Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа

Дополнительные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Задача нахождения минимума функции не всегда задается в той форме, о которой говорилось выше. Число измерений пространства конфигураций, в котором движется точка Р, может оказаться меньшим, чем п, из-за наличия каких-то определенных кинематических соотношений между координатами. Подобные кинематические условия называются дополнительными условиями соответствующей вариационной задачи. Если такие условия не [c.65]

Неголономные условия. Метод неопределенных множителей Лагранжа применим и в том случае, когда дополнительные условия вариационной задачи заданы в виде не алгебраических, а дифференциальных соотношений (ср. гл. I, п. 6, и гл. И, п. 6). Мы снова получаем уравнения (2.12.5) с той только разницей, что df dq заменены коэффициентами Aik неголономных условий (2.6.1). Различие имеется лишь в вопросе о начальных условиях. Координаты qi теперь не связаны какими бы то ни было условиями, связи наложены только на их дифференциалы. Поэтому начальные [c.88]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет избежать исключения лишних переменных при наличии дополнительных условий и учитывает дополнительные условия без уменьшения числа переменных. Подинтегральное выражение L заданной вариационной задачи преобразуется путем прибавления левых частей имеющихся дополнительных условий, каждое из которых умножается предварительно на множитель X. Полученная новая задача рассматривается как свободная вариационная задача. Множители Я определяются затем как функции t путем удовлетворения имеющихся дополнительных условий. [c.88]

Резюме. Физический смысл метода неопределенных множителей Лагранжа при решении задач с дополнительными условиями заключается в том, что имеющиеся кинематические связи заменяются силами, поддерживающими эти связи. Этот метод позволяет определить силы реакции, обусловленные данными связями. Силы реакции возникают вследствие микроскопических отклонений от связей, а > -множители могут быть интерпретированы как мера этих отклонений. Отклонения меняются в процессе движения, что делает Я,- функциями /, несмотря на консервативную природу сил, поддерживающих заданные связи. [c.173]

Решение задачи на экстремум функции S (ао, аз, 5,. ..) при дополнительном условии типа (3.26) можно выполнить по-разному. Во-первых, можно использовать метод неопределенных множителей Лагранжа. Обозначим левую часть уравнения (3.26) через L (ао, аз, as,. ..). Согласно методу Лагранжа необходимые условия максимума запишем в виде [c.64]

Ответ на этот вопрос можно получить, используя метод неопределенных множителей Лагранжа [27J. Используя эту методику, необходимо составить форму из Qa (но лучше InQ ) с добавлением упомянутых дополнительных условий, вводя неопределенные множители а и р, и искать условный экстремум этой формы относительно Ni. Это приводит к системе уравнений [c.322]

Метод неопределенных множителей Лагранжа можно применить и для получения разрешающей системы уравнений (5.18), (5.14) из принципа стационарности полной энергии системы. В соответствии с известной процедурой метода неопределенных множителей Лагранжа [39] требование стационарности (5.10) при дополнительном условии (5.14) заменяем требованием стационарности [c.98]

Ггг) ( ) п] = Е1р. Здесь уже в качестве неизвестных усилий входят компоненты вектора п. При этом все уравнения равновесия элементов в направлении компонентов вектора л выполняются тождественно. К написанному уравнению следует добавить лишь условия (6.42) и условия на компоненты вектора обусловленные отсутствием продольных деформаций УГ р = 0. Эту систему уравнений можно получить также вариационным путем, принимая в качестве дополнительных соотношений равенство (6.42) и указанное условие на компоненты вектора н используя метод неопределенных множителей Лагранжа. [c.130]

Лагранж предложил прекрасный метод рещения задач с дополнительными условиями, так называемый метод неопределенных множителей , который, не прибегая к исключению некоторых переменных, сохраняет их симметрию и тем не менее сводит задачу к задаче о свободной вариации. Этот метод очень общий. Он применим при любом количестве дополнительных условий и даже в случае не-голономных условий, заданных в виде неинтегрируемых соотношений между дифференциалами переменных. [c.66]

Задачи о равновесии при наличии дополнительных условий. Часто встречаются задачи о нахождении равно-весия"системы, на которую наложены одно или несколько дополнительных условий. В соответствии с общим методом, обсуждавшимся в гл. И п. 5 и 12, в подобных задачах к бесконечно малой виртуальной работе bw следует прибавить вариации дополнительных условий, умноженные на неопределенные множители Лагранжа X, и лишь затем полученную сумму приравнять нулю. Для иллюстрации этого общего метода мы рассмотрим здесь две задачи статики. В одной требуется минимизировать обычную функцию, а в другой — определенный интеграл. [c.104]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Резюме. При параметрическом задании движения время является дополнительной координатой, которая может принять участие в процессе варьирования. Импульс, соответствующий временной координате, является полной энергией, взятой с обратным знаком. Для склерономных систем время становится циклической координатой, а соответствующий импульс — константой. Это приводит к теореме сохранения энергии для консервативных систем. Исключение времени как циклической координаты позволяет сформулировать новый принцип, определяющий лишь путь механической системы, а не ее движение во времени. Это — принцип Якоби, аналогичный принципу Ферма в оптике. Этот же принцип может быть сформулирован как принцип наименьшего действия . В последнем случае интеграл по времени от удвоенной кинетической энергии минимизируется с дополнительным условием, что при движении и вдоль истинного, и вдоль проварьированного пути должна выполняться теорема о сохранении энергии. Если этот принцип рассматривать с помощью метода неопределенных множителей, то в качестве результирующих уравнений получаются уравнения движения Лагранжа. [c.165]

Задача Гамильтона, отвечающая параметрической форме задачи Лагранжа, принимает, наконец, следующий вид. Отыскивается условие стационарности интеграла (6.10.9) при дополнительном условии (6.10.12). Условие (6.10.12) можно учесть методом неопределенных множителей [c.219]

Эти уравнения справедливы в любой момент времени t. В соответствии с методом Лагранжа умножим каждое из этих уравнений на неопределенный множитель Так как дополнительные условия выполняются при всех значениях независимой переменной t, множители тоже используются при всех значениях t, что делает их функциями от t. Кроме того, после суммирования по всем дополнительным условиям, каждое из которых умножено на свое получившееся выражение подставляется под знак интеграла по t. В результате метод множителей Лагранжа принимает такую форму вместо того, чтобы приравнять нулю вариацию заданного интеграла, преобразовываем ее следуюш,им образом [c.86]

Воспользуемся методом Лагранжа для нахождения экстремума функции п переменных F х, у, t), которые связаны между собой < л дополнительными условиями ф (х, у, t) = О, х, у, t) =0, % х, у, t) =0. Введем к неопределенных множителей Я, л, v и рассмотрим следующую функцию п k переменных [c.214]

Метод Ритца — Лагранжа. Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца функции (p k выбирают таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно использовать неопределенные множители Лагранжа так, чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций, а в целом всем выражениям для прогиба w. В этом случае коэффициенты Aik будут удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям вида [c.129]

Неголономные дополнительные условия и полиген-ные силы. Если кинематические условия не имеют формы аналитических соотношений между координатами, а представляют собой неинтегрируемые дифференциальные соотношения типа (2.6.1), то уже нельзя уменьшить число степеней свободы путем исключения лишних переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа, однако, по-прежнему применим. В самом деле, из (2.6.1) мы получаем для уравнений Лагранжа [c.174]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Другая особенность вариационной задачи Связана с числом моментных уравнений. Если число дополнительных условий, выраженных через моментные функции, ограничено, то плотность вероятности р (х) может принимать множество значений, удовлетворяющих моментным соотношениям. На этом множестве и определен функционал энтропии (2.7), для которого сформулирована вариационная задача. При неограниченном возрастании числа дополнительных условий в нелинейных задачах статистической динамики мощность множества допустимых р (х) сокращается. В пределе бесконечная система моментных уравнений определяет р (х) единственным образом, если выполняются известные условия Карлемана [20]. При этом вариационная задача об условном максимуме функционала энтропии в принципе вырождается, а сам функционал приобретает дельта-образ-ный вид в пространстве р (х). Тем не менее, как будет показано в следующем параграфе, формальное решение вариационной задачи можно выполнить по методу неопределенных множителей Лагранжа. В результате для частных случаев получаются точные аналитические выражения для плотности вероятности р (х). [c.42]

Задача б. Сформулировать метод неопределенных множителей Лагранжа (J. Lagrange, 1762) для отыскания максимума величины функционала Ф fl,. fk) при наличии дополнительных условий , Л) = О, j = 1,. .., < А . [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...