Метод Стокса второй

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-12-5) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена — Энскога, вводит в систему [c.52]

Существенные результаты получил Леонид Николаевич по теории волн конечной амплитуды путем разработанного им метода совместного применения переменных Эйлера и Лагранжа (1953, 1954, 1955 гг.). Он впервые указал алгоритм, позволяющий решать в любом приближении задачу о динамике трехмерных установившихся волн конечной амплитуды, и внес важное усовершенствование в известный второй метод Стокса, показав, что определение волн возможно путем решения бесконечной системы кубических уравнений ( Об одном методе определения волн конечной амплитуды , 1952 г.). Им рассмотрены задачи Коши — Пуассона для волн конечной амплитуды (1960, 1961 гг.) и образование волн конечной амплитуды источником жидкости (1965 г.). [c.12]

Второй метод Стокса [c.614]

Второй метод Стокса для определения волн конечной амплитуды есть по существу дела современный метод решения задач гидродинамики с помощью конформных отображений [187 ]. Найдем [c.614]

Установившиеся периодические волновые движения жидкости конечной глубины были определены с помощью второго метода Стокса в работе Дэ [94]. [c.614]

Предлагаемое здесь автором усовершенствование второго метода Стокса путем сведения определения волн к решению бесконечной системы кубических уравнений впервые опубликовано в работе [54]. [Прим. ред,) [c.614]

ВТОРОЙ МЕТОД СТОКСА [c.615]

Уравнения (3), (10) — (16) и составляют систему уравнений второго метода Стокса, записанную в симметричном виде. [c.619]

Переходя от установившейся волны к волне прогрессивной, замечаем, что при своем движении эта волна создает в направлении своего распространения некоторое добавочное течение во всей жидкости, но сколько-нибудь заметное лишь у поверхности жидкости. Наиболее полное определение волнового течения с помош,ью второго метода Стокса было сделано Вильтоном [205]. [c.627]

Мы не будем проводить вычисление коэффициентов рядов (6) и (7) из предыдуш его изложения видны те операции, которые надо выполнять для определения этих коэффициентов. Вместе с тем заметим, что результаты, которые можно было бы здесь получить, повторяют те, которые уже даны при изложении первого и второго методов Стокса. Заметим лишь, что ряд (7) дает возможность установить связь между скоростью потока с, длиной волны Х и параметром а, характеризующим амплитуду волны. Действительно, из формулы (14) 13 имеем [c.713]

Величину Reo.np можно найти по графику [Л. 284], если знать второе слагаемое. Однако определение Re i = и тйэ/у затруднительно. Неясны методы оценки коэффициента фт (в примере принято фт = 1), а определение пульсационных скоростей частиц по выражению (б) верно лишь для закона Стокса. Пример расчета Арп, приведенный в [Л. 284], показал, что при р = 4%, Re=10 , 1 3 = 50 мк, рт=2-10з с точностью до 1% [c.65]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье —Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. он представил доклад на эту тему Международному конгрессу математиков, собравшемуся в Гейдельберге. [c.103]

Задачи вязкого многофазного течения (жидкости, газы, твердые частицы). Этот класс содержит задачи движения запыленных потоков, а также движения потоков ири наличии кипения и конденсации. Для решения задач данного класса используются уравнения в приближении пограничного слоя или полные уравнения Навье — Стокса. Введение большого числа поверхностей разрыва фаз требует добавления к численным методам, разработанным для сплошной среды, статистических методов определения параметров потоков [35]. Численные решения задач движения вязкой многофазной жидкости получены только на основе уравнений пограничного слоя с введением влияния второй фазы на [c.187]

Второй путь упрощения относится к течениям при больших числах Рейнольдса. В этом случае можно воспользоваться методом сравнительных оценок членов, входящих в уравнения Навье — Стокса, и на их основе попытаться упростить исходную систему, опустив члены, которые имеют относительно малый порядок. Подобное упрощение было предложено Прандтлем в 1904 г. для области течения, расположенной непосредственно вблизи обтекаемой поверх- [c.151]

G помощью метода Чепмена — Энскога получено решение обобщенного уравнения Больцмана в первом и втором приближениях, т. е. аналоги уравнений Эйлера и Навье — Стокса. Проанализирован случай, когда в первом приближении релаксационные уравнения могут быть приведены к уравнениям типа Ландау — Теллера [2] (частным случаем такой моде- [c.105]

Существенный вклад в развитие математических методов исследования распространения звуковых волн был внесен в 20-х годах Пуассоном а во второй половине века — английской школой (Дж. Стокс, Рэлей, Ламб). [c.80]

Предложенный метод Ы 1) идентичен методу Чепмена — Энскога вплоть до приближения Навье — Стокса. Дальнейшие приближения аналогичны разложению Гильберта существенными отличиями будут только следующие вместо линеаризованного оператора Эйлера входит линеаризованный оператор Навье — Стокса полная система уравнений сохранения выписывается на каждом втором (а не на каждом) шаге. [c.132]

Изложенные в этой главе методы применяются не только к самим уравнениям Больцмана, но и к уравнениям типа Больцмана, которые получаются, когда квадратичный оператор столкновений заменяется модельным оператором / (/) (гл. 4). Отличия возникают только в связи с разложением нелинейных членов по степеням 8, ибо нелинейность моделей, вообще говоря, сложнее квадратичной. Эта особенность не проявляется, однако, раньше второго (члены порядка 8 ) приближения. Вследствие этого модели правильно воспроизводят уравнения Эйлера и Навье — Стокса, причем можно подогнать даже значения коэффициентов вязкости и теплопроводности так, чтобы они были согласованы с точными, если модели содерж ат по крайней мере два свободных параметра. Это несправедливо в случае простейших моделей, таких, например, как БГК-модель, и мы должны решать, что подогнать — вязкость или теплопроводность. [c.138]

Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье—Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г. [c.118]

В связи с быстрым усовершенствованием вычислительных машин в последнее время появилось много работ, в которых задачи о течении вязкой жидкости и газа при наличии отрывов и зон с возвратно-циркуляционными течениями решаются численными методами. В этих работах система уравнений Навье — Стокса аппроксимируется конечно-разностной системой первого или второго порядка точности, которая решается затем каким-либо итерационным методом. [c.235]

Известно, что решение уравнения Больцмана в первом приближении приводит уравнение (1-5-9) к форме уравнения Навье—Стокса. Второе приближение, найденное Барнеттом по методу Чепмена—Энскога, вводит в систему уравнений движения новые члены, которые уже в какой-то степени учитывают изменения градиентов скоростей и температур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно известно под названием супербарнеттовского решения. [c.37]

Как известно, уравнения переноса количества движения и энергии в современной молекулярно-кинетической теории выводят, исходя из решений так называемого интегро-дифференциального уравнения Больцмана. Решение уравнения Больцмана в первом приближении, т. е. когда можно пренебречь градиентами скоростей и температур по средней длине свободного пути молекул, приводит к уравнениям движения газа в форме Навье — Стокса. Второе приближение, найденное Барнетом по методу Энского—Чепмена, вводит в систему уравнений движения и теплового потока принципиально новые члены, которые существенным образом меняют законы дисперсии акустических волн. В этом случае в какой-то степени уже учитывается изменение градиентов скоростей и темпёратур на средней длине свободного пути молекул. Существует решение уравнения Больцмана и в третьем приближении. Оно 54 [c.54]

Несколько иной способ упрощения задачи, уточняющий метод Стокса, принадлежит Озину [2] и заключается в том, что в уравнениях движения оставляются только важнейшие из инерционных членов, которые к тому же линеаризуются путем замены неизвестной скорости, стоящей множителем перед производной, ее характерным значением. При этом нелинейная система дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости сводится к линейным уравнениям с частными производными первого и второго порядков. [c.238]

В основу второго метода Стокса полоя ено рассмотрение величин ф, я]) как независимых переменных, а величин х, у — как функций этих переменных. Таким образом, Стокс преобразовывает конформно рассматриваемую область волнового потока, заключенную между вертикальными прямыми х = — и ограниченную сверху неизвестной линией волны, на бесконечную полуленту плоскости комплексного переменного ф я]), [c.615]

В заключение отметим, что и решения Мичелля, и решение Некрасова основаны, по суш,еству дела, на идеях второго метода Стокса. [c.637]

В трудах Кельвина и Рэлея. Теория капиллярно-гравитационных волн конечной амплитуды получила свое начало в работе Вильтона [206], остававшейся долгое время вне поля внимания. Применяя второй метод Стокса, Вильтон рассчитал форму волны с точностью до пятой степени параметра е. Вместе с тем Вильтон обнаружил волны особого вида теория этих волн изложена в настояш,ем параграфе. Непосредственным продолжением работы Вильтона является работа Пирсона и Файфа [164], содержаш,ая подробное исследование волн около значения числа р = 2. [c.766]

На двух примерах обнаруживается удивительное совпадение между порядком уравнений систем Эйлера и Навье— Стокса и числом членов в ряде (3.8.1). Взяв один член ряда, получим систему Эйлера, уравнения которого имеют первый порядок, а взяв два, — уравнения системы Навье—Стокса, имеющие второй порядок. Если с помощью метода Энскога получить уравнения сохранения в третьем приближении, то мы получим систему Барнетта, уравнения которой имеют третий порядок. Эта система уравнений имеет довольно громоздкий вид, и ее вывод лежит за рамками данного курса. [c.139]

Идея А. С. Предводителева получила стр огое математическое доказательство в работах Айкенберри и Трусделла. В одной из последних работ ТруСделл Л. 13] утзерждает, что в поддающихся расчету и экспериментальной проверке задачах кинетической теории уравнения второго приближения по методу Энского — Чепмана справедливы для более узкой области со стояний газа, чем уравнения в при ближении Навье — Стокса. С помощью нов ого приема исследования — итерационного метода— ои показал, что приближения лю бого порядка хуже пер вого и что уравнения Навье — Стокса могут оказаться искомым асимптотическим решением. [c.524]

Наибольшие трудности представляет продгежуточная область. До сих пор нельзя еще говорить об установившихся методах расчета движений в пограничных слоях в этой области значений Reo и Moo, хотя вопросами этогО рода для общих движений вязкого газа еще во второй половине XIX века занимался Максвелл, а в начале нашего века Кнудсен, Милликен и др. Если говорить о той части рассматриваемой промежуточной области, которая граничит с крайней правой областью применимости уравнений Навье — Стокса, то здесь, по-видимому, можно удовольствоваться введением некоторых поправок в обычные методы механики жидкости и газов. Поправки эти идут в двух направлениях. Во-первых, становится существенным введение дополнительных членов в уравнения Навье — Стокса, выражающих необходимость использования в этих случаях некоторых нелинейных законов, приходящих на смену линейным законам Ньютона, Фурье и Фика. [c.655]

В интересующих нас сейчас асимптотических теориях, наряду с подобластями типа классического пограничного слоя, появляются еще другие подобласти, порядки которых по продольным и поперечным размерам, скоростям, перепадам давления и др. отличаются от ilYРе. Оценка порядков по рейнольдсову числу масштабов протяженности этих подобластей и механических и термодинамических характеристик движений среды в них представляет основной этап построения асимптотических решений. Вторым этапом служит составление рядов по параметрам, малость которых обеспечивается стремлением внешнего рейнольдсова числа к бесконечности, и определения коэффициентов этих рядов в том или другом простейшем приближении. При этом выполняется сшивание асимптотических решений в смежных подобластях. Заметим, что такой метод необходим и при численном решении уравнений Навье — Стокса при больших значениях рейнольдсова числа, так как позволяет заранее оценить характерный для каждой подобласти масштаб размеров ячеек применяемой сетки. [c.701]

Если первой ступенью развития приближённых методов использования дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости считать дифференциальные уравнения Стокса, а второй ступенью — дифференциальные уравнения Рейнольдса для слоя, то уравнения (1.6) Озеена следует считать уже третьей ступенью развития приближённых методов решения отдельных задач движения вязкой несжимаемой жидкости. [c.227]

Явление интерференции света в диффузно рассеянных лучах впервые наблюдал и исследовал ещё Ньютон в конце XVII столетия. Подробному рассмотрению открытого им случая интерференции от запылённого вогнутого зеркала посвящена четвертая часть второй книги его Оптики , вышедшей в 1704 г. [3]. В последующие периоды на протяжении XIX и первой половины XX столетий был открыт и исследован ряд других случаев интерференции в лучах, рассеянных запылённым зеркалом. Проблема эта периодически привлекала внимание известных учёных-физиков. Тут уместно упомянуть работы Юнга, Дж. Гершеля, Стокса, Ломмеля, Рамана и Датты и ряда других учёных [4-10]. Однако, вплоть до середины XX столетия работы по интерференции света в диффузно рассеянных лучах не имели важных практических приложений. Положение дел изменилось в 60-х годах истёкшего столетия, что связано с появлением двух новых направлений в интерферометрии. В основе первого из них лежит разработанный в 1953 г. английским учёным Берчем метод использования интерференции в диффузно рассеянных лучах для исследования свойств вогнутых зеркал. Развитию метода Берча и разработке разнообразных практических приложений предложенного Берчем интерферометра с рассеивающей пластинкой посвящено большое число работ, опубликованных в последующие десятилетия. Здесь мы ограничимся ссылками на основополагающие публикации самого Берча [11-12], а также — на книгу [13], в которой достаточно подробно рассматриваются физические основы интерферометра Берча, и на статьи [14-17], в которых обсуждается способ изготовления рассеивающей пластинки. Второе из упомянутых выше новых направлений — спекл-интерферометрия — возникло и начало интенсивно развиваться, вскоре после появления лазеров, и методы спекл-интерферометрии также получили разнообразные приложения [c.6]

Математическая модель и метод численного решения задачи. Сверхзвуковое по продольной координате течение в элементарном канале рассматривается в рамках стационарной осредненной параболизованной системы уравнений Навье-Стокса [10] для многокомпонентной среды в квазиламинарном приближении. Эта система получена из полной системы уравнений Навье-Стокса отбрасыванием членов, содержащих вторые производные по продольной координате. Возможность использования такого приближения для расчета сверхзвуковых струйных течений была продемонстрирована ранее [11, 12. Для замыкания задачи используется однопараметрическая дифференциальная модель турбулентной вязкости [13, 14]. Эти уравнения решаются совместно с уравнениями химической кинетики. Кинетическая схема включает 30 реакций для восьми компонент Н2, О2, Н, ОН, [c.339]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

Книга разделена на четыре части. В первой части в двух вводных главах излагаются без применения какого бы то ни было математического аппарата первоначальные сведения из теории пограничного слоя остальные главы этой части посвящены математической и физической разработке теории пограничного слоя на основе уравнений Навье — Стокса. Во второй части излагается теория ламинарного пограничного слоя, в том числе и температурного пограничного слоя. В третьей части рассматривается переход течения из ламинарной формы в турбулентную, т. е. возникновение турбулентности. Наконец, четвертая часть посвящена турбулентным пограничным слоям. Теорию ламинарного пограничного слоя в настоящее время можно считать в основном ее содержании законченной ее физические особенности полностью разъяснены, а расчетные методы разработаны до большого совершенства и во многих случаях доведены до столь простой формы, что полностью доступны инженеру. Оставшиеся неразрешенными специальные проблемы (например, пограничный слой при течении сжимаемой жидкости и пограничный слой при наличии отсасывания) носят в основном математический характер. Вопрос о переходе ламинарной формы течения в турбулентную, которым впервые начал заниматься О. Рейнольдс в 1880 г., теперь, после нескольких десятилетий безуспешной работы, нашел удачное объяснение. Теория устойчивости В. Толмина, подвергавшаяся долгое время возражениям с различных точек зрения, подтверждена теперь в полном своем объеме весьма тщательными опытами Г. Л. Драйдена и его сотрудников. При изложении проблемы турбулентного пограничного слоя я придерживался в основном полуэмпирических теорий, связанных с представлением о пути перемешивания, введенным Л. Прандтлем. Хотя, согласно последним исследованиям, эти теории несколько недостаточны, тем не менее пока не предложено взамен их ничего лучшего, что могло бы быть непосредственно использовано инженером. Напротив, полуэмпирические теории дают на многие практические вопросы вполне удовлетворительный ответ. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...