Группы преобразований симметрии

Группа преобразований симметрии [c.123]

Группы преобразований симметрии 121 [c.311]

Как отмечалось в работе [7], симметрия уравнений обеспечивает симметрию решений лишь в том случае, когда решение единственное. Если решений больше одного, то симметрия уравнений обеспечивает лишь наличие группы преобразований симметрии, переводящих решения друг в друга. В зависимости от начальных условий система может выбрать одно из них и тем самым стать несимметричной. [c.448]

Величины aiJ — это элементы матрицы, которая представляет собой тензор электропроводности кристалла. Если известна группа преобразований симметрии, оставляющих кристалл инвариантным, то эта группа преобразований также должна оставлять тензор электропроводности инвариантным таким образом, мы получаем определенную информацию о свойствах тензора электропроводности. Для получения наиболее полной информации можно пользоваться всеми преобразованиями точечной группы. [c.22]

Как было указано раньше, группа преобразований симметрии, переводящих куб в себя, содержит 48 элементов. Выделим подгруппу собственных вращений (включая тождественное преобразование), содержащую 24 элемента. Помимо этих преобразований группа куба содержит элементы, каждый из которых можно представить как произведение собственного вращения на инверсию, но нам эти преобразования не понадобятся. Группа всех преобразований симметрии куба обозначается символом Он, подгруппу собственных вращений обычно обозначают просто как О. Таблица характеров [c.46]

Здесь а , ад — три некомпланарных вектора, а 1, 1 , — целые числа. Для большинства фактически интересных кристаллов следует учитывать наличие точечной группы преобразований симметрии — поворотов, отражений или инверсии, переводящих систему саму в себя. Таким образом, основной математический язык физики идеальных кристаллов есть язык теории конечных групп. [c.14]

В основе SU (6)-симметрии лежит предположение об отсутствии в мире элементарных частиц спин-орбитального взаимодействия. В этом случае кварк должен характеризоваться уже не тремя, а шестью степенями свободы. SU (6)-симметрия — это симметрия относительно группы преобразований в шести измерениях. SU (б)-симметрия позволяет получить дополнительные результаты по сравнению с SU (3)-симметрией. В частности, она предсказывает связь между магнитными моментами нуклонов [c.326]

Точечную группу (класс) симметрии кристаллической решетки можно определить как совокупность операций симметрии, т. е. симметричных преобразований, осуществленных относительно какой-нибудь точки решетки, в результате которых решетка совмещается сама с собой. К симметричным преобразованиям относится также зеркальное отражение относительно плоскости, проходящей через выбранную точку решетки. Эта плоскость называется плоскостью зеркального отражения. Операция симметрии, называемая инверсией, состоит из поворота на угол я и последующего отражения в плоскости, перпендикулярной к оси поворота. [c.53]

Далее в основном будет идти речь о преобразовании симметрии в кристалле. При этом стоит отметить, что многие закономерности симметрии кристаллов и ее использования в квантовой теории и других разделах физики твердого тела в наиболее общей форме описываются на основе одного из разделов математики — теории абстрактных групп. [c.125]

Сравнение преобразований симметрии и свойств их взаимного сочетания с элементами абстрактных групп и их композициями показало, что многие характеристики преобразований симметрии могут быть описаны на языке теории абстрактных групп. Теоретико-групповой анализ преобразований симметрии позволяет не только наиболее компактно их описывать, но и широко используется в последнее время для классификации электронных состояний, колебательных уровней и т. д. В связи с этим в следующем параграфе излагаются наиболее важные элементы теории абстрактных групп. [c.130]

Найдем в качестве примера матрицы преобразований симметрии, матричные представления и характеры групп Се и Оз, свойства которых описаны в начале данного параграфа. [c.136]

Для определения множества преобразований симметрии, отвечающих подобным пространственным группам, необходимо перемножить преобразования симметрии точечных и трансляционных групп. При этом могут появиться и дополнительные элементы симметрии. Анализ показал, что число полученных таким образом пространственных групп равно 73. При получении этих групп было также учтено, что в тетрагональной, гексагональной и ромбической системах возможно несколько способов совместимого взаимного расположения элементов точечной и трансляционной симметрий. [c.151]

Если все преобразования симметрии голоэдрии записать в виде матриц в осн. репере решётки, то получим конечную группу целочисленных унимодулярных матриц — арифметич. голоэдрию. Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их арифметич. голоэдрии целочисленно эквивалентны. [c.227]

Подобным же образом вводится понятие К. и. для более сложных пространств внутренних симметрий, напр, для пространства изотопического спина, пространства цвета в квантовой хромо динамике. К, и. в этом случае означает, что ур-ния, описывающие динамику рассматриваемой физ. системы, не меняются при переходе от нолей i )(a ), реализующих пек-рое представление простой компактной группы внутренней симметрии G (поля материи), и калибровочных полей Ак полям 1 ( с), A z), получающимся из исходных с помощью калибровочного преобразования. [c.230]

Симметрия сильных взаимодействий. Характер С. в. в значит, мере определяется их свойствами симметрии. Под симметрией здесь донимается неизменность (инвариантность) состояния системы или закона её взаимодействия (точнее, инвариантность действия системы) при тех или иных преобразованиях, к-рые, с точки зрения их матем. структуры, характеризуются группой преобразований. Если действие системы инвариантно относительно нек-рых преобразований, а состояние системы не инвариантно, то говорят о спонтанном нарушении симметрии. Значение симметрии состоит в том, что она накладывает жёсткие требования на форму взаимодействия и состав частиц. В частности, симметрии лежит в основе классификации адронов. [c.499]

Группы Браве — основа теоретико-группового оп-родслсния типов Б. р. две решётки относятся к одному н тому же типу Браве, если их полные группы преобразований симметрии изоморфны. В скобках на рис. приведены стандартные символы соответствующих типов Б. р. В двумерном случав (в случае плоскости) имеется [c.227]

Упражнение 1.5.2. Показать, что кристаллы с решеткой типа К12 инвариантны к группе преобразований симм ии классов R D, и не обладают инвариантностью по отношшию к группе преобразований симметрии классов Т М, (табл. 2) 3 [c.122]

Итак, под симметрией системы мы всегда будем понимать инвариантность ее уравнений движения относительно некоторой совокупности преобразований. Всегда имеет место следующее важное свойство если уравнение инвариантно относительно преобразований А п В, то оно инвариантно также относительно преобразования С, представляющего результат последовательного применения преобразований Аж В. Преобразование С приняго называть произведением преобразований А и В. Таким образом, совокупность преобразований симметрии данной физической системы замкнута относительно определенной нами операции умножения. Такую совокупность преобразований называют группой преобразований симметрии рассматриваемой физической системы. [c.9]

Принцип Неймаиа утверждает, что если преобразование координат входит в группу преобразований симметрии рассматриваемого кристалла, то тензор коэффициентов диффузии остается при таком преобразовании инвариантным. В общем случае координаты тензора коэффициентов диффузии при переходе о старой системы координат Х1 к новой системе коор-дннат д ,- преобразуются следующим образом. Пусть Оу —компоненты тензора в новых координатах Х1. Тогда [c.31]

В 1964 г. Гюрсей, Радикати и Пайс предложили схему так называемой St/(6)-симметрии, в которой удается преодолеть эти трудности. В основу SJ7(6)-симметрии положено предположение о том, что в мире элементарных частиц очень мало спин-орби-тальное взаимодействие, т. е. что обычный спин не связан с обычным пространством. В этом случае в основу классификации надо класть частицу (например, кварк) уже не с тремя, а с шестью степенями свободы. Симметрия относительно группы преобразований в шести измерениях и будет (6)-симметрия. [c.694]

Под точечной группой симметрии понимают совокупность (множество) преобразований симметрии, сохраняюш,их неподвижной хотя бы одну точку. Этот тип симметрии реализуется, например, в непрерывно заполненных веществом конечных фигурах. Для определения всех точечных групп необходимо рассмотреть все возможные сочетания элементов симметрии. Для удобства разделим все точечные группы на семейства в зависимости от того, содержат ли они только одну ось симметрии или несколько, имеют ли они плоскость или центр симметрии [l]. [c.139]

Точечная группа с наибольшим числом преобразований симметрии называется голоэдрической, с пониженным — гемиэдриче-ской (иногда под гемиэдрией понимают уменьшение числа преобразований в два раза). Несводимы одна к другой лишь гексагональная и кубическая системы. [c.145]

Совокупность всех возможных преобразований симметрии кристаллической структуры называется пространственной, или федоровской, группой симметрии. Эти группы симметрии были выведены Е. С. Федоровым в 1890 г. и независимо чуть позже А. Шен-флисом за двадцать лет до экспериментального доказательства существования пространственной решетки кристалла. Различают два типа пространственных групп симметрии симморфные и не-симморфные. Симморфные группы возникают при размещении элементов симметрии точечных групп в узлах решетки Бравэ. Если обозначить федоровскую симморфную группу символом Фс, трансляционную — 7, точечную —/С, то между ними существуют следующие соотношения [c.151]

Сочетание точечных и трансляционных групп симметрии с преобразованиями симметрии типа плоскости скользящего отражения и винтовой оси приводит к появлению пространственных не-симморфных групп симметрии. Их число 157, и потому общее число федоровских пространственных групп 230. В международных обозначениях этих групп сначала указывается символ решетки Бравэ, затем порождающие элементы симметрии в трехпозиционном порядке, причем в необходимых случаях символы плоскостей и осей симметрии заменяются символами плоскостей скользящего отражения и винтовых осей, например PAijm m, 14], P3j21 и т. д. Последовательность указания позиций зависит от системы кристалла [24]. [c.152]

Пространственные группы симметрии определяют правильные системы точек, которые образуются из одной точки, находящейся в общем положении, т. е. не расположенной на элементе симметрии, приложением к ней всех преобразований симметрии данной группы. Точки n Tj эквивалентные по точечной группе, являются вершинами многогранника, называемого изогоном. [c.153]

I рода можно было бы, конечно, продолжить. Они существуют, например, и в жидкостях, где к таковым относится переход из -жидкой фазы в жидкокристаллическую. Характерные черты переходов II рода, наблюдающиеся во всех случаях, — непрерывность, -Я-образный характер температурных зависимостей вторых произ-гводных G, отсутствие температурных гистерезисов. Вследствие непрерывности этого перехода между симметрией более и менее симметричных фаз существует определенное соответствие пространственная группа одной из этих фаз должна быть подгруппой пространственной группы другой фазы (часть элементов симметрии исчезает при переходе в менее симметричную фазу). Доказана теорема о том, что фазовый переход II рода может существовать для всякого изменения структуры, связанного с уменьшением вдвое числа преобразований симметрии. При этом периоды элементарной ячейки могут меняться в несколько раз (2—4). [c.262]

Две решётки относятся к одному и тому же типу Браве, если их параллелепипеды Браве одинаковы и имеют одинаковую центрировку. На рис. представлены все типы Б. р., причём в одной строке расположены решётки с одинаковыми параллелепипедами Браве, а в одном столбце — решётки с одинаковым типом цонтри-ровок. Около каждого параллелепипеда Браве указан символ соответствующей группы Браве — полной совокупности преобразований симметрии соответствующей решётки. Имеется 14 абстрактно-неизоморфных таких групп (14 из 73 симморфных фёдоровских групп). [c.227]

Принципы И. играют фуидам. роль в построении физ. теорий и формулируются обычно как И. действия относительно преобразований групп симметрии. Чаще всего И. действия обеспечивается требованием И. лагранжиана, к-рое в значит, степени фиксирует его вид. Одыако встречаются ситуации, когда И. действия обеспечена тем, что преобразование симметрии меняет лагранжиан на полную производную, а не просто оставляет его инвариантным, [c.137]

Если действие остаётся инвариантным и при выпол-веиии над рассматриваемым полем нек-рых других, не входящих в группу Пуанкаре непрерывных преобразований симметрии — преобразований внутр. симмет-рий,— из теоремы Нётер следует тогда существование новых сохраняющихся динамич. величин. Так, часто принимают, что ф-ции поля комплексны, налагают на лагранжиан условие зрмитовости (см. Эрмитов оператор) и требуют инвариантности действия относительно глобального калибровочного преобразования (фаза а не зависит от х) а" (з ) е и (ж), (i )- -e- i (л ). Тогда оказывается (как следствие теоремы Нётер), что сохраняется заряд [c.301]

С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия Lint могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий 1) локальности взаимодействия, требующей, что бы Lintix) зависел от разл. полей и (л ) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца 3) ин-вариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрий, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными нолями сюда, в частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований. [c.302]

КИРАЛЬНЫЕ поля — поля, преобразующиеся по определ. представлению группы киральных преобразовании — преобразований симметрии, не коммутирующих с операцией отражения пространственных координат пространственной инверсии), т. е. не обладающих [c.367]

Лит. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982 Смит Я,, В е йи X.. Ферриты, пер. с англ., М., 1962. Ю. П. Ирхин. МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ — раздел симметрии кристаллов, учитывающий специфику их магнитных свойств, а именно в М. с. принимается во внимание симметрия уравнений движения по отношению к операции обращения времени Л, под действием к-рой координаты всех точек кристалла остаются неизменными, а скорости меняются на противоположные. Соответственно, под действием операции R средняя по времени микроскопическая плотность заряда р(х, у, z), описывающая обычную (электрическую) структуру кристалла, не меняется, и кроме р рассматривается микроскопическая средняя плотность магнитного момента т [х, у, z) [или, что эквивалентно, тока(гг, у, г)], меняющая знак под действием В. Группой магнитной симметрии кристалла называется множество преобразований (пространственных и комбинаций из R и пространственных преобразований), оставляющих инвариантными функции р х, I/, а) и ш (х, у, z). Если представить операцию Я как замену чёрного цвета на белый, то магнитные группы совпадают с шубпиковскими группами симметрии и антисимметрии. [c.661]

Если преобразования симметрии образуют не однопараметрич. группу, то между QA должны выполняться соотношения в скобках Пуассона, воспроизводящие Ли алгебру генераторов соответствующей группы. Так, напр., три компоненты момента должны удовлетворять соотношению в скобках Пуассона [c.340]

ОПЕРАЦИИ СИММЕТРИИ (преобразования симметрии) — пространств, преобразования объекта (кристалла), при к-рых он совмещается сам с собой. К О. с. относятся поворот вокруг оси симметрии, отражение от плоскости симметрии, инверсия относительно центра симметрии, зеркальный поворот вокруг оси симметрии, а также операции дискретных переносов — трансляций. Совокупность О. с. данпого объекта является его группой симметрии. Подробнее см. Симметрия кристаллов. [c.417]

Осн. характеристиками точечной группы (как н ПИ-группы) являются их неприводимые представления (см. Представление группы), наз. также типами симметрии, к-рые определяют свойства преобразования волновых ф-ций при операциях точечной группы. Типы симметрии обозначают буквами А, В, Е, F (или Т) с индексами 1,2,, ", g, и. Буквами А а В обозначают одномерные неприводимые представления, или невырожденные типы симметрии. Так, Аозначает, что волновая ф-ция типа Aig полноенмметричва относительно [c.516]

С. 3. тесно связаны со свойствами симметрии физ. систем. При этом симметрия понимается как инвариантность физ. законов относительно нек-рой группы преобразований входящих в них величин. Наличие симметрии приводит к тому, что для данной системы существует сохраняющаяся физ, величина (см. Нётер теорема). Т. о., если известны свойства симметрии системы, можно найти для неё законы сохранения, и наоборот. [c.602]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...