Производная в обычном смысле

Из сказанного ясно, что если f — регулярная функция, производная которой существует и непрерывна (или кусочно-непрерывна), то производная от нее как от обобщенной функции совпадает с ее производной в обычном смысле. [c.220]

Функция DPf в отличие от DPf называется производной в обычном смысле. [c.366]

ТО обобщенная производная / х) и производная в обычном смысле / (х) связаны между собой так [c.366]

В декартовых координатах ковариантные производные от компонент тензора первого ранга равны их частным производным в обычном смысле. В общем случае, как видно из формул (1.28), ковариантные производные являются комбинацией всех компонент тензора. [c.17]

Пусть Г — произвольный кусочно-гладкий контур, лежащий в G и ограничивающий область 6 г. Предположим сначала, что в Gr функция u t, х) имеет непрерывные первые производные и удовлетворяет уравнению (6.5) в обычном смысле. Интегрируя уравнение (6.5) по области Gv и применяя формулу Грина — Гаусса — Остроградского, получаем [c.150]

Что касается слагающих угловой скорости р, г, то необходимо еще раз подчеркнуть, что они не являются скоростями в обычном смысле, т. е. производными по времени от каких-либо пространственных координат. Мы можем по аналогии с выражением, употребленным на стр. 71, назвать их неголономными слагающими скорости . [c.188]

Причина вынесения производной за знак интеграла становится ясной, если посмотреть на функцию Bj i из (6.39). Порядок особенностей в функции Bj i равен 1/г для двумерных задач и 1/г для трехмерных, поэтому объемный интеграл существует в обычном смысле. Однако если дифференцировать под знаком интеграла (что допускается, так как интегрирование проводится по ), то возникающие при совпадении л и особенности будут порядка 1/г и 1// в дву- и трехмерном случаях соответственно и при этом объемный интеграл в формуле (6.40) теряет смысл. Поэтому, как показано в гл. 3, необходимо аналитически интегрировать (6.41) при х = I и затем вычислять производные. Это не является характерной особенностью непрямого представления, так как при вычислении внутренних напряжений, основанном на (6.40), возникали бы такие же трудности. Их можно преодолеть при помощи вычисления вкладов в поле смещений, даваемых объемными интегралами (6.39) и (6.40), и использования конечно-разностной аппроксимации уравнения (6.41) вблизи особенности. [c.172]

Здесь частные производные должны рассматриваться либо в обычном смысле, либо в смысле, определяемом свойствами б-функций, в зависимости от того, является ли переменная Fuv непрерывной или нет. Плотность распределения puv u,v) должна иметь единичный объем, т. е. [c.24]

Если функция / [х, у) лишь непрерывна, то формула (2) п. 5, вообще говоря, несправедлива, так как в этом случае функция Р (х, у) может не иметь частных производных по х и г/ в обычном смысле. Но можно обобщить понятие частных производных таким образом, чтобы функция Р (х, у) оставалась дифференцируемой и в этом случае. А именно, если понимать частные производные в смысле С. Л. Соболева, то в случае, когда функция / (х, у) лишь непрерывна, равенство (2) п. 5 имеет место почти всюду в 8. Более того, это равенство имеет место почти всюду в 8, если функция / (ж, у) лишь интегрируема по Лебегу. Доказательство этих результатов дано И. Н. Векуа [8]. [c.669]

От нормальной системы дифференциальных уравнений в обычном смысле слова система 30 уравнений (26) — (27) отличается тем, что в правые части входят значения неизвестных функций и их производных по т , как при общей системе значений т), так и при специальной системе значений = т) = = 0. Это обстоятельство, однако, не имеет существенного значения при постановке и решении проблем, аналогичных задаче Коши. [c.54]

Край складки — характеристика АС — не является предельной линией в обычном смысле слова, когда под этим понимается огибающая характеристик в физической плоскости, причем производные фи Фу терпят на ней разрыв. [c.276]

Известно, что если функция имеет бесконечный разрыв в некоторой внутренней или граничной точке интервала, но еще абсолютно интегрируема на этом интервале, то она может быть разложена на нем в ряд Фурье. Например, функция 1пл может быть разложена в ряд Фурье на интервале [—а, а]. Однако производная от пх уже не разлагается в классический ряд Фурье, ибо функция 1/л не интегрируема (в обычном смысле). [c.203]

Предположим, что и имеет k производных в обычном поточечном смысле, и оценим s-e производные от ы — Uj. [c.166]

ЭТО построение есть точный эквивалент аналитического процесса, посредством которого в теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка переходят от какого-либо полного решения к общему . [Оптика в том смысле, в каком мы ее здесь понимали, есть геометрическая оптика, которая имеет дело с понятием светового луча (следовательно, явления дифракции принципиально исключаются) и при применении обычных прямоугольных координат подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка второй степени [c.514]

И последнее замечание — относительно способа вывода дифференциальных уравнений в частных производных. В наиболее общей форме эти уравнения весьма громоздки, и основные физические законы, на основе которых они получены, часто затемняются алгебраической сложностью самих уравнений. Чтобы сделать вывод дифференциальных уравнений простым и ясным, мы проводим его для двумерного случая и одновременно пользуемся обычным приближением пограничного слоя. Затем мы обобщаем уравнения на трехмерный случай, устраняем приближение пограничного слоя и, наконец, записываем уравнения в векторной форме. При таком подходе все выводы становятся ясными и очевидными, и мы не только ничего не теряем, но и значительно выигрываем в смысле простоты алгебраических преобразований. [c.20]

Отсюда очевидно, что и химический потенциал <р фотонного газа будет равен нулю. Понятно, что определение химического потенциала в обычном виде (2-88), т. е. в виде производной потенциала по массе системы дФ/дЬ) . для фотонного газа, вообще говоря, лишено смысла. В этом случае химический потенциал целесообразно определить так, как это принято в химической термо- динамике,— в виде производной дФ/дЫ) . , где N — число частиц (в рассматриваемом случае — фотонов) в системе. [c.195]

Обычно ЭТО объясняется тем, что более низкая прочность реальных образцов обусловлена дефектами структуры. Но расхождение обусловлено уже самим фактом использования для агрегированной системы метода расчета прочности [62, 67], изначально построенного для однородных дисперсных систем. Таким образом, для дисперсных систем с фрактальной неоднородностью структуры логичным представляется, в первую очередь, учет влияния неоднородности структуры на физико —механические свойства, а уже затем дефектов, которые, в определенном смысле, являются производными от структуры. [c.48]

Однако сам термин элементарная частица потерял свой простой и наглядный смысл применительно к известным частицам материи, и вопрос о критерии элементарности до сих пор не решен. Возможно, что ныне известные частицы на самом деле не элементарны, а являются производными от ограниченного числа истинно элементарных частиц, а возможно, что каждая частица представляет собой конгломерат всех остальных частиц и концепция элементарности в обычном ее понимании становится неприменимой к миру мельчайших частиц материи. В связи с этим все чаше встречается термин фундаментальные частицы. [c.245]

АРОМАТИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ. В широком смысле к А. с. следует отнести все органич. соединения, обладающие т. н. ароматическим характером (под этим термином понимают совокупность химич. свойств, характерных для бензола и его производных), в том числе следовательно и многие гетероциклические соединения (см.) пиридин, тиофен и др. Обычно однако к А. с. относят лишь соединения, в молекуле к-рых находится особая группировка из шести углеродных атомов, простейший случай к-рой имеется в бензоле. Понимая А. с. в таком узком смысле, ароматический ряд называют также рядом производных бензола. Название ароматический этот ряд соединений получил потому, что среди первых исследованных представителей этой группы веществ многие имеют приятный запах. Хотя в настоящее время первоначальное значение этого названия утерялось, но все же это обозначение сохранено и до сих пор. Характерные отличия свойств А. с. от свойств жирного ряда (см. Жирные соединения) и алициклических (см. Алициклические соединения). [c.480]

Для конечных расстояний точки наблюдения от источника у(5) (о /з и, следовательно, М со /З . При таких значениях М показатель экспоненты в формуле (5.23) пропорционален 1/3-4 , и поэтому при б <1/12 функцию Р(г) нельзя, вообще говоря, считать функцией, медленно меняющейся в обычном для метода перевала смысле. Оценим вклад производных функции Р г) в поправочное слагаемое метода перевала. Так как по существу в интегралах т большим параметром является произведение (т + 1)0, поправочное слагаемое метода перевала, обусловленное функцией будет пропорционально произведению [c.374]

Вторая возможность состоит в том, что члены высшего порядка модуляционного приближения играют большую роль при ситуации, близкой к опрокидыванию, и препятствуют развитию многозначного решения. В общем случае легко убедиться (и это будет достаточно подробно показано в следующем параграфе), что за счет эффектов высшего порядка в уравнениях (15.2) и (15.3) обычно появляются дополнительные члены, содержащие производные третьего порядка. Внешне эти уравнения становятся подобными уравнениям Буссинеска и Кортевега — де Фриза. По аналогии можно ожидать, что опрокидывание подавляется этими дополнительными членами. Конечно, как и в случае волн на воде, дополнительные члены вводятся как малые поправки к крупномасштабным процессам и являются первыми членами бесконечного ряда высших производных. Было бы непоследовательно считать, что от них во всех случаях зависит, произойдет ли опрокидывание. Похоже на то, что это имеет место для малых симметричных модуляций, которые развиваются в серию уединенных волн, тогда как существенно асимметричные модуляции в некотором смысле опрокидываются. [c.501]

В вышеприведенном примере для обоих движений предполагалась одна и та же отсчетная конфигурация. Если бы мы в качестве отсчетной приняли текущую конфигурацию (как это обычно делают для жидкостей), те же самые два движения имели бы предыстории деформаций, значения которых различались бы во все моменты времени, за исключением момента наблюдения, где благодаря выбору отсчетной конфигурации градиент деформации был бы равен единице для обоих движений. Следовательно, при таком выборе отсчетной конфигурации физический смысл различия двух движений в момент наблюдения оказался бы скрытым математическим символизмом. При выборе текущей конфигурации жидкого элемента в качестве отсчетной вычисление производных по деформационным импульсам в момент наблюдения потребовало бы сложных операций. [c.158]

Следуя обычному методу нахождения волновой скорости, нужно взять перемещение Ьдр вдоль нормали к волне W в точке D. Как известно, существует нормаль, определенная производной ди/dqp =pp), однако это — кова-риантный вектор, в то время как Ьдр— контравариантный. Поэтому, не умаляя общности динамической теории, нельзя (ни в каком инвариантном смысле) говорить о них как об имеющих одно и то же направление. Лучшее что мы можем сделать, это взять б р вдоль луча (так чтобы Е совпало с Е на рис. 40), следовательно, будет иметь место уравнение [c.270]

Следует отметить, что употребление термина преобразование применительно к соотношению (16.5) нельзя считать правильным, так как при этом предполагается, что при замене переменных в уравнении (16.1), скажем, на и уравнение в частных производных приводится к обычному дифференциальному уравнению (16.6), тогда как на самом деле оно просто преобразуется в уравнение по 1 Смысл данного метода заключается в том, что если начальные и граничные условия, которым удовлетворяет уравнение (16.1), можно выразить только через S, то решение (16.6), которое удовлетворяет этим условиям, дает решение (16.1) с граничными условиями при этом полученное решение представляет собой функцию только xt и можно полагать, что оно является единственным. [c.93]

Вычислив вдоль кривой I возможные значения производной по нормали от функции R и сведя обычным образом решение поставленной задачи для уравнения (4.3) к реше нию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, можно показать, что при некоторых ограничениях на классы течений, кроме нулевого решения в окрестности кривой I, существует лишь одно ненулевое решение уравнения (4.3), удовлетворяющее всем необходимым условиям и имеющее физический смысл. [c.319]

В этом, достаточно общем случае подстановка выведенных выражений для сферических компонент скорости и давления в систему уравнений Стокса (26) не приведет к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, но уменьшит на единицу число независимых переменных в системе уравнений в частных производных, служащих для определения функций /н> /в, /е, Такие решения также заслуживают названия подобных или автомодельных, так как соответствующие им эпюры величин ЕУцЬ = Д (0, е) и т. д. будут одинаковыми при всех Р. При наличии осевой симметрии Уе = О, д/де — О (случай осесимметричной незакрученной струи) аргумент 8 исчезает, решение задачи приведется к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, и задача станет в обычном смысле слова автомодельной. [c.377]

Для асимптотической сходимости достаточно потребовать ограниченности N 4- 1 производных от гидродинамических величин. Влияние начального момента, т. е. члена с квадратными скобками в (6.3), экспоненциально затухает при е —> О и фиксированных t и х. При фиксированном е влияние начального момента экспонеиниально затухает но мере возрастания t—Поэтому при е— -0 и при удалении от начального момента решение уравнения Больцмана асимптотически стремится к решению вида (6.4). Однако, по-видимому, могут представиться специальные случаи, когда ряд (6.4) сходится в обычном смысле. [c.128]

Классическое преобразование Фурье, которое обсуждалось в предыдущих разделах, может успешно применяться для решения многочисленных задач математической физики. Правда, должно выполняться требование о том, что используемые функции должны быть абсолютно интегрируемыми и удовлетворять условиям Дирихле. Это сильно ограничивает применимость преобразования Фурье, так как можно оперировать только такими функциями, для которых все их производные являются конечными функциями или достаточно быстро стремятся к нулю на бесконечности. Кроме того, имеются различные элементарные функции, например постоянные или произвольные периодические функции, а также степенные функции, полиномы и экспоненциальные функции, которые не обладают трансформантой Фурье в обычном смысле, так как интеграл [c.266]

Говоря о статистическом характере теории турбулентности, ее часто сравнивают с кинетической теорией газов, изучающей системы из очень большого числа взаимодействующих между собой молекул. Это сравнение оправдано в том смысле, что в обеих указанных теориях точное описание эволюции исследуемой механической системы теоретически безнадежно, а практически было бы бесплодным. Однако надо иметь в виду, что между статистической механикой молекулярных ансамблей, изучавшейся Гибсом, Больцманом и другими исследователями, и статистической гидромеханикой вязкой жидкости существует и большое принципиальное различие. Оно связано, в первую очередь, с тем, что суммарная кинетическая энергия совокупности движущихся молекул не меняется во времени (во всяком случае при простейших предположениях о молекулярных взаимодействиях, обычно принимаемых в кинетической теории газов), тогда как при движении реальной жидкости ее кинетическая энергия всегда диссипируется в теплоту под действием вязкости. Менее существенным, но также не безразличным оказывается то, что молекулярные ансамбли дискретны по своей природе и их временная эволюция описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как в гидромеханике речь идет о движениях непрерывной среды, описываемых уравнениями в частных производных. В результате аналогия с кинетической теорией газов сравнительно мало помогает построению теории турбулентности, облегчая лишь самое первоначальное понимание идеи о статистическом подходе к физической теории. [c.9]

Вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор ие решен. Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. В число граничных условий, так же как и е несжимаемой вязкой жидкости, входит равенство нулю скорости на неподвижной твердой границе, а при движении тела в газе совпадение скорости частиц газа, прилегаюш,их к поверхности тела, с соответствующими скоростями точек поверхности тела. Как уже упоминалось в гл. VIII, в разре женных газах условие прилипания газа к твердой стенке не имеет места в этих условиях наблюдается скольжение газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной по нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и говорить о том, что условие прилипания совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах, когда длина свдбодного пробега молекулы становится сравнимой с линейными разм.ерами тела. В этом случае газ уже нельзя рассматривать как сплошную среду. Такого рода, движения газа выходят за рамки механики в узком смысле слова и составляют предмет изучения кинетической теории газов. Заметим, что вопросы обтекания тел разреженными газами приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами ракетных снарядов иа больших высотах, где разрежение воздуха очень велико. [c.806]

Следуя Хёрту [1968], отбрасываем в уравнении (3.125) высшие производные и сохраняем первые и вторые производные по каждому независимому переменному (х и ). что дает полезное дифференциальное приближение. Оно имеет смысл по двум причинам. Во-первых, производные высших порядков обычно меньше. Во-вторых, а posteriori известно, что условие устойчивости, полученное в рехультате этого анализа, будет сильнее ограничения, накладываемого на шаг по времени при наличии только диффузионного члена, лишь для течений с малой вязкостью, т. е. для а <С и, когда коэффициенты при высших производных в уравнении (3.125) становятся малыми. В результате получается дифференциальное приближение [c.76]

Эти пространства входят в категорию пространств узловых конечных элементов (в том смысле, который мы обсуждали ранее), и потому, быть может, стоит рассмотреть также и пример пространства, рассматриваемого в абстрактном методе конечных элементов. Пространство бикубических сплайнов, принадлежащих классу 9 в О, вероятно, подходит лучше всего, но в данной задаче с этим лространством работать трудно. Неприятности связаны с главным краевым условием ы = О на трещине РРъ Бикубический сплайн, равный нулю на этой прямой, будет в точке Р таким, что не сможет как следует аппроксимировать истинное решение и, все производные которого сингулярны. Чтобы обойти эту- трудность, потребуем, чтобы сплайны при переходе через прямые РСг, PQз и PQ4 были всего лишь непрерывными ( °), пространство таких сплайнов обычно называют сплайн-лагранжевым [c.312]

В нелинейном случае обычно имеется система уравнений с соот-ветствуюш,им лагранжианом Ь ф< ф ф , содержаш,им только функции ф( и их первые производные. Однако характерно, что для некоторых функций ф в лагранжиане Ь фигурируют только производные такие функции являются потенциалами в том смысле, что лишь производные ф , фх являются физическими величинами. Это требует далеко нетривиального обобш,ения с важными математическими и физическими следствиями. Для решения в виде однородного волнового пакета любую потенциальную переменную ф следует представить в виде [c.484]

Далее необходимо выразить неопределенные параметры о через узловые степени свободы, которые являются общими для всех элементов примыкающих к данному узлу. Н качестве последних обычно берут перемещения ( Ui.U ) в узле, а также либо их производные OnUi,. IkLl/ ) либо некоторые дифференциальные выражения имеющие ясный геометрический смысл (например значения [c.32]

Из всего вышеизложенного видно, что при общих расчетах можно применять обычные обозначения с суммированием по индексам и с записью ко- или контравариантных компонентов в виде или использовать соответствующие символические Л0бозначения Tu. Однако, поскольку в голографии часто прихо Садится менять систему координат, особенно при переходе от про-ст()анства к криволинейной поверхности предмета или к плоскости фотографической пластинки, то более предпочтимы абстрактные символические обозначения кроме того, большое число индексов, появляющихся при последовательных линейных преобразованиях, заслоняет физическую сущность, которая в действительности не зависит ни от каких специфических координат [2.2, с. 31]. Правила расчета на самом деле очень просты и выявляют геометрический смысл-, это относится и к вычислению производных, которые рассмотрим далее. Для удобства будем использовать следующие принятые в механике обозначения латинские курсивные буквы — для скаляров, строчные буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для векторов прописные латинские или греческие буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для тензоров второго порядка. [c.15]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...