять из одной, двух или трех точек. [c.275]

Обобщение теоремы Като—Розенблюма на случай пары пространств и произвольного отождествления J (теорема 2.3) было получено Л.Пирсоном [131] лишь в 1978 г. Метод Пирсона—чисто нестационарный стационарное доказательство теоремы 2.3 найдено в [50]. Введение операторного параметра J сделало теорему Като—Розенблюма значительно более гибкой. Это позволило легко получать из нее удобные для приложений признаки существования ВО, в том числе— локальные. Использованный в 4, 5 прием перехода к вспомогательному отождествлению уже применялся в т.З курса [18. [c.406]

Доказательство теоремы Пригожина несложно. Рассмотрим в качестве примера стационарный процесс переноса энергии и вещества между двумя фазами одного и того же вещества о разной температурой. Пусть Jf — поток теплоты, а — поток вещества отвечающие им обобщенные силы — Лд и А . Тогда [c.168]

Теорему Жуковского можно применить и к системе, не находящейся в равновесии. Для этого достаточно, кроме действующих сил, приложить силы инерции. Получающаяся при этом система сил условно находится в равновесии, поэтому к ней можно применить указанную теорему. Для доказательства теоремы воспользуемся принципом возможных перемещений. Для системы, обладающей стационарными связями (связями, не зависящими от времени), возможные перемещения совпадают с действительными элементарными перемещениями. Математическое выражение принципа возможных перемещений в этом случае получает такой вид [c.362]

Доказательство этой теоремы достаточно провести для периодического случая, так как стационарный случай можно рассматривать как частный случай периодического с любым х. Доказательство состоит в повторении рассуждений, приведенных ранее при доказательстве теоремы Лагранжа и теоремы [c.208]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Доказательство. В силу теоремы 1.16 асимптотически устойчивый предельный режим Т=Т ([c.129]

Введение обобщенных усилий основывается на кинематической теореме теории приспособляемости. Формулировка статической теоремы в обобщенных усилиях в связи с этим требует дополнительного обоснования. Аналогично известному доказательству этой теоремы [81], можно показать, что прогрессирующее разрушение невозможно, если существует такое статически возможное стационарное распределение, обобщенных усилий Qmn, уравновешивающее постоянные нагрузки, что [c.120]

Теорема 1. Винтовой поток идеальной жидкости может быть только стационарным. Теорема 1 и ее доказательство приведены в [17, с. 73], но ее следует считать известной с 1886 г., когда были опубликованы лекции Н. Е. Жуковского по гидродинамике [18], который установил необходимые и достаточные условия стационарности движения несжимаемой и сжимаемой жидкостей, откуда теорема 1 следует как частный случай. [c.16]

Локальное разложение в ряд, как и в доказательстве теоремы 8, показывает, что существуют точно две линии нулевого ускорения, идущие в точку разветвления. Из соотношения (4.35) следует, что в точках отрыва скорость стационарна тогда и только тогда, когда свободная и неподвижная границы имеют в этих точках одинаковую кривизну, и что только в этом случае имеется внутренняя линия нулевого ускорения, отходящая от точек отрыва. Кроме того, как и в случае линий перегиба, из асимптотических разложений видно, что существуют две внутренние линии нулевого ускорения, уходящие в бесконечность. Следовательно, все линии нулевого ускорения, начинающиеся на свободной границе, и две линии, приходящие из бесконечности, должны оканчиваться в точках нулевого ускорения на препятствии, за исключением двух линий, оканчивающихся в точке разветвления. Таким образом, теорема 9 доказана. [c.107]

Первое доказательство основано на применении теоремы об изменении кинетической энергии. Предположим, что условия (18.17) выполнены, но, несмотря на это, система под действием приложенных к ней сил начала двигаться из состояния покоя. По условию теоремы все связи стационарны, поэтому действительное перемещение системы за время Ш будет совпадать с одним из виртуальных перемещений бгх,. .., бг . [c.415]

Рассматривая теоремы существования статики или стационарных колебаний, мы убедились, что условия, задаваемые в постановке задач, вместе с тем или иным предположением об их гладкости были достаточны для доказательства существования классических решений. [c.342]

Доказательство. Отметим, что Хо(с ) — инвариантное множество согласно теореме 2.1. Пусть функция 7о(х) принимает стационарное значение шо(с ) на множестве Хо(с ) при П(х) = и это значение не является минимумом. Тогда функция 7о(х) — гпо(с ) может принимать отрицательные значения на множестве (2.9). [c.78]

Замечание 2.10. Из приведенного доказательства следует, что стационарное движение х ( ) С Хо(с ) неустойчиво по отношению к (1181(х, Хо(с )) (при условиях теоремы 2.5), если сугцествует момент [c.79]

Доказательство теоремы 3.3. При условии (3.13) стационарное множество системы (3.11), (3.12) состоит из двух точек, устойчивой О о и седловой О1 . 0,0, Х ,у , 3 ), г = 0,1. [c.274]

При доказательстве стационарности больцмановского распределения, так же как и при доказательстве Я-теоремы, Больцман исходит из выведенного им основного интегро-дифференциального уравнения для функции распределения, так называемого кинетического уравнения Больцмана. В ряде работ (1880—1883 гг.) он разрабатывает затем методы приближенного решения этого уравнения, выводит из него гидродинамические уравнения и т. д. Уравнение Больцмана является в настоящее время фундаментом всей кинетической теории газов. [c.12]

Мы ограничили себя, предположив, что случаи, когда взаимодействуют более чем две молекулы, не играют роли. Понятно, однако, что это ограничение было сделано только для упрощения доказательства, правильность которого от него совершенно не зависит. Точно так же, как мы рассматривали вероятность появления определенных пар молекул, мы могли бы вычислить и вероятность появления групп из трех и более молекул тогда получилось бы, что возможное взаимодействие трех и более молекул не нарушает теоремы о том, что распределение состояний, представленное формулой, аналогичной формуле (123), является стационарным. Не должно нарушать стационарный характер этого распределения состояний также и не рассмотренное до сих пор влияние стенок в случае, когда молекулы отскакивают от [c.381]

Для нелинейных уравнений Лагранжа нет прямой связи между фокусами по определению 23.1 и единственностью решения краевой задачи (см. пример 23.2), но, как указывалось в начале параграфа, и в линейном и в нелинейном случаях наличие или отсутствие фокусов определяет тип стационарной точки действия по Гамильтону. Приведем без доказательств две теоремы , утверждения которых будут проиллюстрированы (с элементами доказательств в общем случае) на двух примерах. [c.104]

Вторая теорема, которая оказывается особенно ценной для источников белого шума и доказательство которой приведено в приложении 1, формулируется следующим образом [10]. Пусть Х 1)—стационарная случайная переменная, для которой Х = 0, и пусть —ее среднее значение по времени за интервал т, т. е. [c.25]

Примечание. Каждое состояние системы с минимальным производством энтропии может быть стационарным состоянием, хотя обратное утверждение не является справедливым. Действительно, такая возможность возникает, если не выполняется хотя бы одно из условий, необходимых для вывода теоремы о минимальности производства энтропии и доказательства совместимости стационарного состояния и состояния с минимальным производством энтропии [10], т.е. следующих условий справедливости линейных уравнений и соотношений Онзагера, постоянства феноменологических коэффициентов и внешних условий. [c.60]

Другая теорема такого же характера гласит, что если потенциальная энергия при той же конфигурации уменьшается, а кинетическая остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний возрастают, и наоборот. Результаты подобного рода, как и сама теорема стационарности, строго говоря, доказаны Рэйли только для конечного числа степеней свободы и для малых изменений соответствующих параметров, но он пользуется ими в общем случае и основывает на них способ приближенного вычисления собственных периодов или частот. Только значительно позже, почти через полвека, успехи в разработке вариационных методов и созданная в начале XX в. теория интегральных уравнений были использованы для строгого доказательства этих положений. [c.279]

С другой стороны, уже в статике отмечалось (т. I, гл. IX, п. 19), что во всяком положении равновесия точки три частные произвол-ные от и должны обращаться в нуль, так что для всякого положения равновесия потенциал имеет стационарное значение. В частности, потенциал может иметь в этом положении максимум или минимум, но, как известно из анализа, это условие является только необходимым. Если в точке М для функции I/ имеет место действительный максимум, то справедливо известное предложение (теорема Дирихле), для доказательства которого используется только одно следствие уравнений движения, а именно упомянутый выше интеграл живых сил. Теорема эта следующая [c.134]

Отсюда следует прямая теорема подобия если два стационарных движения однородного (не диссоциированного и неионизованного) вязкого газа при отсутствии объемных сил и лучеиспускания подобны между собой, то соответствующие этим движениям числа Reoo, Моо, f , ст и Т , Too одинаковы для обоих рассматриваемых движений. Естественно, возникает вопрос об установлении достаточных условий, т. е. условий, обеспечивающих подобие двух гидроаэродинамических явлений. Однако решение этого вопроса упирается в необходимость строгого доказательства теоремы о существовании и единственности решений уравнений, что в настоящее время сделанО лишь для простейших случаев. Кроме того, разнообразие постановок задач о движении газа также вызывает некоторые трудности. Обо всем этом и о применениях соображений теории размерностей к разысканию типов решений уравнений Навье — Стокса, в частности, автомодельных решений, уже подробно говорилось в гл. VIII и IX. Не будем вновь возвращаться к этим вопросам, так как они полностью совпадают с соответствующими местами теории подобия несжимаемой вязкой жидкости. [c.642]

Предположение о равновероятности микросостояний поверхности заданной энергии (так называемое эргодическое распределение) было отвергнуто нами на основании непосредственного сопоставления его с опытом и, в частности, на основании сравнения с опытом определяемой этим предположением вероятности обнаружить неравновесное состояние. Сопоставление с опытом может быть проведено и несколько иным путем. Равномерное на поверхности заданной энергии распределение вероятностей, как известно, стационарно. Следовательно, математическое ожидание любой, относящейся к рассматриваемой системе величины, являющейся функцией состояния, не изменяется со временем. Между тем, ZT-теорема указывает на возрастание энтропии. Именно этот аргумент был выдвинут в свое время Цермело [4], рассматривавшим его как доказательство невозможности молекулярно-кинетического истолкования второго начала (аналогично предыдущему этот аргумент может быть усилен при помощи соединения его с законом больших чисел). Об этом доводе Цермело мы упоминали в 3. Мы отметили там также, что рассуждения Цермело должны быть дополнены совершенно новыми аргументами. [c.78]

Доказательство. Лля доказательства теоремы воспользуемся методом динамического программирования. Запишем функциональное уравнение Веллмана для непрерывно дифференцируемой по своим переменным стационарной функции Веллмана V x,y,z,x,y,z) с функционалом качества (6.43) [c.199]

В этом параграфе мы рассмотрим задачу, в которой одновременно присутствует несколько параметров, каждый из которых с равным правом может играть роль собственного значения. Из функционала, который будет выписан для такой задачи, как частные случаи, получаются основные из приведенных в этой главе функционалов. Для этого универсального функционала доказываются прямая и обратная теоремы о стационарности на собственных функциях той или другой однородной задачи. При этом в доказательстве не будет конкретизироваться, какой из параметров играет роль собственного значения. Вывод такого универсального функционала осуществляется методом неопределенных коэффициентов, подробно опнсанным в предыдущих параграфах, и здесь мы его не приводим. Для сокращения записи мы включим в этот функционал не все спектральные параметры, используемые в обобщенном методе. [c.177]

Укажем схему доказательства теоремы 1 (детали можно найти,-например, в книгах [И, 54]). Рассмотрим п однопараметрических групп д и е К), являющихся фазовыми потоками п гамильтоновых полей Vf.. Функции Fi,..., F находятся в инволюции, поэтому поля vpi касаются Ма- Следовательно, группы (/, переводят гладкие многообразия Ма в себя, поэтому определено действие (/, на Ма. В силу условия 2), значения д х) х е Ма) определены при всех t . Поля Vi и Vj коммутируют на Ма, поэтому группы (/, и gj также коммутируют. Следовательно, на Ма определено действие абелевой п-мерной группы К" = ii,...,i g x) = g , ..д (х). Согласно условию 1), градиенты функций Fi,...,F независимы во всех точках Ма, поэтому на Ма векторные поля vi,..., v также линейно независимы. Отсюда и из предположения о связности Ма ВЫВОДИТСЯ, ЧТО действие группы К" на Мд.свободно и транзи-тивно. Следовательно, Ма диффеоморфно фактормногообразию К"/Г, где Г — стационарная группа действия К" (она состоит из точек S Е К", для которых д х = х). Поля vi,..., v независимы, поэтому Г — дискретная подгруппа в К", изоморфная, как известно, О к п). Таким образом, Ма — х Равномерно меняющиеся глобальные координаты (р mod 2тг, у линейно выражаются через ii,..., i . Полагая tj = onst при всех j ф г, получаем решения гамильтоновой системы х = Vi x) как линейные функции времени ti = t. [c.85]

Доказательство. При условиях теоремы 3.1 невозрастающая функция 3.1 принимает невырожденное стационарное значение на фиксированных уровнях первых интегралов (3.2) на множестве Nq и теорема 3.1 следует из теоремы 2.1. [c.81]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Отметим, что вопрос о влиянии на устойчивость движения консервативных систем постоянно действующих потенциальных возмущений исследовался Н, Г. Четаевым (1932, 1936). Влияние возмущающих сил та кой природы на устойчивость стационарных движений рассмотрели недавно А. Л. Куницын (1966) и В. В. Румянцев (1966—1967), предложившие также различные варианты доказательства дополнения Ляпунова к теореме Рауса. [c.38]

Доказательство этой теоремы основано на рассмотрении поверхностей Бернулли , т. е. поверхностей уровня функции а. Из условия стационарности (v/ rot v = —grad a) следует, что как линии тока, так и линии ротора лежат на поверхностях Бернулли. Поскольку поля скорости и ротора коммутируют, на замкнутой поверхности Бернулли действует группа R , и она обязана быть тором (ср. с доказательством теоремы Лиувилля в 49). Аналогичные соображения, с учетом граничного условия на краю D, показывают, что незамкнутые поверхности Бернулли состоят из колец с замкнутыми линиями тока. [c.298]

Сразу бросается в глаза, что главный аргумент, лежащий в основе доказательства теоремы Купмэнса, недостаточно убедителен. Действительно, удаление одного электрона изменяет потенциал только на величину порядка 1/Л , однако в результате появляются поправки к Е1 для всех N электронов, и можно ожидать, что суммарное изменение полной энергии окажется не зависящим от N. Чтобы сделать доказательство более строгим, необходимо вспомнить о вариационном аспекте приближения Хартри — Фока. Соответствующие уравнения были получены из требования, чтобы полная энергия системы была стационарной по отношению к небольшим вариациям функций Хартри — Фока. Таким образом, ошибка в любой функции порядка 1/Л приводит к изменению падной энергии только на величину порядка 1/Л . Если же варьируются все функции Хартри — Фока, то результат меняется лишь на величину 1/Л , пренебрежимо малую для большой системы ). [c.89]

К сожалению, мне не удалось доказать выделенное выше предположение о звездности 7 при общих предположениях А-Е относительно функции Q. Для каждого фиксированного п его можно получить, потребовав, чтобы функция Q мало отличалась от стационарной, поскольку в стационарном случае кривые (11) и их образы при отображении Р+ суть окружности. Можно ли то же самое проделать для бесконечно многих п одновременно — неясно. Поэтому для доказательства существования бесконечного числа субгармоник периода 4тгп, как это сформулировано в теореме 1, приведенное выше рассуждение пришлось несколько изменить. [c.85]

Эта теорема была доказана Мультоном [127] даже для более общего случая, когда стационарная конфигурация не неподвижна, а пульсирует (т. е. каждая из масс движется по эллипсу). Доказательство Мультона вполне строгое и естественное. Оно опирается на индукцию при переходе от п масс к (п +1) массе, причем (п+ 1)-ая масса первоначально предполагается нулевой . Центральное место в доказательстве Мультона при этом уделяется к исследованию условий невырожденности, при которых [п + 1)-ая масса принимает уже конечное фиксированное значение. Эта задача из теории определителей показывает существенность условия, что все массы являются положительными. [c.136]

Преобразование Lexpta на орбите стационарного режима и° равномерно непрерывно, как и его обратное ехр(-4а)- Поэтому данное преобразование сохраняет свойства устойчивости по Ляпунову. Дальнейшее рассуждение опустим, так как оно почти дословно повторяет доказательство первой теоремы прямого метода Ляпунова (можно также сослаться на общие результаты работ [И, 17]). [c.255]

Весьма вероятно, что всегда существует устойчивое стационарное вращение, но доказательство пока неизвестно. Такого рода доказательство не может быть чересчур общим, вспомним трудности, возникающие при попытках обращения теоремы Лагранжа-Дирихле об устойчивости равновесия. Нетрудно указать натуральные консервативные системы, у которых все движения компактны, но все равновесия неустойчивы. Пусть, например, потенциальная энергия V x), х е К растет на бесконечности, то есть V x) +сх) при ж +сх). Тогда все движения компактны. Можно так выбрать функцию V x), чтобы у нас было лишь одно критическое значение, а именно — минимум, и оно достигалось бы на некоторой кривой Е. Тогда равновесиями будут точки этой кривой, и только. При этом все они неустойчивы, хотя инвариантное множество Е устойчиво. Такую функцию V x) можно считать С°°-гладкой, когда Е — незамкнутая кривая (ведро с днищем в виде отрезка) и даже аналитической, когда Е — замкнутая кривая (представим себе автомобильную шину с отрезанной верхней половиной, лежащую на горизонтальной плоскости). [c.289]

Кроме задачи Коши (когда по состоянию системы в заданный момент времени надо найти движение), в механике важное значение имеет краевая задача найти движение 1 х 1), которое в заданные моменты времени о и Ь принимает заданные значения жо и Ж1. В отличие от задачи Коши, краевая задача разрешима не всегда. Наиболее эффективным методом доказательства ее разрешимости является вариационный метод среди кривых с закрепленными концами ищется стационарное значение (обычно минимум) действия по Гамильтону. Например, в отсутствие внешних сил (тогда траектории будут геодезическими метрики на М, определяемой кинетической энергией) краевая задача имеет решение, если все движения нестеснены, т. е. определены на всей оси времени (теорема Хопфа—Ринова). Эти две задачи имеют еще одно существенное отличие краевая задача может иметь несколько различных решений. Простейшим примером служат навесные и настильные траектории снарядов. Более сложный пример доставляет теорема Серра любые две точки компактного риманова многообразия можно соединить бесконечным числом различных геодезических. Единственности решения краевой задачи препятствуют сопряженные точки, где пересекаются бесконечно близкие траектории, выходящие из одной точки. [c.72]

Если коэффициенты 1-формы (р периодичны по t (скажем, с периодом т), то в качестве пространства-времени М можно принять цилиндр — прямое произведение М и окружности imodr . В этом случае среди мировых линий могут оказаться замкнутые кривые. Легко понять, что они доставляют стационарные значения функционалу (2.8), определенному на пространстве всех замкнутых кривых. Этот простой результат может оказаться полезным для доказательства существования периодических решений системы (2.1). Примером может служить теорема Конли—Пендера [67] о наличии и + 1 различных т-периодических решений уравнений Гамильтона на 2и-мерном торе с т-периодическим гамильтонианом. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...