Общий метод Лагранжа

С методической точки зрения отметим, что в уравнении (17.6) мы представили движение материальной точки отнюдь не с помощью ее прямоугольных координат или какой-либо иной величины, непосредственно измеряемой на циклоиде, а с помощью половины угла поворота ср, фигурирующего при построении циклоиды. Этот параметр, лишь косвенно связанный с циклоидой, дает возможность, как мы убедились, рассмотреть задачу наиболее простым образом. Введение этого параметра уже здесь могло бы подвести нас к общему методу Лагранжа, который будет изложен в гл. VI и даст нам возможность вводить в уравнения движения любые параметры в качестве независимых переменных. [c.128]

В соответствии с общим методом Лагранжа составим видоизмененную потенциальную энергию вида [c.104]

В заключение этого параграфа напомним общий метод Лагранжа для интегрирования системы линейных, неоднородных, уравнений. Пусть дана система [c.40]

Общий метод Лагранжа [c.618]

ОБЩИИ МЕТОД ЛАГРАНЖА [c.619]

ОБЩИЙ МЕТОД ЛАГРАНЖА 621 [c.621]

ОБЩИИ МЕТОД ЛАГРАНЖА 625 [c.625]

Используя общий метод Лагранжа, изложенный в гл. VI, или производя преобразование уравнений непосредственным путем, мы получим вместо уравнений (12.86) следующую систему [c.636]

Таким образом, к уравнениям (13.1) вполне можно применить общий метод Лагранжа изменения (или вариации) произвольных постоянных, основы которого были подробно разобраны в предыдущей главе. [c.656]

Применение основного закона динамики ведет в данной задаче быстрее и проще к составлению дифференциальных уравнений движения, однако первый путь — использование уравнений Лагранжа в обобщенных координатах является более общим методом. [c.602]

По методу Лагранжа вариации произвольных постоянных найти общее решение уравнения х + и/ х = ехр(1/<), где ш и — действительные постоянные, I — время. [c.301]

В общем случае задачей гидродинамики является определение скоростей и давлений для данного момента времени в любых точках пространства, через которое проходит поток жидкости (метод Эйлера), или для отдельных ( отмеченных ) частиц жидкости, заданных начальными параметрами (метод Лагранжа). Последующее решение задач технической гидродинамики осуществляется по методу Эйлера, причем в ряде случаев задача сводится к одноразмерной с введением необходимых поправок. [c.70]

Канонические уравнения применяются, главным образом, при исследовании теоретических проблем аналитической механики,в особенности при изучении общих методов интегрирования уравнений динамики. Широко применяются канонические уравнения и в небесной механике. С другой стороны, их применение к простейшим конкретным задачам не приводит к большей эффективности по сравнению с решением, основанным на уравнениях Лагранжа второго рода. [c.149]

Модуль / (х), определяющий скорость сходимости метода, по мере приближения х к корню стремится к нулю. Отсюда следует, что метод Ньютона сходится с ускорением — чем ближе к корню, тем быстрее сходимость. Для оценки ошибки можно использовать общий метод (2.12), но можно получить и специальную формулу. Для этой цели представим функцию F (х) в виде отрезков рядов Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа [c.78]

В общем случае исследования удобнее вести в переменных Эйлера, а в некоторых частных задачах может иметь преимущества метод Лагранжа. [c.36]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Примеры получения уравнений Лагранжа. Из предыдущего видно, что если система такова, что д,ля нее можно составить лагранжиан, т. е. если система является голономной и обладает обычным или обобщенным потенциалом, то имеется весьма удобный способ получения уравнений ее движения. Составляя эти уравнения, мы преследовали цель исключить реакции связей, но при этом получили и другие полезные результаты. Для того чтобы получить уравнения движения в виде (1.18), нужно было иметь дело со многими векторами сил и ускорений. Применяя же метод Лагранжа, мы оперируем лишь с двумя скалярными функциями Т и V, что сильно упрощает поставленную задачу. Теперь мы можем указать метод составления уравнений движения, общий для всех задач механики, к которым приложим метод Лагранжа. Согласно этому методу нужно лишь написать функции Г и У в обобщенных координатах, образовать из них лагранжиан L и, подставив его в (1.53), получить уравнения движения. При этом переход от декартовых, координат к обобщенным получается для функций Г и У с помощью уравнений преобразования (1.36) и (1.43). Так, [c.34]

Задачи о равновесии при наличии дополнительных условий. Часто встречаются задачи о нахождении равно-весия"системы, на которую наложены одно или несколько дополнительных условий. В соответствии с общим методом, обсуждавшимся в гл. И п. 5 и 12, в подобных задачах к бесконечно малой виртуальной работе bw следует прибавить вариации дополнительных условий, умноженные на неопределенные множители Лагранжа X, и лишь затем полученную сумму приравнять нулю. Для иллюстрации этого общего метода мы рассмотрим здесь две задачи статики. В одной требуется минимизировать обычную функцию, а в другой — определенный интеграл. [c.104]

Инвариантность уравнений движения Лагранжа является одним из наиболее важных их свойств. Она позволяет использовать координаты, соответствующие особенностям задачи. Поскольку не существует общего метода решения уравнений Лагранжа, то лучшее, что можно сделать, это выбрать такую систему координат, в которой эти уравнения были бы, хотя бы частично, интегрируемы. [c.143]

Циклические (игнорируемые) координаты и их исключение. Выше уже упоминалось о том, что общего метода интегрирования уравнений Лагранжа не существует. Однако иногда оказывается возможным произвести частичное их интегрирование. Особенно важным примером такого положения является случай циклических или игнорируемых переменных. [c.151]

Согласно общему методу, сначала видоизменим функцию Лагранжа. В данном случае мы должны написать [c.160]

Исключение циклических переменных. Хотя канонические уравнения имеют гораздо более простую структуру, чем исходные уравнения Лагранжа, у нас нет общего метода интегрирования этих уравнений. Поэтому при интегрировании уравнений движения по-прежнему необычайно важную роль играют циклические переменные. Как только появляются циклические переменные, становится возможным частичное интегрирование данной механической задачи и сведение ее к более простой. Сам процесс сведения, однако, в гамильтоновой форме механики выглядит гораздо проще, чем в лагранжевой форме. [c.214]

Наконец, в лагранжевой механике не существует какого-либо общего метода упрощения функции Лагранжа. Не существует никакого систематического приема для получения циклических переменных и их можно получить лишь путем удачной догадки. В гамильтоновой механике может быть предложен определенный метод получения циклических переменных и упрощения функции Гамильтона. Этот метод сводит всю задачу интегрирования к нахождению одной фундаментальной функции, являющейся производящей функцией некоторого преобразования. Он играет центральную роль в теории канонических уравнений и, как будет показано в следующей главе, предоставляет широкие возможности для различных обобщений. [c.226]

Если в них положить последовательно г = 1, 2, 3,..., и, то получим п независимых уравнений движения системы в форме, данной Лагранжем, который, повидимому, первый дал постановку, а также математическую формулировку общего метода динамики, применимого ко всем системам с конечным числом степеней свободы 2). [c.189]

Изложенные соображения иллюстрируют возможности применения метода Лагранжа при рассмотрении в общем виде проблем, касающихся малых колебаний. Решение характеристического уравнения для системы, обладающей большим числом степеней свободы (как в случае кристаллической решетки), может быть очень трудным, но изложенный выше метод можно всегда использовать как исходный. [c.54]

В случае неконсервативной системы это общее определение может охватывать величины, которые обычно не считаются количествами движения (импульсами). Рассмотрим заряженную материальную точку, движущуюся в электромагнитном поле. Это пример неконсервативной системы, которая может быть описана методом Лагранжа. Как было указано в гл. III, функция Лагранжа имеет вид [c.57]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Вам хорошо известно, что общий метод варьирования параметров Лагранжа состоит в привлечении интегралов одного уравнения (или группы уравнений) к другому уравнению посредством трактовки постоянных первого уравнения как переменных второго. Рассматривая их таким образом, часто можно выбрать наугад несколько произвольных условий, которые удовлетворят этим новым переменным величинам, особенно в приложениях к динамике, в которых уравнения, интегрируемые первыми, обычно бывают второго порядка, а количество постоянных в их интегралах равно двойному числу зависимых переменных. Принцип, по которому Лагранж выбирал произвольные условия, чтобы удовлетворить своим переменным параметрам, был превосходен и заключался в понижении порядка, так как он вел к возрастанию числа дифференциальных уравнений движения. Я стремился и достиг того же преимущества иметь новые дифференциальные уравнения не выше первого порядка, но пришел к иному выбору параметров, ибо исходил из другой группы первоначальных дифференциальных уравнений, каждое из которых само первого порядка. . . [c.768]

И действительно, его Аналитическая механика сыграла роль сочинения, открывшего новый этап в развитии механики. Основная для Лагранжа идея построения механики как систематического и гармоничного здания, возводимого на фундаменте единой общей предпосылки, пронизывает Аналитическую механику . И это стремление к систематичности и изяществу выражений, к математической законченности построения нашло восторженную оценку у другого великого мастера математического анализа проблем механики — Гамильтона. Во введении к своей работе Общий метод динамики Гамильтон говорит Лагранж, может быть, сделал больше, чем все другие аналитики, для того, чтобы придать широту и гармонию таким дедуктивным исследованиям, показав, что самые разнообразные следствия относительно движения системы тел могут быть выведены из одной основной формулы красота метода настолько соответствует достоинству результата, что эта великая работа превращается в своего рода математическую поэму ). [c.795]

Благодаря рассмотренным свойствам методы Лагранжа и Гамильтона приобрели значение в физике. Это значение еще более увеличивается, если учесть тесную внутреннюю связь принципа Гамильтона и оптики — связь, выраженную в оптико-механической аналогии, являющуюся одним из проявлений фундаментального синтеза полевого и корпускулярного аспектов физических процессов. Принцип Гамильтона дает общие формы [c.877]

Общий учебник по механике, с особым вниманием к методам Лагранжа и Гамильтона. Релятивистская механика. Статистическая механика. [c.439]

Хотя способ составления уравнений по Лагранжу и не обладает той наглядностью, связанной с возможностью геометрической интерпретации, которая присуща способу, основанному на принципе Даламбера, однако он является совершенно общим и позволяет анализировать системы совершенно автоматически. Применяя принцип Даламбера, решающий задачи, как правило, изображает объекты и действующие силы, причем у него нередко возникают сомнения в правильности выбора знаков перед тем или иным членом в уравнении. При применении метода Лагранжа отпадают всякие затруднения с определением знаков, так как используются выражения энергии и отыскиваются их производные по координатам и по времени, и знаки получаются сами собой. В анализе сложных систем метод Лагранжа незаменим. Нужно только иметь в виду, что большая или меньшая простота решения задачи зависит от удачного выбора обобщенных координат. [c.15]

Согласно общему методу Лагранжа получим шесть уравнений, содержащих три неопределенных множителя, определяющих силы реакции — a ai [23 [c.298]

В области небесной механики много великолепных работ дали два француза — Алексис Клеро (1713—1765) и Жан ле Рои Д Аламбер (1717—1783), издавший в 1743 г, свой знаменитый Трактат по динамике . В этом трактате Д Аламбер показал, между прочим, как привести уравнение движения точек, связанных между собой, к задаче динамического равновесия. В течение XVIII в. были решены многие вопросы теоретической механики и перед механикой встала задача — дать общий метод, при помощи которого возможно было бы решение всех механических проблем чисто аналитически. Такой метод нашел Луи Лагранж (1736—1813). Его знаменитая Аналитическая механика изложена без единого чертежа, на основе общего метода. [c.15]

Перейдем к изучению наиболее общих методов решения задач механики. Эти методы основываются на общем принципе — принципе возможных перемеицений, или принципе Лагранжа, так как Ж. Лагранж первый придал этому принципу законченную форму и положил его в основу статики. Обч единнв этот принцип с принципом Даламбера, Ж. Лагранж получил общее уравнение динамики, из которого вытекают основные дифференциальные уравнения движения материальной системы и основные теоремы динамики ). [c.107]

Для решения таких задач эффективным является применение интегралыных форм уравнений количества движения и момента количества движения. Методика их использования проиллюстрирована ка конкретных примерах в гл. 6, 7 н др. в данном параграфе приведены уравнения количества движения и момента количества движения в общей форме, удобной для практического применения. Закон количества движения сформулирован в гл. 3, где в общей форме получено соответствующее уравнение (3.8). Оно, однако, малоудобно для практического применения из-за необходимости вычислять объемный интеграл, требующий знания закона распределения скоростей в этом объеме. Более удобную форму уравнения количества движения можно получить, если перейти от описания потока по методу Лагранжа к описанию по методу Эйлера. [c.110]

Уравнения Лагранжа второго рода дают общий метод составления дифференциальных уравнений движения механической системы с голономными идеальными удерживающими связями в обобщенных координатах. Строгий вывод этих уравнений выходит за рамки данного курса, поэтому проиллюстрируем их справедливость на очень частном случае механической системы с одной степенью свободы, когда наложенхсые на нее связи являются не только голономными идеальными удерживающими, но и стационарными. [c.300]

Применить метод Лагранжа к задачам, разобранным и предложенным в качестве приложения общих теорем и теории относительного движения в главах ХУШ, XIX, XX, XXI и XXII. [c.356]

Задача о движении системы с го-лономными связями формально всегда может быть решена, что частично объясняется возможностью исключения зависимых координат. Однако для задач с неголономными связями общего метода решения не существует. Правда, дифференциальные уравнения неголономных связей можно рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения и тогда можно исключить зависимые величины с помощью метода множителей Лагранжа, который мы рассмотрим позже. Однако в более специальных случаях неголономных связей требуется индивидуальный подход к каждой задаче. При формальном изложении классической механики почти всегда предполагается, что любая имеющаяся связь является голономной. Это ограничение несколько сужает применимость общей теории, несмотря на то, что в повседневной практике нередко встречаются неголоном-ные связи. Причина этого состоит в том, что связи, наложенные на систему, обычно реализуются посредством различных поверхностей, стенок или стержней и играют заметную роль лишь в макроскопических задачах. Но современных физиков интересуют главным образом микроскопические системы, в которых все объекты (как внутри системы, так и вне ее) состоят из молекул, атомов и еще более мелких частиц, порождающих определенные силы. Понятие связи становится в таких случаях искусственным и встречается редко. Связи используются здесь лишь как математические идеализации, полезные при описании [c.25]

Общий метод решения задачи о движении твердого тела. Уравнения Эйлера. Весь аппарат, необходимый для решения задачи о движении твердого тела, нами практически уже получен. В некоторых случаях, когда на это тело наложены не-голономные связи, нам потребуется применить специальные приемы, чтобы учесть их. Так обстоит дело, например, в том случае, когда на тело наложена связь качения , которая может быть учтена с помощью введения неопределенных множителей Лагранжа, как это делается в 2.4. Если, однако, исключить эти специальные случаи, то, как правило, нам придется иметь дело только с голономными и консервативными системами, а движение таких систем вполне определяется их лагранжианом. Если рассматриваемое тело является свободным, то нам потребуется полная система из щести обобщенных координат TpeJ< [c.177]

Тем самым такие разделы динамики Лагранжа, как, иа-иример, посвященный разработке общего метода приближений, основанного на париации произвольных постоянных , помимо своего конкретного значения для небесной механики, физики к техни1ш, имеют также и весьма большое методологическое значение, являясь выражением материалистической тенденции Лагранжа — не ограничиваться одним только написанием дифференциальных уравнений, но также н доводить решение задач механики до результатов, которые могли бы быть сравнены с наблюдательным и экспериментальным йгатериалом, т. е. доводить трактовку задач механики до практического приложения. [c.5]

К этому же периоду относится и создание знаменитой Мёсап1дие Analytique , перевод первого тома которой здесь дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей, которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь разработанными им же вариационными методами, Лагранж строит здесь впервые полную систему аналитической механики. В этом классическом труде сосредоточено такое количество фундаментальных идей и блестящих методов, до такой предельной ясности доведено изложение основных законов механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести и может быть использована как классический трактат по аналитической механике. Здесь впервые появляется идея обобщенных координат лагранжев метод рассмотрения жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой Подвижностью частиц, уничтожил различие между механикой жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы механики могли быть распространены на гидростатику и гидродинамику. Механика у Лагранжа стала общей наукой [c.584]

Тогда же возник вопрос об общем методе кинетоста-тических исследований. С этой целью машиноведы пробовали применить не только принцип Даламбера, но и уравнение Лагранжа — однако безрезультатно. Как пишет Лоренц, все... динамические операции основывались на последовательном применении принципа потерянных сил Даламбера, который обеспечивал рассчитывающему и конструирующему инженеру преимущество непрерывной обозримости всех действий, что также сделало основы динамики особенно удобными для преподавания в высшей школе. Это следует подчеркнуть в особенности, ибо в последнее время стремятся приспособить для этого заимствованные из аналитической механики уравнения Лагранжа для каждой степени свободы движения... Основываясь на собственном опыте, я сомневаюсь, чтобы этот весьма значительный в науке метод пришелся но вкусу большинству инженеров [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...