Метод Лагранжа Эйлера

При изучении движения среды методом Лагранжа задаются уравнения движения ее точек. Поп изучении движения средь методом Эйлера задается распределение скоростей в пространстве, занятом жидкостью, для каждого момента времени или задается так называемое поле скоростей. [c.223]

В общем случае задачей гидродинамики является определение скоростей и давлений для данного момента времени в любых точках пространства, через которое проходит поток жидкости (метод Эйлера), или для отдельных ( отмеченных ) частиц жидкости, заданных начальными параметрами (метод Лагранжа). Последующее решение задач технической гидродинамики осуществляется по методу Эйлера, причем в ряде случаев задача сводится к одноразмерной с введением необходимых поправок. [c.70]

За время dt этот прямоугольный параллелепипед также становится косоугольным, но его искажения являются бесконечно малыми, и поэто- Рис. 1.9 му они достаточно просто выражаются через вектор скорости v x,i)=dx/dt. Ясно, что все кинематические соотношения метода Эйлера формально можно получить из соответствующих соотношений метода Лагранжа, если считать интервал времени t—ta бесконечно малым. [c.31]

Так как физические свойства среды в эксперименте определяются для определенной массы частицы, то кинетику и динамику деформируемого твердого тела удобнее излагать в лагранжевых координатах. Необходимые соотношения для использования, часто более удобного, метода Эйлера можно получить из метода Лагранжа как предельные. [c.31]

Метод Эйлера более соответствует практическим требованиям, чем метод Лагранжа, так как экспериментальное измерение скоростей в данной точке пространства легко осуществляется существующими приборами, в то время как задание начальных координат отдельных точек среды должно быть отнесено скорее к мысленному эксперименту . [c.330]

Переменные Лагранжа и Эйлера. Возможны два основных вида движения жидкости или газа установившееся и неустановившееся. Если в любой точке пространства давление, плотность, модуль и направление скорости частиц движуш,ейся среды во времени не изменяются, то такое движение жидкости или газа называется установившимся. Если эти параметры потока в данной точке изменяются во времени, то такое движение называется неустановившимся. Существует два метода описания движения жидкостей и газов, использующие переменные Лагранжа или переменные Эйлера. Метод Лагранжа позволяет изучить движение каждой индивидуальной частицы сплошной среды метод Эйлера позволяет изучить изменение параметров движущейся среды (давление, плотность, скорость) в данной точке пространства без исследования поведения каждой индивидуальной частицы в отдельности. [c.230]

Переменные Эйлера. По методу Эйлера объектом изучения являются изменения векторных и скалярных величин относительно неподвижной точки пространства, заполненного движущейся жидкостью. Если по методу Лагранжа наблюдатель мысленно связывал себя с частицей и, двигаясь с ней, смотрел, что происходит с данной конкретной частицей, то по методу Эйлера наблюдатель связывает себя с неподвижной точкой пространства и смотрит, как изменяются векторные и скалярные величины во времени перед его глазами. Метод Эйлера позволяет изучить 1) изменение во времени векторных и скалярных величин в фиксированной точке пространства 2) изменение этих величин при переходе к соседним точкам пространства, т. е. аргументами с точки зрения Эйлера являются текущие координаты точки Xi и время t (переменные Эйлера рис. 6.2) [c.231]

При выводе дифференциального уравнения неразрывности рассматривалось движение отдельной жидкой частицы такой метод исследования ввел в гидродинамику Лагранж. В другом методе исследования, развитом впервые Эйлером, рассматривается не поведение отдельных частиц, а изменение по времени параметров жидкости в фиксированных точках пространства метод Эйлера во многих случаях удобнее метода Лагранжа — и в гидродинамике, и в газовой динамике им пользуются чаще. [c.62]

Существуют два метода исследования этого движения — метод Лагранжа и метод Эйлера. [c.81]

В аэродинамике существуют два метода кинематического исследования жидкой среды, один из которых называют методом Лагранжа, а другой — методом Эйлера. Каково основное содержание этих методов и чем они различаются Рассмотрите также следующую задачу. Пусть движение жидкости задано проекциями скоростей в переменных Эйлера х, ц, ) V = тх Ч- nt, V = —ку + II, 0, [c.40]

Составление дифференциальных уравнений движения сложных гироскопических систем по методу Эйлера — Д Аламбера и по методу Лагранжа полезно в целях сравнения и контроля результатов, полученных с помощью обоих методов для одной и той же системы. [c.126]

Существует два метода изучения движения частиц. Один из них, называемый методом Лагранжа, изучает движение в пространстве каждой индивидуальной частицы, другой, называемый методом Эйлера, изучает движение, происходящее в каждой точке пространства в любой момент времени, а поведением отдельных частиц не интересуется. [c.36]

В общем случае исследования удобнее вести в переменных Эйлера, а в некоторых частных задачах может иметь преимущества метод Лагранжа. [c.36]

В настоящем курсе метод Лагранжа не применяется все изучение построено на методе Эйлера. [c.36]

Кинематика одного и того же потока может изучаться как методом Эйлера, так и методом Лагранжа. Координаты Эйлера и Лагранжа связаны друг с другом. В большинстве случаев используют метод Эйлера. В дальнейшем изложении мы и будем его придерживаться. [c.68]

Различают два принципиально разных аналитических метода исследования движения жидкости метод Лагранжа и метод Эйлера. [c.72]

Методы Лагранжа и Эйлера.—В задачах о движении жидкостей могут применяться два различных метода [c.293]

Уравнение непрерывности. — Уравнение непрерывности выражает то обстоятельство, что масса жидкости остается во время движения неизменной. Это уравнение принимает различные формы в переменных Лагранжа и в переменных Эйлера. Мы сначала применим метод Лагранжа. [c.293]

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Метод Лагранжа позволяет определить пути отдельных частиц жидкости с течением времени, т. е. их траектории. Метод Эйлера дает возможность установить спектры линий тока, т. е. таких линий, касательные к которым в каждой точке для данного момента времени совпадают с направлением вектора скорости в этой точке. Дифференциальные уравнения линий тока [c.667]

Для стационарного потока объемный интеграл в уравнении (11.13) обращается в нуль, а поэтому и поверхностный интеграл становится равным нулю. Это означает, что полный массовый расход двухфазной среды через неподвижную замкнутую поверхность равен нулю. Так совершается переход от изучения явлений в подвижном объеме, следуя методу Лагранжа, к исследованию течения сквозь неподвижную поверхность согласно методу Эйлера. [c.42]

В отличие от метода Лагранжа метод Эйлера состоит в том, что задается не траектория выделенной частицы жидкости, а все поле скоростей в движущейся жидкости как функция координат и времени [c.21]

Основное различие между этими двумя методами состоит в том, что в методе Лагранжа координаты частиц представляются как функции времени, в то время как в методе Эйлера скорости частиц в различных точках определяются как функции времени. Поэтому в методе Эйлера координаты х, у w z являются независимыми переменными, в то время как в методе Лагранжа они являются зависимыми переменными. [c.53]

Совокупность величин х, у, г, I называют переменными Эйлера. Основное различие между методами Лагранжа и Эйлера заключается в том, что в методе Лагранжа величины х, у, % являются переменными координатами движущейся частицы жидкости, а в методе Эйлера — это координаты фиксированных точек пространства, мимо которых в данный момент времени проходят частицы жидкости. [c.32]

В механике существуют два метода изучения движения жидкости метод Ж. Лагранжа и метод Л. Эйлера. [c.22]

Другие механики в основном приняли то понятие вариации, которое дано Эйлером в его более поздней статье о методе Лагранжа. Это понятие заключается в следующем. Вариация функции имеет место, когда заключенные в ней параметры претерпевают изменение. Якоби в своих Лекциях по динамике утверждает, например, что вариации заключают в себе лишь изменения qt, которые проистекают от изменений содержащихся в gt произвольных постоянных. В соответствии с этим он делает вывод, что независимые переменные не варьируются, так что = 0. [c.220]

Движение жидкости можно проанализировать с двух различных точек зрения так называемый метод Эйлера рассматривает давление и скорость в неподвижной точке, а метод Лагранжа описывает судьбу отдельной частицы. [c.90]

В методе Лагранжа величины х, у, г являются переменными координатами одной и той же движущейся частицы жидкости, в методе Эйлера — это координаты точек пространства, мимо которых проходят различные частицы жидкости. Рассмотрим подробнее метод Эйлера, которым, по преимуществу, и будем пользоваться. [c.51]

Несмотря на то, что оба эти метода были впервые предложены шведским математиком Эйлером 200 лет назад и затем усовершенствованы французским математиком Лагранжем четверть века спустя, первый сейчас называется методом Эйлера, а второй — методом Лагранжа. [c.39]

Особенности кинематики жидкого потока. Метод Лагранжа и метод Эйлера. [c.113]

МЕТОД ЛАГРАНЖА и МЕТОД ЭЙЛЕРА 115 [c.115]

Рас- стоя- ние X Аналити- ческое решение Метод Лагранжа—Эйлера Метод Эйлера с итерациями [c.235]

Движение сплошной среды может быть изучено двумя методами, один из которых — метод Лагранжа — является обобщением метода, применявшегося в кинематике одной точки. Движение в методе Лагранжа задается в переменных Лагранжа. Другой метод — метод Эйлера — широко использует концепцию теории поля. При этом движение задается и изучается в переменных Эйлера. При рассмотрении движения сплоп ной среды преимущественно используется полевой подход, базирующийся на методе Эйлера и соответственно использующий переменные Эйлера. [c.208]

Метод Эйлера в аэрогидромеханике получил более широкое распространение, чем метод Лагранжа, так как наибольший интерес в прикладных задачах представляет информация о векторных и скалярных полях, характеризующая движение жидкости, а не информация о движении индивидуальных частиц жидкости. [c.232]

Оба метода исследования жидкссти —и метод Лагранжа, и метод Эйлера — математически свя заны между собой и возможен переход от уравнений (IV.2) к уравнениям (IV.3). В практическом применении метод Эйлера более прост, поэтому дальнейшее изложение основано на его грименеиии. [c.85]

Для решения таких задач эффективным является применение интегралыных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована ка конкретных примерах в гл. 6, 7 н др. в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.110]

Оно, однако, малоудобно для практического применения из-.за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.119]

Метод исследования движения жидкости, применяемый в гидравлике. Метод Лагранжа ввиду его сложности не нащел широкого применения в технической механике жидкости. Далее в основном будем пользоваться методом Эйлера. Однако, применяя его, все же не будем соверщенно отрекаться от рассмотрения движения частиц жидкости М. Мы будем следить за их движением, но не в продолжение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение только элементарного отрезка времени dt, в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. [c.73]

Изданием в 1736 г. Механики Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и другие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, однако каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах, как мы уже знаем, Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела. Лагранж охватил лмехаиику системы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к решению соответствуюш их математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то физических, эксиериментальных положений. Каковы эти положения И насколько общими являются методы Лагранжа, действительно ли они охватывают все задачи механики [c.202]

Существует два метода изучения движения жидкости. По методу Лагранжа изучают движение в пространстве индивидуальных частиц жидкости. По методу Эйлера изучают движение, происхо,аящее в некоторой точке простран ггва в любой момент времени, причем естествеин<5, что через фиксированную точку пространства проходят различные частицы жидкости. Таким образом, по методу Эйлера объектом изучения является не сама жидкость, а фиксированная часть пространства, заполненная жидкостью. Исследованию подлежит изменение различных элементов [c.22]

Движение жидкой массы под действием взаимного притяжения ее частиц с меняющейся эллипсоидальной граничной поверхностью в первый раз было исследовано Дирихле ), Положив в основу метод Лагранжа, изложенный в 13, он подверг исследованию целый класс движений, при которых перемещения выражаются как линейные функции координат. Эти исследования на той же основе были продолжены Дедекиндом ) и Риманом ). Позднее Гринхилль ) и другие авторы показали, что некоторые части этой проблемы с большим успехом могут быть исследованы при помощи метода Эйлера. [c.906]

Но, как известно, для изучения ряда вопросов кинематики движения среды, за исключением вопроса об ускорении частицы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно на точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей. При изучении поля скоростей движения среды по методу Эйлера мате.мати-ческая операция осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести сглаживание вводимых кине.чатических и динамических характеристик движения среды. При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпевают скачкообразные изменения от одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другой. Сама по себе операция осреднения (2.25) позволяет только по скачкообразным значениям вектора скорости в пределах фиксированного объёма "1 и фиксированного интервала времени получить некоторое значение вектора скорости, которое мы относим к центру объёма и к центру интервала вре.мени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта операция осреднения будет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объёма т и фиксированного интервала времени t. В этом случае каждый следующий фиксированный объём будет обязательно налагаться на предшествующий в своей большей части и каждый следующий интервал времени будет перекрывать не полностью предшествующий интервал времени. Таким образом, математическая операция осреднения в данном случае позволяет перейти от полей векторных и скалярных величин, скачкообразно меняющихся во времени и в пространстве, к полям тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Однако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрение дополнительных местных полей (с размерами фиксированного объёма осреднения) пульсаций соответственных величин, причём эти пульсации изменяются скачкообразно во времени и в пространстве. С помощью операции осреднения поле, например, вектора скорости истинного движения жидкости в некотором конечном объёме, намного превышающем объём осреднения г, заменяется двойным полем, составленным из поля вектора осреднённой скорости, зани.мающего весь конечный объём, и из накладывающихся частично друг [c.446]

Эйлерово представление н его связь с методом Лагранжа. Этот метод, названный именем основателя гидромеханики Эйлера, отвечает на вопрос что происходит в определенные моменты времени в отдельных точках (г) пространства, наполненного жидкостью. При таком представлгпии для скорости в отдельных точках пространства можно написать [c.68]

При такой пос гановке вопроса сразу возникает дилемма, полностью спогветствующая обоим методам представления — Эйлера и Лагранжа. Можно спрашивать или о том, как изменяется рассматриваемая величина, например скорость в определенной точке г заполненного жидкостью пространства, или о том, как изменяется скорость некоторой двигающейся в пространстве частицы 5. В первом случае (при фиксированной пространственной точке Г) говорит о л о к а л ь н о й п р о и з в о д н о й, во втором же случае (при фиксиронанной частице жидкости 5)--о субстанциальной производной. Если за переменную величину, зависящую от времени (а в общем случае и от места), взять, например, температуру 7, то в эйлеровом представлении лля локальной производной получается [c.87]

Ввиду трудностей, которые возникают в кинематике жидкости вследствие большой численности и легкой подвижности частиц, оказывается удобным несколько видоизменить применительно к особенностям жидкого потока обычные методы кинематики. Существуют два метода кинематического описания жидкого потока. Один из них называют обычно методом Лагранжа, другой—мето-дом Эйлера. Метод Лагранжа ничем, собственно, не отличается ох общих методов кинематики твердого тела. Конечной задачей кинематики, как известно из общего курса механики, является определение траекторий движения. Так же исследуется и движение жидкости по методу Лагранжа. Для каждой частицы жидкости должна быть определена ее траектория, т. е. координаты этой частицы должны быть определены как функции времени. Но так как частиц бесчисленное множество, то в самом способе задания траектории должно быть указано, к какой именно частице относится данная траектория. Для этого достаточно фиксировать положение всех частиц в какой-нибудь определенный, начальный момент времени Пусть при i — координаты какой-либо частицы будут соответственно а, Ь, с эти параметры отличают рассматриваемую частицу от других частиц. [c.114]

II, формула (15)), если предгарительно определена скорость потока в каждой точке. Как видим, эта практическая задача ставит перед кинематикой жидкости вопрос об определении скорости в той или иной точке пространства вне зависимости от индивидуальности частиц, которые через эту точку проходят. Траектории же частиц здесь вообще не нужны. Этим практическим запросам отвечает метод Эйлера, который в том как раз и заключается, что фиксируется не частица (как в методе Лагранжа), а точка в пространстве с координатами х, у, г, и исследуется изменение скорости в этой точке с течением времени. Конечно, при этом через рассматриваемую точку проходят разные частицы ). [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...