Штурма—Лиувилля уравнение

Теплопроводность 1 (1-я)-484 Штурма-Лиувилля уравнение 1 (1-я) — 260 Штыб антрацитовый — Продукты горения — [c.351]

Дифференциальное уравнение Штурма —Лиувилля уравнение Ш — Л). В соответствии с ортогональным характером решений однородного уравнения Ш—Л, следующего из формулы (1.8), попытаемся теперь решить [c.24]

Как известно, уравнение (6. 1. 14) носит название уравнения Штурма—Лиувилля и имеет ненулевое решение, удовлетворяющее граничным условиям (6. 1. 9)—(6. 1. 11) только при определенных значениях а=л (п = 1, 2,. . . ). Каждому такому значению л, соответствует свое решение iV (r). [c.238]

Однородная граничная задача, сформулированная для конечного интервала (а, Ь). в случае регулярных в этом интервале коэ-фициентов уравнения Штурма — Лиувилля, при р(лг)>0, г(дг)>0, имеет бесконечную последовательность дискретных собственных значений (точечный спектр), а принадлежащая им система собственных функций представляет замкнутую полную ортогональную систему с весом р х) (см. стр. 263). В случае 1-й, 2-й и 3-й краевых задач собственные значения — простые. [c.240]

При заданных однородных граничных условиях, коэфициенты в которых удовлетворяют равенству (D), имеет место альтернатива либо неоднородное уравнение Штурма — Лиувилля [c.240]

Решения второго уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, могут быть получены для бесконечного числа различных значений 1 как численными, так и приближенными аналитическими методами [Л. 8]. Это уравнение Штурма — Лиувилля весьма обстоятельно изучено. Окончательное решение имеет вид [c.155]

Решение дифференциального уравнения (10-2-11) при условиях (10-2-12) — (10-2-13) можно получить методом разделения переменных, используя свойства задачи Штурма—Лиувилля оно имеет следующий вид [c.468]

Собственные функции f (7). находятся из решения системы уравнений Штурма — Лиувилля в области V [c.110]

Уравнение (2-10-17) является уравнением Бесселя v-ro порядка, представляющее собой частный случай системы Штурма—Лиувилля собственные функции Uv (Рп. ) ортогональны в интервале с весом функции [c.167]

Практическая реализация такого подхода усложнена необходимостью искать разложение функций / (Zi) и (г ) по неортогональной системе частных решений. Если обратиться к истории вопроса, то в связи с этой задачей можно проследить довольно типичную ситуацию во взаимоотношении математики и физики. Рассуждения в рамках физических аналогий (струна, мембрана, стержень) служили достаточно убедительным основанием для надежд на разрешимость задачи о таком представлении. Однако математического обоснования ее разрешимости до последнего времени не существовало. Возникающие здесь математические вопросы послужили стимулом к развитию некоторых новых по сравнению с классической проблемой Штурма — Лиувилля направлений в теории краевых задач и дифференциальных уравнений. Их характерные аспекты отражены, например, в обзоре Воровича [25]. Все же отметим, что, несмотря на большое число исследований, ряд практически важных вопросов данной проблемы остается не выясненным. В частности, еще не решен вопрос об оценке поведения коэффициентов разложения в зависимости от дифференциальных свойств разлагаемых функций. [c.159]

Для анализа собственных изгибных и крутильных колебаний лопасти потребуются результаты теории Штурма — Лиувилля. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение вида Ly + %Ry — где L —линейный дифференциальный оператор [c.351]

Задача рещения уравнений свободных колебаний при указанных граничных условиях представляет собой стандартную задачу Штурма — Лиувилля о собственных значениях (см. разд. 9.1). Рещение этой задачи дает форму т] (г) и соответствующие собственные значения v . Тоны ортогональны с весом > [c.417]

Таким образом, в качестве решения с F(0) = О годится только F (г) и, следовательно, для уравнения (1.13) необходимо решать краевую задачу Штурма-Лиувилля [c.136]

Если на обоих краях s = и s = оболочки заданы условия заделки u-v = 0, то приходим к двум задачам Штурма — Лиувилля для функций у и у , удовлетворяющих уравнениям (1) и условиям [c.217]

Для сходимости приближенного решения, получаемого проекционным методом, к точному в качестве координатной системы необходимо выбирать собственные функции оператора, сходного с В. Как известно [85], все ортогональные полиномы являются собственными функциями сингулярных задач Штурма-Лиувилля для дифференциальных уравнений второго порядка. Роль однородных граничных условий в этом случае играют условия ограниченности собственных функций в точках сингулярности. Поэтому всегда можно подобрать соответствующую систему ортогональных с заданным весом полиномов, принадлежащую Нв. Если оператор, собственными функциями которого является эта система, сходен с оператором В, то соответствующие приближенные решения уравнений теории оболочек сходятся к точному решению. [c.18]

Многие смешанные задачи теории упругости для областей конечных размеров (прямоугольник, цилиндр, усеченный клин, усеченный конус, кольцевой сектор, сектор шарового слоя и др.) сводятся к исследованию парных рядов-уравнений по какой-либо полной системе ортонормированных с весом функций, порожденных соответствующей задачей Штурма-Лиувилля на конечном интервале. [c.28]

Здесь ttk — искомые постоянные, y uk,x) и Uk соответственно система собственных функций и собственных чисел осесимметричной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения второго порядка на конечном интервале [c.28]

Все /3f — вещественные числа, так как являются собственными значениями задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лежандра с граничным условием (4.74) при этом (3k = -к- Далее считаем /Зк > О [c.173]

Ф, н, имеет ряд обобщений в теории цилиндрич. функций, уравнений Штурма—Лиувилля и т. д. В связи с теорией обобщенных функций развивается теория Ф. п. быстро растущих функций. [c.370]

ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ЗАДАЧА — задача о разыскании отличных от нуля решений дифференц. уравнения [c.425]

Следствие. Операторы Ь, построенные по решению уравнения (1), при всех I унитарно эквивалентны в частности, каждое из собственных чисел X задачи Штурма — Лиувилля Lf = kf с нулевыми условиями на бесконечности является первым интегралом уравнения Кортевега — де Фриза. [c.467]

Называемым также уравнением Штурма — Лиувилля.Ярил . перев. [c.68]

Уравнение Штурма — Лиувилля играет столь важную роль в теории спектрального разложения, что мы сделаем небольшое отступление. Заметим, что при и = и основные уравнения для собственных значений, с которыми приходится иметь дело в краевых задачах математической физики, можно записать в следующем виде [c.19]

Теперь нашей основной задачей является определение функции Грина ). Этот вопрос сам по себе может представить интерес для исследований. Но мы ограничимся двумя специальными случаями случаем, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны, и случаем, когда мы имеем самосопряженное дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля. [c.22]

Приведём два варианта варьирования в нервом случае функционал (23.33) принимает на решении строгий минимум во втором — строгий максимум. Потребуются минимальные сведения из теории Штурма-Лиувилля . Пусть x t) — решение уравнения (23.28) с начальными данными (23.29). Оператор I определим формулой [c.116]

В этом случае из уравнения (2.41) получим дк = г/стг/ 1п(1 + 7) и для собственных значений вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля получим из (2.40) выражение для спектра [c.641]

Случай 3. На / -плоскости функция U z) будет всегда собственной функцией спектральной задачи (2.21) - (2.23), соответствующей нулевому собственному значению, тем не менее, первое собственное значение может быть отрицательным. Действительно, давайте положим 0(0) = —4, 0(1) = = 1 в (3.27) в результате для первого корня будем иметь значение ki 1.1 (см. рис. 12а), откуда R = к к 1.21. Решение трансцендентного уравнения (2.43) дает Ai 4 (рис. 12Ь) и мы будем иметь для первого собственного значения вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля Jli = —16. [c.650]

На рис. 16 приведены графики левой (1) и правой (2) частей уравнения (3.31), откуда видно, что первый и второй корень будут А1 = 2.26 и Аг = 5.43. Принимая во внимание, что А = ВЛ ох/—получим первые собственные значения вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля = — —6.63, ]л2 = —38.29. Из теоремы 2.1 имеем [c.652]

При заданном X (4.2,5) можно рассматривать как характеристическое уравнение для определения а. Но из общей теории уравнения Штурма — Лиувилля 1) известно, что, так как [c.68]

Таким образом, для нахождения Уг надо решить краевую задачу типа Штурма — Лиувилля на полубесконечном промежутке. Ее надо решать при краевых условиях (5.15). Задача эта на собственном числе (т. е. соответствующая однородная задача имеет нетривиальное решение), поэтому для ее разрешимости необходимо и достаточно, чтобы свободный член был ортогонален решению однородного уравнения, т. е. был бы орто--Гонален у(—p(s)v—/) [c.261]

Для того чтобы определить аналитический вид профилей температуры и концентрации целевого компонента в жидкой пленке, используем условие ортогональности собственных функций оператора Штурма—Лиувилля. С этой целью домножим уравнение (8. 4. 31) на 7 , (т ) и проинтегрируем по т [c.323]

Здесь можно заметить близкую аналогию, связанную с уравнением Штурма — Лиувилля в теории дифференциальных уравнений в частных производных, так как известно, что собственные значения дифференциального оператора Эрмита являются вещественными, а соответствующие собственные функции — ортогональными. Эта аналогия не является случайной, ибо всегда можно установить соответствие между данным уравнением в частных производных и некоторой матрицей. Именно такое соответствие имеет место В квантовой теории между матричной механикой и долновон механикой. [c.175]

Уравнение Штурма—Лиувилля. Диферен-циальное уравнение [c.260]

Пусть сначала параметры срединной поверхности и число т таковы, что 31пф = 0. Тогда опять приходим к задаче Штурма — Лиувилля, состоящей из уравнения (3.1) и граничных условий [c.222]

Разработаны и развиты аналитические методы решения парных рядов-уравнений, связанных с разложениями, порождаемыми соответствующими задачами Штурма-Лиувилля, путем сведения их к ИУ с разностным ядром или к БСЛАУ с сингулярной матрицей. Развиты некоторые методы решения полученных ИУ и бесконечных систем первого и второго рода. Получено точное решения одного важного класса ИУ, к которым сводятся некоторые плоские контактные задачи для канонических тел конечных размеров. [c.263]

Доказательство результатов и подробности, касающиеся задачи Штурма — Лиувилля для уравнения (5) на полубесконечпом промежутке, можно найти в работе [4а], а также в монографиях [75а, 386]. [c.460]

Итак, для каждой функции Ф (ж, у,/х ) будем иметь уравнение (2.25), как для баротропного океана. Однако в отличие от классического случая баротропного океана U(z) = onst, решение будет определяться не знаком U, а спектром Лк задачи Штурма-Лиувилля (2.21) - (2.23). [c.632]

Нахождение собственных значений и собственных функщ1Й задачи Штурма-Лиувилля численными методами представляет определенные трудности. Метод конечных разностей недостаточно точен и ведет к большим ошибкам по причине необходимости обращения матриц большой размерности. Эффективный асимптотический метод, описанный в статье [15], применим только для граничных условий Дирихле. Здесь использован аналог метода стрельбы для нахождения решения задачи Коши для уравнения (2.21). [c.637]

При КМПФ-законе и U = onst > О собственные функции задачи Штурма-Лиувилля (2.21) - (2.23) даются выражением (2.39). Для подводной горы h x, у) в виде прямого кругового цилиндра радиуса го получим аналитическое решение уравнения (2.12) с граничными условиями (2.14), (2.15) [c.642]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...