Дифференциальное уравнение Лиувилля

Перейдем к изучению инвариантов систем канонических уравнений Гамильтона, получающихся интегрированием по объему фазового пространства. Сначала докажем теорему Лиувилля об интегральном инварианте произвольной системы дифференциальных уравнений. Пусть движение точки пространства Л переменных х, .., ,Хт задано с помощью следующей системы дифференциальных уравнений [c.668]

В теории дифференциальных уравнений доказывается следующая формула Лиувилля [c.233]

Дифференциальные уравнения ДВИЖЕНИЯ, Мы будем рассматривать здесь один из тех случаев, когда благодаря некоторым частным предположениям (которые можно оправдать на основании физических соображений) удается указать для уравнений движения тяжелого твердого тела, закрепленного в одной точке, существование еще одного первого интеграла и, следовательно, на основании теоремы Лиувилля, упомянутой в п. 24, привести задачу к квадратурам. [c.111]

Теорема Лиувилля. Для уравнений Гамильтона дивергенция поля А равна нулю. Отсюда следует (см. 21.8, п. 3), что объем протяженность) фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого дифференциальными уравнениями. Иными словами, фазовая жидкость несжимаема . В этом состоит известная теорема Лиувилля, играющая важнейшую роль в кинетической теории газов. Как известно, множителями системы являются ее пространственные интегралы, они удовлетворяют условию [c.439]

Решение дифференциального уравнения (10-2-11) при условиях (10-2-12) — (10-2-13) можно получить методом разделения переменных, используя свойства задачи Штурма—Лиувилля оно имеет следующий вид [c.468]

Практическая реализация такого подхода усложнена необходимостью искать разложение функций / (Zi) и (г ) по неортогональной системе частных решений. Если обратиться к истории вопроса, то в связи с этой задачей можно проследить довольно типичную ситуацию во взаимоотношении математики и физики. Рассуждения в рамках физических аналогий (струна, мембрана, стержень) служили достаточно убедительным основанием для надежд на разрешимость задачи о таком представлении. Однако математического обоснования ее разрешимости до последнего времени не существовало. Возникающие здесь математические вопросы послужили стимулом к развитию некоторых новых по сравнению с классической проблемой Штурма — Лиувилля направлений в теории краевых задач и дифференциальных уравнений. Их характерные аспекты отражены, например, в обзоре Воровича [25]. Все же отметим, что, несмотря на большое число исследований, ряд практически важных вопросов данной проблемы остается не выясненным. В частности, еще не решен вопрос об оценке поведения коэффициентов разложения в зависимости от дифференциальных свойств разлагаемых функций. [c.159]

Для анализа собственных изгибных и крутильных колебаний лопасти потребуются результаты теории Штурма — Лиувилля. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида Ly + %Ry — где L —линейный дифференциальный оператор [c.351]

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18]

Здесь ttk — искомые постоянные, y uk,x) и Uk соответственно система собственных функций и собственных чисел осесимметричной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка на конечном интервале [c.28]

Поскольку уравнение Лиувилля является дифференциальным уравнением по времени, самого уравнения недостаточно для нахождения частного решения, соответствующего заданному ансамблю. Поэтому требуется сформулировать начальное (или граничное) условие, отбирающее нужное решение уравнения Лиувилля. [c.52]

Изложенный формализм находит многочисленные применения в задачах квантовой механики и статистической физики [4, 31, 104]. В теории неравновесных процессов он дает возможность преобразовать квантовое уравнение Лиувилля или основные кинетические уравнения в дифференциальные уравнения для символов матриц плотности. Во многих случаях решать эти дифференциальные уравнения проще, чем иметь дело с исходными операторными уравнениями. [c.149]

Эквивалентность понимается в следующем смысле. Если известно общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений д = Q[q, т), где q — начальные условия, то решение уравнения Лиувилля есть [c.220]

Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301]

Обратимся к уравнению на собственные значения для функции Вигнера, которое превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение благодаря симметрии, накладываемой классическим уравнением Лиувилля. С помощью соотнощений [c.110]

Теперь нашей основной задачей является определение функции Грина ). Этот вопрос сам по себе может представить интерес для исследований. Но мы ограничимся двумя специальными случаями случаем, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны, и случаем, когда мы имеем самосопряженное дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля. [c.22]

Дифференциальное уравнение Штурма —Лиувилля уравнение Ш — Л). В соответствии с ортогональным характером решений однородного уравнения Ш—Л, следующего из формулы (1.8), попытаемся теперь решить [c.24]

Теорема Лиувилля. Как показал Лиувилль, имеется общий случай, в котором дифференциальные уравнения Лагранжа можно проинтегрировать (точнее говоря, можно привести к квадратурам). [c.46]

Теперь понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл, и приходится рассматривать уравнение в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи,. которое в этом случае играет роль стохастического уравнепия Лиувилля и называется уравнением Хопфа (см., например [29]). Усредняя последнее по ансамблю реализаций стохастических параметров, получаем замкнутое уравнение в вариационных производных. Полученное уравнение для характеристического функционала представляет собой бесконечномерный аналог уравнений, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям и квазилинейным уравнениям в частных производных. Если же исходное уравнение само является линейным, то несущественно, какие у него производные (первого или более высокого порядка по пространственным переменным) важно лишь выполнение условия причинности (т. е. уравнение должно быть первого порядка по времени и для него должна ставиться задача Коши). Если условие причинности нарушается, т. е. мы имеем не задачу Коши, а краевую задачу, то в этом случае надо воспользоваться теорией инвариантного погружения, сводящей краевые задачи к задачам Коши для вспомогательных уравнений. [c.164]

Функция / (z) будет голоморфной в нижней полуплоскости, действительная часть этой функции равна нулю вдоль действительной оси Ох, Следовательно, функция / ( ) может быть аналитически продолжена в верхнюю полуплоскость на всей плоскости комплексного переменного z функция / z) будет голоморфной. Если теперь наложить на искомый поток с характеристической функцией т ) требование ограниченности этой функции и ее двух первых производных на всей плоскости переменного z, то по теореме Лиувилля функция / z) будет приводиться к некоторой постоянной величине С, Таким образом, выражение (6) приводит к следующему дифференциальному уравнению для определения искомой характеристической функции потока [c.276]

Теперь ясно, как решать дифференциальное уравнение Штурма—Лиувилля если f = то решение и представимо в виде ряда [c.17]

Если для системы обыкновенных дифференциальных уравнений бесконечно удаленная точка является регулярной особой точкой, то решения могут быть получены в виде сходящихся рядов по обратным степеням координаты исключение составляют лишь некоторые случаи задач с регулярной особой точкой, в которых одно из решений может содержать логарифм координаты. В данной главе нас будут интересовать случаи с нерегулярной особенностью, когда решение должно быть представлено асимптотическим разложением. При получении возмущений по параметру последний может быть малым или большим, причем первый случай охватывает также случай с медленно меняющимися коэффициентами. В этих случаях разложения получаются с помощью преобразования Лиувилля—Грина (ВКВ) и его обобщений. Получающиеся разложения являются пригодными всюду, за исключением некоторых точек, называемых точками возврата, или переходными точками. Разложения, пригодные всюду, включая и точки возврата, получаются с помощью преобразования Лангера и его обобщений. [c.329]

Метод Лиувилля приведения произвольной системы диффер-н-циальных уравнений к канонической форме. Даны обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка вида [c.429]

Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмита являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно установить соответствие между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место В квантовой теории между матричной механикой и долновон механикой. [c.175]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуаций состоит во введении в уравнения переноса случайных источников , описывающих тепловой шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциальными уравнениями а их решения описывают не только регулярное (усредненное) движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-гласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим, однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических уравнений по своей сути является феноменологическим и его применимость необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных функций флуктуаций. Поэтому представляет интерес построение стохастических гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63). [c.237]

Группа я = Q(g, т) в этом случае называется группой симметрий дифференциальной системы д1сИ = К д). Или, говоря иначе дифференциальная система допускает группу. Если уравнения преобразованиями группы симметрий не изменяются, то это означает, что любые рещения этих уравнений группой симметрий переводятся в решения этих же уравнений. Этот факт может служить другим определением группы симметрий. При этом для эквивалентного дифференциальной системе с1д/сИ = К(д) уравнения Лиувилля дР/д1 = АР имеет место следующее. Если Р[д, г) — решение [c.230]

Такое сведение можно сделать, например, в задаче С. В. Ковалевской, в задаче двух центров, в системах Лиувилля (гл. IX). Приведение системы дифференциальных, уравнений (1) к виду ф1 = LJi, ф2 = UJ2, i 2 = onst, выполненное е 1, фактически является эффективным способом введения переменных угол . [c.171]

Первое уравнение играет роль уравнения Шрёдингера для собственных значений энергии. Так как это дифференциальное уравнение в частных производных в фазовом пространстве, оно зависит от двух переменных. Кроме того, потенциальная энергия входит в уравнение довольно сложным образом, внося зависимость от комбинаций координаты и производной по импульсу. Второе уравнение — это стационарное уравнение Лиувилля. Любопытно, что оба уравнения содержат либо сумму, либо разность значений потенциала, вычисленного для таких комбинаций. [c.116]

Целый ряд нелинейных дифференциальных уравнений типа рассматриваемых в этой книге допускает непосредственную геометрическую интерпретацию. В частности, в таком виде можно переформулировать уравнения Гаусса, Петерсона—Кодацци н Риччи и, таким образом, через их репшния выразить компоненты метрического тензора, векторов кручения и тензоров вторых квадратичных форм двумерных минимальных поверхностей. В целом данная интерпретация связана с внутренней геометрией поверхностей в евклидовом, псевдоевклидовом или аффинном пространствах (минимальные поверхности и двумерные поверхности постоянной кривизны). Простейшие из этих уравнений (в частности, уравнения Лиувилля, синус-Гордона и Лунда — Редже) впервые возникли именно в задачах дифференциальной геометрии. [c.9]

Теорема 25.1 (Ж . Лиувилль). Пусть правые части системы обыкиовеппых дифференциальных уравнений [c.132]

Таким образом, мы получили как следствие уравнения Лиувилля (т. е. уравнений механики) цепочку зацепляющихся через интегральный член линейных-дифференциальных в левых своих частях уравнений для послепредельных в статистическом смысле функций распределения Р, 2, и т.д., [c.299]

Существенной чертой уравнений в вариационных производных для характеристического функционала является их линейность. При этом задача вероятностного описания нелинейных распределенных динамических систем сводится к решению линейных, но на классе уравнений большей размерности. Аналогичная ситуация имеет место при анализе нелинейных динамических систем, описываемых обыкновенньти дифференциальными уравнениями. Их статистический анализ, как мы видели, может быть проведен в рамках стохастических уравнений Лиувилля, т. е. линейных уравнений в частных производных. Следует, однако, сказать, что математические средства (функциональный аппарат) решений уравнений в вариационных производных развиты цока недостаточно. [c.148]

Уравнение Лиувилля есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно (р.Я) зависящее от 2п 6М переменных (/ ,, дг), причем коэффициенты его суть известные функции этих переменных, определяемые функцией Гамильтона системы Н р, д). Характеристики этого уравнения определяются системой 2п обыкновенных дифференниальных уравнений первого порядка [c.21]

Ранее, при рассмотрении уравнений КдВ, Лиувилля и других обсуждалась связь типа интегрируемости с разм ерностью алгебры продолженных структур и с наличием спектрального параметра в преобразованиях Беклунда и в —< -парах. Точнее говоря, в предыдущих случаях именно наличие спектрального параметра и обеспечивало бесконеч-номерность алгебры, т. к. он играл роль параметра, непосредственно задающего градуировку в алгебре Каца — Муди. В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алх ебру. Поясним это на примере преобразования Нейгебауера [c.58]

А. Ю. Ишлинский (1946) рассмотрел вопрос о разрушении вязко-упругих материалов. Существенное обобщение дифференциальных законов вязкоупругости принадежит А. Н. Герасимову (1948), который предложил использовать для описания вязко-упругих свойств вместо обычных производных производные дробного порядка в смысле Лиувилля. Обращение подобных соотношений приводит к интегральным уравнениям со слабо-сингулярным ядром Абеля. Эта идея сыграла большую роль в дальнейшем развитии теории. [c.149]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...