Суперпозиция начальных условий

Суперпозиция начальных условий. В качестве примера применения понятия суперпозиции рассмотрим малые колебания простого маятника. Допустим, что есть два решения уравнения и соответствующие двум разным начальным условиям (смещение и скорость). Предположим, что есть еще одно начальное условие, которое является суммой соответствующих начальных условий для г ) и для -фз. Это значит, что начальное смещение маятника представляет собой алгебраическую сумму начальных смещений ор 1) и (/), а начальная скорость — алгебраическую сумму скоростей, соответствующих -ф и гра. Чтобы найти решение г з, нам достаточно просто сложить % и Докажите это. Указанный результат справед- [c.29]

Суперпозиция начальных условий дает суперпозицию соответствующих движений. Предположим, что а и 6 — два связанных осциллятора. Рассмотрим три различных начальных условия [c.54]

Таким образом, начальные условия 3 являются суперпозицией начальных условий 1 и 2. Покажите, что движение в случае 3 является суперпозицией движений 1 и 2. [c.54]

Мы видим, что колебательное движение точки М является результатом суперпозиции (наложения) трех колебательных движений затухающих колебаний, зависящих от начальных условий, колебаний, имеющих частоту свободных, но возникших вследствие действия возмущающей силы, и вынужденных колебаний. [c.347]

Так же как в системе, состоящей из отдельных масс, выбором соответствующих начальных условий в стержне можно возбудить то или иное из свойственных ему нормальных колебаний. При произвольном выборе начальных условий в стержне сразу возбуждаются в той или иной степени все нормальные колебания, которыми обладает эта система. Всякое колебание стержня, возникающее в результате начального толчка, представляет собой суперпозицию тех или иных нормальных колебаний. В системе, состоящей из отдельных масс, возникновение тех или иных нормальных колебаний определяется характером начальных отклонений всех масс. Точно так же в струне возникают различные нормальные колебания в зависимости от характера начального отклонения струны. Оттягивая струну в различных точках, мы будем возбуждать в ней, вообще говоря, различные нормальные колебания. Поэтому и характер звука, издаваемого струной, будет, вообще говоря, различным. [c.652]

Колебание каждой координаты представляет собой суперпозицию затухающих колебаний, причем из-за комплексности коэффициентов распределения колебания на частоте в разных координатах сдвинуты по фазе на величину Амплитуда и фаза ф , как обычно, определяются из начальных условий. [c.298]

Величины Ds и определяются начальными условиями. Собственное колебание л-го звена цепочки представляет суперпозицию N нормальных колебаний. Распределение амплитуд по координатам для каждой собственной частоты происходит по синусоидальному закону. [c.300]

Решение й (х, т) задачи (2.1)—(2.3), исходя из принципа суперпозиции, представим в виде суммы решения х, т) однородного уравнения при q , = О с начальным условием (2.3) и решения 2 [х, т) неоднородного уравнения (2.1) с нулевым начальным условием. [c.51]

Резюме. Движение произвольной механической системы вблизи положения устойчивого равновесия удобно изучать с помощью пространства конфигураций. В этом случае пространство евклидово, а переменные qi служат в нем прямолинейными координатами. Главные оси квадратичной формы потенциальной энергии определяют п взаимно ортогональных направлений в пространстве конфигураций, которые могут быть выбраны в качестве осей естественной системы координат. С-точка совершает гармонические колебания вдоль этих направлений с частотами, меняющимися от одной оси к другой. Амплитуды и фазы этих колебаний, называемых нормальными , произвольны и зависят от начальных условий. Произвольное движение системы является суперпозицией нормальных колебаний. В результате такого движения С-точка описывает фигуры Лиссажу в пространстве конфигураций. Для устойчивости равновесия требуется, чтобы корни характеристического уравнения были положительны, так как в противном случае нарушается колебательный характер движения. [c.189]

В статистической механике ) мы рассматриваем огромное число п идентичных гамильтоновых систем, отличающихся только их начальными условиями. Суперпозиция этих систем в пространстве QP дает ансамбль ( облако тонкодисперсной пыли ) изображающих -точек с плотностью вероятности f q, р, t), такой, что nf dq dp есть число изображающих точек в элементе объема dq dp в момент времени t. Когда элемент dq dp движется, согласно каноническим уравнениям его объем сохраняется, также сохраняется число изображающих точек в нем. Отсюда df/dt = О или, что эквивалентно, [c.347]

Общий процесс на основе принципа суперпозиции [28] находился как сумма процессов линейной части системы, вызванных начальными условиями и скачкообразными воздействиями от переключений реле. Каждый из процессов линейной части при этом раскладывался на отдельные составляющие по методу эффективных полюсов и нулей. Вычисление значений отдельных составляющих в любой момент времени производилось по алгебраическим соотношениям без выполнения процедур интегрирования. Моменты времени для определения точек процесса задавались с переменным шагом, определяемым в процессе счета. [c.234]

НОЙ системе движение, создаваемое любыми начальными условиями, совместными с ее устройством, можно получить путем суперпозиции разных нормальных колебаний с соответственно подобранными амплитудами и начальными фазами. Отсюда мы заключаем, что самый общий случай движения конечной струны можно представить формулой [c.97]

Мы подробно рассмотрим метод разделения переменных, кратко изложенный в 7 гл. 6. При решении задачи этим методом надо, во-первых, найти полный набор решений уравнений с разделенными переменными (элементарных решений) и затем представить общее решение в виде суперпозиции этих решений и, во-вторых, с помощью граничных и начальных условий найти коэффициенты в общем решении. В то время как первую проблему для модельных уравнений, которые обсуждались в гл. 6, можнО решить, вторую можно точно решить лишь в некоторых случаях. Тем не менее метод полезен даже тогда, когда вторая проблема неразрешима или только приближенно разрешима, потому чтО он дает возможность получить решение в аналитическом виде [c.172]

Из решений (6.17) и (6.19) видно, что в линейной теории собственные частоты и коэффициенты затухания не зависят от начальных условий. Отметим еще две характерные черты линейной теории малых колебаний в решении (6-.17) отсутствуют обертоны , г. е. частоты, кратные собственной частоте кроме того, в силу линейности уравнения (6.6) его обидев решение является суммой частных решений, т. е. имеет место, как говорят, принцип суперпозиции. [c.257]

Рассмотрим случай ограниченной области. Как известно 196, 331, 373, 426, 471 и др.], решение однородной системы (3.14) с однородными граничными и неоднородными начальными условиями представляет собой суперпозицию стоячих волн, которые являются собственными функциями однородной краевой задачи для однородной системы (3.13). Решение неоднородной краевой задачи для неоднородной системы (3.13), как известно [203—205, 373], существует для со, не равного собственным числам однородной краевой задачи для однородной системы (3.13). [c.67]

В работе одного из авторов [26] построено семейство автомодельных решений для цилиндрического движения в акустическом приближении. Оно получается путем суперпозиции плоских волн. Показатель автомодельности является произвольным и выбирается по начальным условиям. Для сходящейся цилиндрической ударной волны (в акустическом приближении) давление на фронте р г причем радиус фронта i = с 1 < I. [c.628]

Наиболее общее решение уравнений (47) и (48) состоит из комбинации двух независимых решений, которые удовлетворяют четырем начальным условиям для х(0), х(0), (0) и г/(0). Суперпозиция двух нормальных мод, для которых четыре константы А , фх, фз и Ла—определяются из четырех начальных условий, представляет собой такое решение. Таким образом, общее решение может быть записано (хотя не всегда в этом возникает необходимость) как суперпозиция мод. [c.36]

Решите эти уравнения для двух мод способом нормальных координат. Покажите, что it>i=(Aio a+Alj, ,)/(Aia+Aib) и 1з2=Ч а —Ч" являются нормальными координатами. Найдите частоты и конфигурации мод. Каков физический смысл координат и iJ)j Найдите суперпозицию двух мод со следующими начальными условиями при i=0 оба маятника имеют нулевую скорость маятник а имеет амплитуду А, и амплитуда маятника Ь равна нулю. Пусть равно полной энергии, которую имеет маятник а в момент (=0. Найдите выражения для а(0 и ь(0- Предположим, что связь слабая. Будет ли энергия маятника а полностью передаваться маятнику Ь в течение цикла биений Возможно ли, что энергия передается полностью, если первоначально вся энергия была у легкого маятника, и не передается полностью в противоположном случае [c.55]

Общее движение системы может быть описано как суперпозиция всех ее мод с амплитудами и фазовыми константами, определяемыми из начальных условий. В этом общем случае поведение колеблющейся системы будет казаться очень сложным, так как в сложном движении, являющемся суперпозицией многих мод, очень трудно различать отдельно каждую моду. [c.58]

Наиболее общее решение уравнения (2) представляет собой суперпозицию двух линейно независимых решений с двумя произвольными константами, которые могут быть определены из начальных условий для смещения и скорости Xi (0) и Xi (0). Два линейно независимых решения можно получить, взяв два значения 0, например, первое 0=0 и второе 0=—я/2. Таким образом, общее решение может быть записано в виде [c.105]

Переходный режим вынужденных колебаний. Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения для затухающего гармонического осциллятора, находящегося под действием внешней гармонической силы, при заданных произвольных начальных условиях л (0) и х(0). Общее решение является суперпозицией частного решения для установившегося состояния х 1) и общего решения A i t) однородного уравнения движения (уравнения свободных колебаний) [c.113]

Покажите, что если х (г) является решением уравнения (1) для вынуждающей силы Рх (Ц и 2 (О — решением для другой вынуждающей силы р, I), то силе р (t)=Px (0+ 2 (О соответствует решение д Ц)=Хх (0+- 2 (О при условии, что начальные условия х (0) их (0) для суперпозиции определяются суммой начальных условий, т. е. х 0)=Хх (0)+Х2 (0) и х (0)=Х1 (0)+лг2 (0). [c.142]

Волновые векторы ио представляют собой решения однородных уравнений при некоторых начальных условиях (которые соответствуют действию импульсов (/оь 7о/ О при 1 > 0). Таким образом, принцип суперпозиции позволяет построить решение неоднородной задачи как совокупность решений однородных уравнений, интегрируемых с весом, представляющим собой внешние силы (24.4). [c.130]

Колебания в ограниченных областях среды в отсутствии внешних воздействий, напр. 3. п., возникающее в замкнутом объёме при заданных начальных условиях. Такие 3. п. можно представить в виде суперпозиции [c.138]

Можно доказать, что для любых начальных условий и- при любых непроницаемых для звука крышках колебание в трубе можно представить в виде суперпозиции собственных колебаний данной трубы. Это легко показать для идеальных крышек на основе теории рядов Фурье. Пусть, например, крышки абсолютно жесткие. Набор собственных частот и волновых чисел обертонов данной [c.215]

Подберем числа Л, и так, чтобы суперпозиция собственных колебаний удовлетворяла заданным начальным условиям. Для этого должны иметь место равенства [c.216]

Искомое поле можно представить в виде суперпозиции двух полей одного р с начальными условиями [c.216]

Общее решение получается преобразованием Фурье и суперпозицией элементарных решений (13.24) для двух мод со = +PF (х). Для нахождения произвольных функций F (я), входящих в решение, необходимы два начальных условия. Конечно, функция ф в начальных условиях должна удовлетворять уравнению Лапласа, иначе в игру вступят эффекты сжимаемости и быстро преобразуют исходное распределение в некоторое новое эффективное исходное распределение. Д.чя простоты рассмотрим жидкость, первоначально находившуюся в состоянии покоя с ф = 0. Тогда, согласно [c.422]

В случае гиперболических уравнений этот метод может быть применен к диспергирующим волнам, если только начальные условия представляются суперпозицией конечного числа синусоид. [c.288]

Согласно принципу суперпозиции (см. 3 гЛавы 1) при решении такого уравнения учет исходного распределения напоров (начального условия) удобно проводить, представляя ре- [c.126]

При работе скважины в потоке подземных вод меняющееся в пространстве начальное распределение напоров будет искажать радиальный характер потока. Вместе с тем при неизменной величине площадного питания для учета естественного (исходного) потока можно воспользоваться принципом суперпозиции, который позволяет автоматически учесть наличие естественного потока подземных вод, если отсчитывать понижение уровня, создаваемого откачкой, от уровня естественного потока. В такой постановке понижения напора 5 будут описываться уравнениями радиального планового потока при нулевых начальных условиях. [c.174]

Чтобы удовлетворить и нулевым начальным условиям, следует взять суперпозицию решения (3.2), (3.3) и решения / (2), wq) системы уравнений (1.1), (3.1) с краевыми условиями [c.95]

Наблюдение интерференции в естественном свете, для которого имеют место поперечные колебания всех направлений, также возможно, и, как правило, на опыте реализуется интерференция именно когерентных пучков естественного света. Для выяснения этого вопроса каждый из интерферирующих пучков естественного света представим в виде суперпозиции двух волн, ортогонально поляризованных и не связанных друг с другом никакими определенными фазовыми соотношениями. Условие когерентности пучков означает, что одинаково поляризованные волны имеют равные начальные фазы. Поэтому при наложении двух когерентных пучков естественного света формируются две независимые, но пространственно совпадающие интерференционные картины, отвечающие двум парам одинаково поляризованных волн. [c.87]

При обработке информации о надежности технических систем, состоящих из большого числа элементов, следует учитывать, что причины отказов различны одни элементы могут отказывать из-за износных разрушений, другие — вследствие нарушений условий эксплуатации, третьи — из-за усталостного разрушения и т. п. Если исследовать распределения до отказов таких систем, то эти распределения будут, как правило, отличны от традиционных, типичных для наработок отказа одного элемента (распределение Вейбулла, нормальное и т. п.). Тогда распределение наработок до отказа будет подчиняться суперпозиции нескольких распределений. Типичными являются и такие механические системы, у которых в начальный период эксплуатации возникают внезапные отказы, обусловленные отдельными дефектами технологии изготовления. Спустя некоторое время начинают происходить износные или усталостные отказы. В такой ситуации также следует ожидать действия одного из суперпозиционных законов. [c.162]

Материальная точка массы т = 1 кг движься вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F — = (—12 л —36A -j-sin3/)j(H). Суперпозицией каких двух процессов будет являться движение этой точки при заданных ненулевых начальных условиях [c.89]

Выражения (2.4) определяют траекторию движения массы, которая становится эллиптической при р% = ру. Величина, соотношение и ориентация главных осей эллиптической траектории зависит от начальных условий. Если = то эллипс вырождается в отрезок прямой, наклон которой определяется соотношением начальных амплитуд. Такое колебание как бы соответствует проявлению лишь одной степени свободы системы, поскольку имеется свобода выбсфа одного из главных направлений колебаний. Если дх = йу и -у —Yv = = л/2, то масса вращается по круговой траектории с частотой р. Здесь проявятся обе степени свободы. Между двумя рассмотренными качественно различными частными случая.ми располагается все многообразие возможных эллиптических траекторий двиясення массы. Любую траекторию можно представить как результат суперпозиции движений по линейной и круговой или некоторым двун другим линейно-независимым, но не обязательно взаимно ортогональны.м траектория.м. [c.25]

В наиболее общем случае начальных условий поворотно-симметричная система способна соверщать свободные колебания с двукратной собственной частотой, которые могут трактоваться как одновременная суперпозиция колебаний в виде стоячей и бегущей волн [дискретное представление (2.12)]. В зависимости от коикретных начальных условий свободные колебания поворот-но-симметричной системы, соверщающиеся с двукратной собственной частотой, могут приобретать вид стоячих волн, бегущих волн, а также суперпозиции тех я других. [c.31]

Возникновение той или иной формы колебаний зависит от начальных условий. В общем случае решение записывается в виде суперпозиции собственных форм колебаний [c.366]

Таким образом, задача изучения потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости разделяется на две части во-первых, решая уравнение Лапласа при заданных граничных условиях, нужно определить кинематические характеристики потока, т. е. найти поле скоростей. Во-вторых, пользуясь интегралом Лагранжа нужно найти динамические элементы, т. е. давление р в любой точке движущейся жидкости. Произвольная функция t), входящая в правую часть уравнения (49), определится из начальных условий задачи. Линейность уравнения Лапласа позволяет строить сложные потенциальные течени5г жидкости путем суперпозиции (наложения) более простых потенциальных течений, так как любая линейная комбинация частных [c.281]

Движение системы является суперпозицией независимых гармонических движений, происходяшдх одновременно. Эти гармонические движения называются нормальными колебаниями или нормальными модами (либо просто модами). Определенная мода характеризуется собственной частотой и пространственной конфигурацией системы, задаваемой вектором ит ц) Для возбуждения фиксированной моды необходимо выбрать специальные начальные условия. [c.145]

Форма процесса регулирования определяется формой возмущающего воздействия, расположением очага возмущения, динамическими xiipaKT pH THKaMH САР и ее состоянием в момент возмущения (начальными условиями). Поэтому для построения графика процесса регулирования необходимо располагать данными по всем этих факторам. Так как к рассматриваемым системам применим принцип суперпозиции, то исследование влияния каждого фактора можно производить изолированно от других. [c.527]

Есть ли аналог подобного уравнения для распределенной системы До сих пор мы рассматривали безграничные среды. Обратимся теперь к системам, в которых предполагается наличие обратной связи (будем называть их резонаторами). В простейшем случае такая обратная связь осуществляется в кольцевом резонаторе. В кольцевом резонаторе может реализоваться как режим чисто бегущей волны, так и режим суперпозиции встречных волн, частным случаем которого является стоячая волна. Для установления в кольце стоячей волны необходимо подобрать начальные условия. В более общем случае обратная связь, превращающая волновод в резонатор, обязана своим происхождением различного рода неоднородностям — стенкам, зеркалам, на которых бегущая волна достаточно сильно или полностью отражается, передавая энергию встречной волне. Примером могут служить оптический резонатор Фабри-Перо и линия передачи, закороченная или разомкнутая на концах. Решение при этом представляется в виде суперпозиции встречных [c.82]

Пользуясь принципом суперпозиции, можно записать решение системы (24.1) при одиородн 1х граничных и начальных условиях и произвольной правой части Q с помощью так называемых фундаментальных решений (функций влияния), соответствующих единичным импульсам. Фундаментальными называются решения Уог (/, л , у у г, т, 5, Цу О, удовлетворяющие уравнениям (24.1) при правых частях [c.125]

При выводе и анализе формул Френеля можно не учитывать временные множители векторов напряженности электрического и магнитного полей и формулировать граничные условия для соответствующих проекций амплитуд векторов Е и Н, учитывающих начальные фазы колебаний. Неполяризованный свет будем рассматривать по-прежнему как сумму двух плоских волн, распространяющихся в одном направлении с одной фазовой скоростью и, но поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях, причем фазы этих двух колебаний никак не скоррелированы. Таким способом можно моделировать хаотическую суперпозицию различных эллиптически поляризованных электромагнитных волн, обусловленную реальными условиями возбуждения световых волн. [c.82]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...