Лоренца фазовый

Наличие скачков термодинамических величин положено в основу классификации фазовых переходов, разработанной в 1933 году известным физиком-теоре-тиком Паулем Эренфестом (1880—1933). Это одна из колоритных фигур в физике XX века. Ученик Л. Больцмана, Ф. Клейна н X. Лоренца, друг А. Эйнштейна, [c.190]

Фазовое пространство такой системы — трехмерное евклидово пространство. Все фазовые траектории входят в некоторую ограниченную область, где могут переплетаться самым причудливым образом. Усилиями многих исследователей, использовавших методы качественной теории дифференциальных уравнений и численные эксперименты на современных вычислительных машинах, было показано, что сложные движения фазовых точек в системе Лоренца — хаотические. Вид одной из фазовых траекторий, соответствующей такому сложному движению, показан на рис. 1.14. Эта картинка получена на экране осциллографа путем высвечивания проекции фазовой точки через равные промежутки времени. [c.18]

Смейла, но с той существенной разницей, что области и Сз примыкают к границам области а О1 и О2 — устойчивые неподвижные точки вспомогательного отображения Т. Отсюда непосредственно следует состав инвариантного множества /. Осталось сказать, что в данном случае это седловое инвариантное множество / и есть сечение странного аттрактора уравнений Лоренца. Его особенностью является то, что его инвариантное множество 5 содержится в /. Вдоль своего инвариантного множества й " оно притягивает к себе соседние фазовые точки. [c.144]

Гомоклиническая структура, обнаруженная в системе Лоренца, сравнительно очень проста. В ней нет той непостижимой сложности, о которой писал А. Пуанкаре, и в этом смысле она уникальна. Упрощение вызвано особенностями структуры трехмерного фазового портрета, находящими отражение в наличии линии разрыва точечного отображения на секущей плоскости, и возможностью разделения переменных, о че>м вкратце уже говорилось. Ниже дается более подробное изложение результатов исследования системы Лоренца [c.184]

В первой главе изложены методы исследования самоорганизующейся конденсированной среды, которые представляют основу дальнейшего рассмотрения. В 1 мы показываем, каким образом производится обобщение стандартной картины фазовых переходов первого и второго рода на синергетическую картину превращения. Основой используемого подхода является схема Лоренца, в рамках которой эволюция системы представляется параметром порядка, сопряженным ему полем и управляющим параметром. Показано, что кинетическая картина фазовых переходов проявляет универсальность, состоящую в наличии на фазовом портрете квазистационарного участка, положение которого не зависит от микроскопических деталей. Проведен анализ возможных режимов эволюции системы в ходе превращения. [c.7]

Проведенное исследование показывает, что система уравнений Лоренца (1.1)-( 1.3) позволяет представить основные особенности фазового перехода. Термодинамическое описание достигается использованием зависимости V ri) синергетического потенциала от величины параметра порядка. В случае фазового перехода второго рода эта зависимость имеет вид (1.8), и ее характер определяется параметром внешнего воздействия [c.41]

Обсудим в заключение характер принятых приближений. Прежде всего следует иметь в виду, что система Лоренца описывает индуцированные шумом переходы, при которых упорядочение возникает под стохастическим воздействием внешней среды [19]. Примером такого рода превращений могут служить фазовые переходы, обусловленные ростом давления, которое играет роль управляющего параметра (см. [20]). В термодинамических системах интенсивность шума определяется температурой и энтропией. Однако, поскольку процесс самоорганизации отвечает большим значениям управляющего параметра 5, то он сводится скорее к энтропии, чем температуре. [c.47]

Уравнения баланса дефектов в данной модели строятся из интуитивных геометрических соображений, как правило, без учета временной зависимости [24, 25]. В настоящее время используются представления калибровочных полей [26—28], что позволяет изучать процессы, обусловленные взаимосвязью механических изменений внутри структурного элемента с соседними элементами и внешними объектами [27, 28]. Обычно внутренняя (локальная, описывающая структурный элемент) и внешняя (глобальная) симметрии представляются группой Лоренца. В ряде работ, например [29], рассмотрены идеи нарушенной симметрии, в которых поведение дислокаций описано аналогично теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау с некоторым параметром порядка. Следует отметить, что введение группы Лоренца как для внешних, так и для внутренних переменных не убедительно, поскольку в неоднородной среде отсутствует единственная скорость передачи сигнала — скорость звука. Теория, содержащая малый параметр, представляет собой скорее описание фазового перехода типа плавление , чем поведение механической среды, в которой заведомо отсутствуют какие-либо параметры порядка. [c.43]

Рассмотрим теперь уравнения Лоренца (2.114). Дивергенция фазового потока у них отрицательна Л = —(а -Ь -Ь 1), так что все траектории стремятся в некоторое множество нулевого объема. Величина W = [Х -i- (Z — г — [c.151]

Система Лоренца. Возникает вопрос возможно ли хаотическое поведение реальных динамических систем в ограниченной области фазового пространства В системах с одной степенью свободы хаотическое движение невозможно. Действительно, стохастичность возникает при перепутывании и расходимости траекторий. Однако, в силу того что фазовые траектории не пересекаются, единственно возможными аттракторами в ограниченной области являются предельные циклы и неподвижные точки. Ситуация меняется в случае трехмерного фазового пространства (система с 1, 5 степенями свободы). До недавнего времени никто, например, не сомневался в том, что в принципе можно достичь точного прогноза погоды, обработав достаточное количество информации. От этого подхода пришлось отказаться благодаря поразительному открытию детерминированные системы с малым числом степеней свободы ведут себя хаотически, причем случайное поведение имеет принципиальный характер — от него нельзя избавиться, собирая больше информации. Здесь случайный процесс определяется вероятностью того, что динамическая переменная может принять любое значение из некоторой области фазового пространства. [c.179]

Это означает, что при i -> оо объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории не могут существовать на двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема кажется, на первый взгляд, парадоксальным — с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, не являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом — объектом дробной размерности. Размерность аттрактора Лоренца равна 2,06. [c.181]

Чтобы изучить процесс приближения к равновесию и проблему возврата, рассмотрим снова модель Лоренца (задача 27.8). Как мы уже видели, эта модель характеризуется равновесным распределением (27.8.2). Разделим теперь фазовое пространство на 2т + 1 ячеек равного объема, которые нумеруются числами от —т до +т. Каждой ячейке соответствует элемент телесного угла [c.612]

Лоренца преобразование 448—449 Льенара способ построения фазовых траекторий 525 Ляпунова теоремы 341 [c.639]

Иначе говоря, определим релятивистскую температуру как лоренцев инвариант, что не связано с предположением инвариантности уравнений первого и второго начал термодинамики. Оно привлекательно еще и тем, что температуры фазовых переходов остаются внутренними свойствами веществ, как в обычной термодинамике. Поэтому температурная щкала может быть определена через зависимость, например, температуры кипения бинарных систем (при заданном давлении) от концентрации. Поскольку давление и концентрация лоренц-инвари-антны, это соглашение определяет лоренц-инвариантную температуру. [c.150]

Нам придется встретиться в этой главе с достаточно большими трудностями, потому что теория относительности — надежный путеводитель при исследовании равномерных движений — еще не дает окончательного заключения относительно неравномерных движений. Во время недавнего пребывания Эйнштейна в Париже Пенлевэ выдвинул интересные возражения против теории относительности Ланжевен легко сумел их отвести, так как все они предполагали ускорения, в то время как преобразование Лоренца— Эйнштейна применимо только к равномерному движению. Аргументы зна-л1енитого математика лишний раз доказали, что применение идей Эйнштейна становится вопросом деликатным, как только дело касается ускорений, и в этом отношении эти аргументы очень поучительны. Метод первой главы, позволивший нам изучить фазовую волну, здесь абсолютно непригоден. [c.652]

Короче говоря, я развил новые идеи, которые, быть может, помогут ускорить необходимый синтез, объединяющий физику излучений, так странно разделенную в настоящее время на две области, где царят две противоположные концепции корпускулярная и волновая. Я предчувствовал, что с помощью принципов динамики материальной точки, если уметь правильно их анализировать, можно, без сомнения, выразить распространение и согласование фаз, и старался, насколько мог, вывести из этого объяснение некоторых загадок, выдвигаемых теорией квантов. Пытаясь это сделать, я пришел к некоторым интересным заключениям, которые, может быть, позволяют надеяться прийти к более полным результатам, следуя по тому же пути. Но сначала нужно было бы создать новую электромагнитную теорию, естественно, удовлетворяюшую принципу относительности, учитывающую прерывную структуру излучаемой энергии и физическую природу фазовых волн и оставляющую, наконец, теории Максвелла—Лоренца характер статистического приближения, объясняющий закономерность ее применения и точность ее предвидений в очень большом числе случаев. [c.667]

Для того чтобы фазовый множитель мог быть инвариантным относительно преобразований Лоренца, необходимо и достаточно, чтобы преобразовывался как 4-вектор. Таким образом, четыре величины (108.22) являются компонентами 4-вектора, т. е. при лоренцовом преобразовании (107.5) они преобразуются по закону [c.399]

Как и в случае группы Лоренца, представления П. г. строят с помощью односвязЕой группы. Уд — универсальной накрывающей для группы (см. Группа). Для квантовой теории поля важны унитарные неприводимые представления У (см. Представление группы). Согласно требованию релятивистской инвариантности, векторам состояния отвечают т, н. проективные представления, задаваемые с точностью до фазового множителя. Имеет место теорема Вигнера — Баргмана, утверждающая, что любое проективное представление группы У порождается обычным однозначным унитарным представлением группы Уд. [c.173]

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

Слабая Т. J)T. волновых полей, когда из-за сильной дисперсии волновые пакеты перекрываются на. малое время и взаимодействие между волнами оказывается достаточно слабым—справедливо приближение (гипотеза) случайных фаз волн. Пример слабой Т. (в таком понимании)—волнение на поверхности моря без образования барашков. 2) Движение среды (или поля), соответствующее хаосу динамическому. При этом размерность фазового пространства динамической системы, описывающей Т. (или число независимых возбуждённых мод колебаний), прибл. glO. В простейшем случае — это низкоразмерный временной хаос (примером является Лоренца систсма). В более общем случае — низкоразмерный пространственно-временной хаос (пример—динамика дефектов в жидких кристаллах). [c.178]

BOM пространстве даже весьма простых течений. Наиб, известный пример—конвекция в подогреваемой тороидальной полости, расположенной в вертикальной плоскости. Образом хаотич. колебаний вращат. движения жидкости внутри такой полости служит странный аттрактор— аттрактор Лоренца. По совр. представлениям, в фазовом пространстве для ур-ний Навье—Стокса при определ. условиях должен существовать странный аттрактор, движение по к-рому соответствует режиму установившейся Т. [c.183]

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нск-рой гговерхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n — k, к—целое, к п. Ъ частном случае к = п это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию — особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при f - 0 может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. и. фрактальную размерность). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при f=10, й = 8/3, /->24,74. [c.268]

Для случая, когда в той же ситуации движется бесконечное множество частиц, доказано, что соответствующий поток является К-системой. Природа стохастичности этой системы иная, чем у идеального газа. В самом деле, в отличие от модели Лоренца, в движении отд. частицы идеального газа нет никакой стохастичности и, т. к. частицы друг с другом не взаимодействуют, стохастичность всей системы выглядит парадоксально, по крайней мере, она не согласуется с общепринятым представлением, что в основе этого свойства должна лежать нетривиальность взаимодействия. В случае же идеального газа причиной стохастичности служат бесконечность числа частиц и их неразличимость—при отказе от любого из этих условий стохастичность исчезает (впрочем, неразличимость частиц, вследствие к-рой координата и скорость отд. частицы не являются ф-циями на фазовом пространстве, можно считать суррогатом взаимодействия). [c.635]

Нечто аналогичное приведенному абстрактному примеру может происходить и в конкретных системах. Так, в фазовом пространстве уравнений Лоренца (1.24) при 6 = 8/3, 0 = 10, г =24,4 последовательные точки пересечения фазовых траекторий с секущей плоскостью z=r l приходят в очень малую окрестность некоторой кривой / и остаются в ной, порождая тем самым отображепие кривой 7 в себя. Если вдоль этой кривой ввести переменную и, то это отображение имеет такой вид, как показано на рис. 2.8. Оно всюду растягиваюп1ее, причем типичные последовательные Рис. 2.8 значения и являются хаотическими. [c.48]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Параграф 2 главы 1 посвящен синергетическому исследованию явления самоорганизуемой критичности, которое отличается от фазового перехода тем, что система претерпевает критическую перестройку в отсутствие внешнего воздействия. Основная особенность такого режима состоит в том, что эволюция стохастической системы протекает самоподобным образом, в связи с чем ее функция распределения имеет степенную асимптотику. В п. 2.1 показано, что такое поведение наблюдается при течении сыпучей среды по наклонной плоскости (модель зап(1рПе). Образование одиночной лавины представляется системой Лоренца, параметризуемой компонентами скорости и наклоном поверхности, величины [c.7]

С математической точки зрения наиболее простая схема описания самоорганизующейся системы представляется известной схемой Лоренца [7]. Она представляет три дифференциальных уравнения, выражающие скорости Г], к, S изменения величин rj, h, 5 через их значения. Характерная особенность этих выражений состоит в том, что все они содержат диссипативные слагаемые, величины которых обратно пропорциональны соответствующим временам релаксации r,j,Ti Ts. Обычно при исследовании термодинамики фазового перехода принимается адиабатическое приближение г/,, < г,,, означающее, что в ходе своей эволюции сопряженное поле h t) и управляющий параметр 5(i) изменяются настолько быстро, что успевают следовать за медленным изменением параметра порядка ri(t) [1]. При этом эволюция системы описывается уравнением Ландау—Халатникова, в котором роль свободной энергии играет синергетический потенциал. В результате синергетический подход сводится к феноменологической схеме фазового перехода. Отличие состоит в том, что в синергетических системах процесс самоорганизации происходит в области больших значений управляющего параметра 5, а в термодинамических — в низкотемпературной. Таким образом, величина S не сводится к температуре. Кроме того, если для термодинамических систем температура среды совпадает с ее значением для термостата, то для синергетических отрицательная обратная связь между параметром [c.19]

Кинетические особенности фазового перехода, найденные на основе модельных соображений [13], легко объясняются в рамках синергетического подхода, если ослабить стандартный принцип соподчинения [1], принимая, что наибольшим временем релаксации обладает не одна, а две гидродинамические степени свободы. В результате фазовый переход представляется системой двух дифференциальных уравнений, и задача сводится к исследованию возможных сценариев превращений второго (п. 1.1) и первого (п. 1.2) родов. Существенным преимуществом синергетического подхода является то обстоятельство, что он позволяет, не обращ1аясь к узким модельным соображениям, учесть действие обобщенного принципа Ле-Шателье. В этом смысле полученные ниже результаты носят достаточно общий характер. Что касается использования системы Лоренца, то известно, что она выделена в синергетике как одна из простейших схем, позволяющих учесть эффект самоорганизации. В частности, гамильтони-. ан, воспроизводящий недиссипативные слагаемые уравнений Лоренца, имеет простейший вид фрелиховского типа (см. 4). Что касается диссипативных вкладов, то они представляются в рамках полевой схемы ( 3) удлинением производных по времени, определяющих диссипативную функцию. [c.20]

Очевидная причина указанных противоречий состоит в неправомерном использовании обычных скейлинговых соотношений (1.72) для дробной системы Лоренца (1.130), обладающей фрактальным фазовым пространством. Для подсчета размерности этого пространства учтем, что каждой из стохастических степеней свободы s, S, и число которых п = 3, отвечает сопряженный импульс, так что гладкое фазовое пространство должно иметь размерность D = 2п. Такое пространство реализуется в простейшем случае отсутствия обратной связи, когда определяющий ее показатель о = О, и шум является аддитивным. С ростом показателя а > О, величина которого задает эффе1стивную силу и интенсивность шума в равенствах (1.120), обратная связь усиливается, и флуктуации приобретают мультипликативный характер. Согласно [45], при этом фазовое пространство становится фрактальным, и его размерность уменьшается в (1 - о) раз. В результате размерность пространства, в котором происходит эволюция самоорганизующейся системы, сводится к значению [c.72]

Использование синергетической схемы Лоренца позволило естественным образом обобщить кинетику фазового перехода ( 1) и всесторонне исследовать режим самоорганизуемой критичности ( 2). Здесь мы покажем, что синергетический подход позволяет в рамках единой схемы представить термодинамику и кинетику самоорганизующихся систем. Основным препятствием к объединению синергетической и термодинамикой картин является следующее обстоятельство считается, что процесс самоорганизации, представляемый первым из этих подходов, должен приводить к уменьшению энтропии, являющейся мерой беспорядка с другой стороны, термодинамика основывается на втором начале, согласно которому энтропия может только возрастать или оставаться постоянной. Это противоречие преодолевалось за счет предположения, что [c.77]

Вследствие малости параметра а/Я, эффекты пространственной дисперсии в оптике малы. Они становятся существенными лишь тогда, когда приводят к качественно новым явлениям. В средах, не обладающих центром симметрии, второй член в (2.76), имеющий порядок а/Я, приводит, как показано ниже, к небольшому различию фазовых скоростей волн правой и левой круговых поляризаций, т. е. к естественной активности. При наличии центра симметрии этот член обращается в нуль и эффекты пространственной дисперсии могут быть обусловлены лишь третьим членом в (2.76), имеющим порядок a/Kf. Пример такого эффекта — слабая оптическая анизотропия кубических кристаллов, на возможность существования которой Лоренц обратил внимание еще в 1878 г. Из-за малости эффекта [(а/Я) 10 ] наблюдать его трудно. Экспериментально ои был обнаружен лишь в 1960 г. Е. Ф. Грос- [c.112]

Принцип освобождаемости от связей в механике (заключающийся во введении в уравнения дополнительных слагаемых, называемых реакциями связей) распространяется на динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями при наличии ограничений на фазовые координаты. Составлено общее уравнение движения динамических систем с идеальными связями, частными случаями которых являются системы Н.Г. Четаева (см. п. 12.1) и системы с производными высших порядков [88]. Теория применяется при построении уравнений для медленных переменных в системах с малым параметром (не равным нулю). В качестве примера рассматривается автоколебательная система с инерционным возбуждением, к которой приводится динамическая система Лоренца (Е. N. Lorenz) [73. [c.99]

В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113). [c.155]

В приложении к метеорологии Лоренц назвал этот общий эффект непредсказуемости эффектом бабочки — ураган в Техасе может возникнуть в результате взмаха крыльев бабочки в Бразилии. Идеальное измерение определило бы точку в фазовом прстранстве, но реальное измерение порождает неопределенность AVq в задании начальных данных. Истинное начальное состояние может быть где угодно внутри малого элемента фазового объема AVq. Предсказание становится невозможным конечное состояние может оказаться в любой точке аттрактора. Однако в хаотических системах проявляются закономерности там, где раньше их никто не предвидел. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...