Метод Ритца-Лагранжа

Метод Ритца — Лагранжа. Этот метод представляет собой комбинацию метода Ритца и метода неопределенных множителей Лагранжа. В методе Ритца функции (p k выбирают таким образом, чтобы каждая из них удовлетворяла геометрическим граничным условиям. В некоторых случаях это требование выполнить трудно. Тогда можно использовать неопределенные множители Лагранжа так, чтобы граничные условия удовлетворялись не каждой из функций, а в целом всем выражениям для прогиба w. В этом случае коэффициенты Aik будут удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям вида [c.129]

Рассмотренный в этих примерах метод расчета, основанный на теореме Лагранжа — Дирихле, носит название метода Ритца. [c.286]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

За три десятилетия существования ц развития этого метода наиболее развитой оказалась та его разновидность, когда решение ведется в перемещениях. Она связана с вариационным принципом Лагранжа и может быть истолкована как усовершенствованная модификация метода Ритца. [c.257]

Вариационные принципы чаще всего используются для получения приближенного решения задач вязкоупругости. В частности, из вариационного принципа Лагранжа следует метод Ритца. Суть его поясним на примере тела с однородными кинематическими (геометрическими) граничными условиями. [c.358]

При этом оказывается, что метод Ритца тесно связан с вариационным принципом Лагранжа и вытекает из него. Согласно принципу Лагранжа, если упругое тело находится в равновесии, то работа всех сил (внешних п внутренних) па любом возможном перемещении равна нулю [c.191]

Использование метода Рэлея — Ритца в сочетании с методом множителей Лагранжа. В описанной выше схеме метода Рэлея— Ритца геометрическим граничным условиям задачи удовлетворяла каждая координатная функция (.к). Но при выборе аппроксимирующих функций можно потребовать, чтобы часть граничных условий была удовлетворена не каждой функцией ряда (2.68), а их суммой. В некоторых случаях такой путь решения удобнее. [c.68]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Метод Ритца основан на использовании известной теоремы Дирихле—Лагранжа, на основании которой формулируется следующий принцип потенциальная энергия упругого тела в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение. Для использования метода Ритца в задачах расчета пластин необходимо составить выражения для потенциальной энергии деформации пластины U и работы внешних сил А. Полная потенциальная энергия пластины равна их разности [17= U—A). Можно показать, что при задании прогиба в виде (20.67) полная потенциальная энергия является квадратичной функцией параметров а , n=n(ali). [c.450]

Подставив в (20.71) выражение (20.67) и выполнив интегрирование, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно а - Можно показать, что уравнение (20.71) выражает в интегральной форме условие равенства нулю работы всех внешних и внутренних сил в пластине на возможных перемещениях ф (х, И. В этом смысле метод Бубнова—Галеркина, как и метод Ритца, исходит из принципа возможных перемещений Лагранжа. [c.451]

Подстановка выражений (1.4.20) для компонентов перемещения в основное уравнение принципа Лагранжа (1.4.16), если >лгесть произвольность вариаций 5яд, позволяет получить систему основных уравнений метода Ритца [c.44]

Навье соответствует применению метода Ритца к функционалу Лагранжа в перемещениях и имеет вид [c.201]

Для квадратной пластинки с a — b—, D=1 значения функционалов Лагранжа н Кастпльяно при различном числе членов ряда представлены в табл. 5.1 и иллюстрируют сходимость метода Ритца при выбранных координатных функциях. [c.202]

К каждому из полученных вариационных уравнений могут быть приложены прямые методы приближенного их решения, сводящие граничную задачу теории оболочек к решению системы алгебраических уравнений. Наиболее распространенный из них — метод Ритца, В применении к вариационному уравнению Лагранжа этот метод заключается в следующем. [c.76]

К каждому из полученных вариационных уравнений могут быть приложены прямые методы приближенного их решения, сводящие граничную задачу теории оболочек к решению системы алгебраических уравнений. Наиболее распространенным из них является метод Ритца. В применении, например, к вариационному уравнению Лагранжа этот метод заключается в следующем. Обобщенные смещения 1, 2> Ук Уг задаются в виде рядов [c.91]

Условия, наложенные между элементами, всегда вызывают практические трудности, и это приводит к конструкциям метода множителей и гибридного метода. Например, Андерхегген [А9] предложил использовать для задачи четвертого порядка о пластине и обычного метода Ритца минимизации функционала потенциальной энергии I v) кубические полиномы, для которых наклон нормали обычно разрывался между элементами. Наложение ограничения на непрерывность наклона связывает с краем каждого элемента множитель Лагранжа и заменяет метод Ритца методом минимизации с ограничением. Требуемые изменения в программах очень просты. Однако матрица жесткости становится неопределенной и (из-за неизвестных на сторонах) вычислительное время для кубических функций оказывается сравнимым с обычным методом жесткости для редуцированных полиномов пятой степени, предложенных в разд. 1.9. [c.158]

Смешанный метод. Впервые этот метод предложен в работе [104], где он называется методом множителей Лагранжа, поскольку получен в виде задачи об отыскании решения стационарной точки подправленного функционала Ритца. Метод весьма перспективен для задач электро- и магнитостатики (по причинам, которые мы рассмотрим позднее). [c.117]

Решение вариационного уравнения Лагранжа по способу выбора аппроксимирующих функций может быть выполнено методом Ритца, Галеркина, Треффца и др. Метод Ритца требует от аппроксимирующих функций только лишь выполнения кинематических условий на поверхности тела. Сходимость процесса в общем случае не выяснена. Если же аппроксимирующие функции выбрать так, чтобы они удовлетворяли не только кинематическим, но также и статическим (динамическим) условиям на поверхности тела, то поверхностные интегралы в уравнениях (12), (18), (20) исчезают и соответствующие системы уравнений упрощаются. Этот метод носит название метода Галеркина. Следует отметить, что для метода Галеркина решается положительно вопрос о сходимости процесса, т. е. с увеличением числа аппроксимирующих функций до бесконечности получается точное решение задачи. В методе Треффца аппроксимирующие функции выбираются так, чтобы объемный интеграл в уравнениях (12), (18), (20) тождественно обращался в нуль. Для метода Треффца сходимость процесса доказана. [c.23]

Одним из эффективных вариационных методов является метод Лагранжа—Ритца Этот метод состоит в следующем. Вначале представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неопределенные параметры щ, [c.388]

В тех случаях, когда не удается подобрать систему координатных функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, в методе Релея — Ритца и Тимошенко можно потребовать, чтобы ряд (2.1) в целом удовлетворял граничным условиям. Полученные дополнительные условия вместе с минимизацией энергии или усилия приводят к изопериметрической задаче. В эгом случае используется метод неопределенных множителей Лагранжа [6.26]. [c.81]

Анализируя описанные методы решения вариационного уравнения Лагранжа, приходим к заключению, что для расчета корпусных деталей машин следует применить методы приведения четырехмерной задачи теории упругости к двумерной и одномерной. Получаемые при том системы уравнений не встречают больших математических трудностей. Выбор аппроксимирующих функций будем производить в основном по способу Ритца, так Как заранее удовлетворить статическим или динамическим условиям на поверхности таких сложных пространственных конструкций, какими являются корпусные детали машин, не представляется возможным. [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...