Суперпозиция стоячих волн

В твердом теле атомы при любой температуре, включая U К, непрерывно совершают колебания около их среднего положения равновесия. При небольших амплитудах такие колеба ния можно считать гармоническими. С повышением температуры амплитуды и энергии этих колебаний увеличиваются. Так как атомы в твердом теле сильно связаны друг с другом, то возбуждение колебаний одного из атомов передается ближайшим атомам, которые, в свою очередь, передают это возбуждение своим соседям и т. д. Этот процесс подобен процессу распространения звуковых волн в твердом теле. Все возможные колебания сильно связанных между собой атомов можно представить как совокупность взаимодействующих упругих волн различной длины, распространяющихся по всему объему кристалла. Так как твердое тело ограничено по размерам, то при данной температуре устанавливается стационарное состояние колебаний, представляющее собой суперпозицию стоячих волн (поверхность твердого тела для звуковых волн является узловой). [c.141]

Собственные колебания пластин связаны с образованием двумерных стоячих волн, представляющих собой суперпозицию стоячих волн, устанавливающихся в направлении осей х и г/ (рис. 12.26). При этом узловые линин нередко принимают довольно сложную форму. Их можно наблюдать на следующем опыте. [c.385]

Более исследованным является вопрос о стоячих волнах конечной амплитуды. Поскольку для волн конечной амплитуды не выполняется принцип суперпозиции, стоячую волну нельзя уже рассматривать как наложение прямой и отраженной волн. Возможно несколько различных постановок задач о стоячих волнах конечной амплитуды. [c.85]

Рассмотрим случай ограниченной области. Как известно 196, 331, 373, 426, 471 и др.], решение однородной системы (3.14) с однородными граничными и неоднородными начальными условиями представляет собой суперпозицию стоячих волн, которые являются собственными функциями однородной краевой задачи для однородной системы (3.13). Решение неоднородной краевой задачи для неоднородной системы (3.13), как известно [203—205, 373], существует для со, не равного собственным числам однородной краевой задачи для однородной системы (3.13). [c.67]

В главах 1—3 были рассмотрены замкнутые системы, т. е. системы, заключенные в определенные границы, причем энергия системы локализована в этих границах. Было показано, что свободные колебания замкнутой системы могут быть представлены суперпозицией стоячих волн или мод и что установившиеся вынужденные колебания могут быть описаны суперпозицией стоячих волн, которые представляют собой вклады от каждой моды. Характер входящих в суперпозицию мод определяется граничными условиями. [c.149]

Эта запись представляет собой суперпозицию двух бегущих в разных направлениях волн, имеющих различные амплитуды и начальные фазы. Например, волна, определяемая уравнением (32), записана как суперпозиция бегущих волн, однако она может быть с таким же успехом представлена как суперпозиция стоячих волн. У вас будет возможность доказать это (задача 5.20). Рассмотрим несколько примеров на отражение волн. [c.223]

Покажите, что эта синусоидальная волна эквивалентна суперпозиции стоячих волн вида [c.242]

Предположим, что на стенках полости функция V обращается в нуль. Тогда (а также и при других граничных условиях) по теореме Фурье функция У г, О может быть представлена суперпозицией стоячих волн. Координатные осй X, V, I направим параллельно ребрам кубической полости. Так как граничные условия должны удовлетворяться на гранях х = О, у = О, г = О и на параллельных им гранях полости, то каждая стоячая волна должна представляться функцией с разделяющимися переменными, т, е. [c.693]

Легко видеть, что 5 = -f 2 есть суперпозиция стоячей волны, описываемой формулой (5.15), и бегущей волны [c.159]

В этой записи волна представлена в виде суперпозиции стоячей волны и волны, бегущей в положительном направлении. Это не значит, однако, что энергия в волне также переносится в положительном направлении. В самом деле, ту же волну можно представить как суперпозицию стоячей волны и волны, бегущей в отрицательном направлении [c.203]

Если представить теперь отклонение и(аг, в виде суперпозиции стоячих волн [c.68]

Описанные стоячие волны назьшаются собственными колебаниями струны. Произвольное возмущение струны, удовлетворяющее граничным условиям (42.14), может быть представлено как суперпозиция стоячих волн вида (42.18) [c.139]

В первом приближении моды резонатора типа Фабри — Перо можно представить себе как суперпозицию двух плоских электромагнитных волн, распространяющихся в противоположных направлениях вдоль оси резонатора. При таком допущении нетрудно получить резонансные частоты, если наложить условие, что длина резонатора L должна быть равной целому числу полуволн, т. е. Т = т(/./2), где т=1, 2,. . . . Такое условие необходимо для того, чтобы на обоих зеркалах электрическое поле электромагнитной стоячей волны было равным нулю. Поэтому резонансные частоты равны т = = т(с/2Т). Разность частот, соответствующих двум последовательным модам, равна Ат = с/2Т. Эти две моды отличаются одна от другой распределением поля вдоль оси резонатора (т. е. в продольном направлении). Поэтому такие моды называют продольными. Кроме продольных мод в резонаторе осуществляются и поперечные моды, которые дают распределение поля в плоскости, перпендикулярной к оси резонатора. [c.281]

Прогрессивная волна может распространяться как слева направо (соотношение (3.1а)), так и справа налево. В физическом отношении эти случаи совершенно эквивалентны (ибо процесс не должен зависеть от того, в какую сторону мы условимся считать направление оси X положительным). Для прогрессивной волны, бегущей справа налево, уравнение имеет вид h = asm (kx + со/). Теперь очевидно, что стоячую волну можно получить просто как суперпозицию (наложение) двух встречных прогрессивных волн. Поэтому далее будем рассматривать лишь прогрессивные волны. [c.128]

Каноническое дискретное представление (2.10) можно истолковать как соответствующее колебания м системы в виде суперпозиции двух стоячих волн. Такое представление не является единственным возможно, например, дискретное представление в виде суперпозиции двух бегущих в противоположных окружных направлениях волн [c.29]

НЛП в виде суперпозиции стоячей и бегущей волн [c.29]

Полученные представления для нормальных волн (1.7) являются инвариантными по отношению к замене величины на —Это означает, что для каждой нормальной волны, бегущей в положительном направлении оси 0. , есть двойник — нормальная волна, бегущая в отрицательном направлении. Суперпозиция таких двух волн, взятых с одинаковой амплитудой, дает стоячую волну, которую можно рассматривать как собственную форму колебаний слоя. [c.113]

Для р-поляризованного излучения и в пределе Im 82 -> 0 поле внутри МИС представимо в виде суперпозиции стоячей и бегущей вглубь зеркала волн [c.94]

До сих пор рассматривалось распространение волн в среде без препятствий. В среде с препятствиями возможны отражения, образование стоячих волн. Законы отражения акустических волн малой амплитуды, как известно, являются следствием принципа Гюйгенса, который, в свою очередь, основывается на принципе суперпозиции волн. Поскольку для волн конечной амплитуды принцип суперпозиции не выполняется, можно предполагать, что волны конечной амплитуды будут иметь некоторые особенности при отражении от препятствий, и законы отражения для них должны быть в некоторой мере уточнены. В качестве примера можно качественно рассмотреть нормальное отражение цуга пилообразной волны от абсолютно мягкой (свободной) границы. В слзгчае волн малой амплитуды, как известно, на границе происходит изменение фазы давления на 180°, т. е. волна давления превращается в волну разрежения. Скачок давления в пилообразной волне при таком отражении должен перейти в скачок разрежения, а эта форма волны является неустойчивой, и в процессе дальнейшего распространения, как показывают экспериментальные работы [19, 20], волна изменяется так, что скачок разрежения все более и более сглаживается. [c.84]

Моды излучения. В стационарном режиме излучения лазера в его оптическом резонаторе, по определению стационарности, должны образоваться стоячие волны. В самом общем виде стоячая волна может быть представлена как суперпозиция элементарных стоячих волн, называемых модами колебаний. Излучение лазера, соответствующее этим модам колебаний, называют модами излучения лазера. [c.315]

Заметим, что условия (53.5) получены не как запись граничных условий, которые всегда необходимы для получения решения задачи, сформулированной в виде дифференциальных уравнений. Они получены как следствие более общего физического, а не математического требования (53.4) цикличности волнового поля, что весьма существенно, посколы это требование в явном виде содержит предположение об образовании стоячих волн как результата суперпозиции бегущих волн. [c.316]

Цилиндрический резонатор со сферическими зеркалами. Для стоячих волн в этом резонаторе поверхности зеркал являются поверхностями одинаковой фазы. Другими словами, волновой фронт изменяется вдоль ош Z и на зеркалах совпадает с поверхностно зеркал (рис 282). При равных радиусах кривизны зеркал в середине резонатора волновой фронт плоский. Стоячую волну, как обычно, можно себе представить как суперпозицию двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях. За один цикл, в течение которого волна дважды отражается от зеркал и дважды проходит через резонатор, все характеристики каждой из волн — отраженной и прошедшей — должны возвратиться к своим исходным значениям. Расчет показывает, что условие цикличности для отраженных волн имеет вид [c.318]

Каждая мода колебания на грани аЬ, изображаемая членом вида Втп os k x os k y, может быть представлена в виде суперпозиции двух систем стоячих волн, направление которых составляет углы а и Р с осями X иу (см. 6,11). Поскольку стенки трубы абсолютно жесткие, можно представить систему стоячих волн продолженной за пределы сторон прямоугольника аЬ за счет бесконечного числа отражений от граней. Тогда вся плоскость z = 0 окажется покрытой двойной системой стоячих волн (рис. 34), [c.129]

Каждая волновая мода (т,п), состоящая из двух стоячих волн на плоскости г = 0, создаст, таким образом, в трубе четыре спектра волны, соответствующие этим спектрам, составляют углы 7 с осью г (см. формулу (6,18)). Именно таким образом мы можем интерпретировать четыре плоских волны (пучок из четырех лучей ), о наличии которых уже сделано заключение ранее. В более сложных случаях, когда на грани г = 0 возникает ряд мод колебаний, волновой процесс в трубе состоит из суперпозиции аналогичных четверных пучков плоских волн с различными наклонами к оси г и осям х и у. [c.131]

Свойство решений, выражаемое формулой (24), известно как принцип суперпозиции и математически описывает явление интерференции волн малой амплитуды (пример стоячая волна на струне музыкального инструмента, которая представляет собой суперпозицию волн, распространяющихся к Закрепленному концу струны, и волн, отраженных от этого конца). О волновом уравнении, допускающем принцип суперпозиций (уравнение (23)), говорят как о линейном, а его решение (решение (24)) называют линейной волной. Подчеркнем, что скорость линейной волны не зависит от ее амплитуды. (Обязательно найдите время вспомнить линейные колебания, вернувшись к главе 2.) [c.164]

I ругая трактовка равновесного излу-иения, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля и применить к ним методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковский осциллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром а ее стенки — зеркальные. Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны различных частот. Полное поле можно представить как суперпозицию таких стоячих волн, и в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзаимодействующих гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от ы до о)-1-с]а). Как и в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн. Пусть направление во ны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, р и V с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн [c.435]

Таким образом, физическое требование состоит в том, что волновая функция должна быть нормирована и, следовательно, регулярна в начале координат. Этого можно достичь, взяв волновую функцию в виде стоячей волны вместо бегущей волны. Стоячая волна представляет собой суперпозицию расходящейся и сходящейся сферических волн. Однако сходящаяся сферическая волна представляет собой нефизический объект. Поэтому мы должны сложить стоячие волны с различными энергиями, чтобы сходящаяся сферическая волна исчезла. Тогда результирующая волновая функция будет регулярна в начале координат и, в то же время, содержать на бесконечности только расходящиеся волны. [c.181]

ПОЯСНИТЬ существо дела, обратимся к формулам (13.6.6), которые сохраняют для стержня примерно такую же структуру. В результате суперпозиции волн, идуш их в прямом и обратном направлении, получаются стоячие волны, т. е. решение типа [c.449]

Стекло — эпоксид стеклоэпоксидный композит) 33, 73, 119, 120, 188, 236, 426. 427 Стоячие волны 391, 392 Суперпозиции интеграл 106 [c.556]

В общем случае Qx =Qp, У.ф п12. Вынужденные колебания системы можно представить как суперпозицию линейного колебательного движения массы е частотой ы и ее кругового перемещения с той же частотой. Это простейший аналог колебаний поворотно-симметричноД системы с суперпозицией стоячих и бегущих волн. [c.27]

В наиболее общем случае начальных условий поворотно-симметричная система способна соверщать свободные колебания с двукратной собственной частотой, которые могут трактоваться как одновременная суперпозиция колебаний в виде стоячей и бегущей волн [дискретное представление (2.12)]. В зависимости от коикретных начальных условий свободные колебания поворот-но-симметричной системы, соверщающиеся с двукратной собственной частотой, могут приобретать вид стоячих волн, бегущих волн, а также суперпозиции тех я других. [c.31]

Интерференция волн. Стоячие волны. Волновые движения малой амплитуды (масштаб малости определяется конкретными физ. условиями) удовлетворяют суперпозиции принцниу две пли более В. создают поле, равное сумме их полей. Математически это означает, что такие поля описываются линейными ур-ниями [напр., ур-ниями (2) и (. 5)1, и если им удовлетворяют поля отд. В., то будет удовлетворять и их сумма (суперпозиция) такие В. также наз. линейным и. Важный частный случад — суперпозиция гармонич. 94 0 одинаковых частот (такие В. относятся к когерент-318 Еым). В тех точках пространства, где поля этих В. колеб- [c.318]

Весьма сложными иоляризац, свойствами обладают пространственно неоднородные волны, к-рые в принципе можно рассматривать как суперпозицию однородных плоских волн (см. Волновод). При этом характер поляризации векторов Б и Н часто оказывается различным. Так, если в бегущих вдоль оси х волнах типа ТМ поле Н ориентировано в поперечной к к плоскости (Я1 к), а поле В образует эллипс поляризации в плоскости (Е, к), то в волнах типа ТЕ данное свойство видоизменяется (Е - Н, Н — Е). Для чисто стоячих волн приходится всегда указывать, относительно какого направления ориентированы эллипсы поляризации. [c.65]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Волна, описываемая формулой (2.21), является суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях. В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении полны. В простейшем случае получается стоячая волна, а в общем случае — сложное элек ромагнитное поле, которое требует специального нзуч(ения.. [c.19]

Стоячие волны. Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн одинаковой частоты, распространяющихся навстречу друг другу. Будем считать, что векторы напряженности электрическогб поля в этих волнах коллинеарны и колёблются с одинаковой амплитудой. По-прежнему ось Z располагаем по направлению распространения волны, а ось X—кол-линеарно направлению векторов Ё волн. Имеем [c.35]

Аксиальные (продольные) моды. Моды характеризуются набором чисел гпх-, ту, т ). Главной называется мода (О, О, т ). Она не имеет узлов в плоскости, перпендикулярной оси Z и описывает стоячую волну, являющуюся суперпозицией встречных бегущих волн, распространяющихся параллельно оси Z. Вне резонатора ей соответствует волна, распространяющаяся параллельно оси лазера. В теорш волноводов эта мода называется поперечной электромагнитной модой и обозначается TEMoomz. Из (53.3) с учетом (53.5) для частот излучения этой моды получаем выражение [c.316]

Однако могут быть волны более сложного характера, являюгциеся суперпозицией стоячей и бегущей волны, тогда наличие бегущей компоненты делает невозможным обращение поля в нуль в тех или иных стационарных точках. Такие волны возникают, например, в тех случаях, когда имеется разное поглощение в разных точках, и в волне происходит перераспределение запасенной энергии. Нетрудно понять, что именно это происходит в пучке при комплексном Ь. Действительно, такой пучок, как показано выгае, тесно связан с наличием в резонаторе гауссовой диафрагмы, в которой поглощение на ее периферии более интенсивно, чем в центре. Поэтому необходимо перераспределение энергии в поперечном направлении, что и приводит к бегущей составляющей в функции параболического цилиндра и исчезновению стационарных нулей в поперечном распределении. Разумеется, сказанное следует понимать с учетом того, что волна не просто синусоидальная или косинусоидальная, а описывается функциями параболического цилиндра, и это несколько усложняет картину. [c.63]

Обсудим, насколько правомер1Ю использовать в энергетических расчетах предположение о равномерном распределении плотности генерируемого излучения по длине резонатора. В общем случае поле между зеркалами резонатора лазера представляет собой суперпозицию двух бегущих навстречу друг другу волн с разной амплитудой, отражаемых от зеркал. Мы пе будем здесь останавливаться па эффектах, связанных с микроскопической , т. е. сравнимой с длиной волны, неодгюродностью распределения поля, обусловленной появлением стоячих волн в резонаторе, а также связанных с неполным заполнением резонатора активной средой. Эти неоднородности ВЛИЯЮТ, в основном, на спектральный состав излучения (см. гл. 5). Нас будет интересовать влияние макронеоднородности распределения поля, возникающей благодаря отличию от единицы коэффициента отражения одного из зеркал (выходного) резонатора [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...