Внутренняя геометрия поверхности

Первая квадратичная форма поверхности (7.8) характеризует внутреннюю геометрию поверхности — длины линий и углы между ними на поверхности. [c.230]

ТО движения будут задаваться одними и теми же зависимостями <7i(0. Я2 t) Выражение внутреннее уравнение движения , таким образом, вполне созвучно термину внутренняя геометрия поверхности в дифференциальной геометрии. [c.166]

Внутренняя геометрия поверхности [c.17]

Первая квадратичная форма играет огромную роль в теории поверхностей. Она определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности. При заданных коэффициентах Е, F, G, не имея больше никаких сведений о поверхности (форма, уравнение и т. д.), можно находить длины кривых на поверхности, углы между ними (точнее, между касательными к кривым) и площади участков поверхности. Действительно, первая квадратичная форма уже дает дифференциал, т. е. главную линейную часть дуги ММ. Точную длину дуги можно получить интегрированием. [c.18]

Первая квадратичная форма, определяя внутреннюю геометрию поверхности, не позволяет судить о форме самой поверхности. Формы поверхности могут быть различными при одной и [c.19]

В которой правую часть равенства можно построить, зная только А,, А2, х и задав уравнения кривой у- Уметь строить дифференциалы длин дуг кривых на поверхности — это и значит определить внутреннюю геометрию поверхности. [c.14]

Внутренняя геометрия поверхности может быть охарактеризована первой квадратичной формой поверхности. [c.95]

Если первая квадратичная форма дает элемент дуги, определяющий внутреннюю геометрию поверхности, то вторая квадратичная форма характеризует внешний вид поверхности и численно меняется при ее изгибании. [c.98]

Внутренняя геометрия поверхности 97 [c.282]

Первая основная метрическая форма играет большую роль в теории поверхностей и служит для измерения в бесконечно малом длины, утла между кривыми и площади на поверхности, т.е. она определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности. [c.17]

Наконец, упомянем о соотношении между решёточной теорией в фазе сильной связи и теорией решёточных поверхностей. Такое соотношение исследовалось в ряде работ. Можно сопоставить членам разложения сильной связи сумму по решёточным поверхностям данной площади с определёнными весовыми факторами, зависящими от внутренней геометрии поверхности (но не от способа вложения). [c.209]

ПОНЯТИЕ О ВНУТРЕННЕЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТИ [c.24]

Свойства поверхности, остающиеся неизменными при изгибаниях ее, составляют предмет так называемой внутренней геометрии поверхности. Определение внутренняя подчеркивает тот факт, что имеются в виду собственные свойства поверхности, присущие именно ей и остающиеся неизменными при ее изгибаниях. [c.25]

Изучение объектов внутренней геометрии поверхности может выполняться без рассмотрения свойств поверхности в объемлющем ее пространстве. [c.25]

Для изучения внутренней геометрии поверхности важно понятие проекции того или иного объекта на касательную плоскость в окрестности точки касания последней. [c.26]

Внутренняя геометрия поверхности может быть охарактеризована так называемой первой квадратичной формой, а внешняя (искривленность в пространстве) — второй квадратичной формой. [c.29]

Чем ближе К во всех точках поверхности к нулю, тем ближе внутренняя геометрия поверхности к планиметрии. [c.44]

Первая квадратичная форма поверхности служит для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. Зная первую квадратичную форму, можно измерить длины, углы между кривыми, площади на поверхности. Эти свойства образуют так называемую внутреннюю геометрию поверхности. Если представить себе поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки, которую можно изгибать, меняя ее форму, то первая квадратичная форма при этом сохраняется. Длины всех кривых, углы между ними, площади остаются прежними. Из плоского листа бумаги можно, например, получить свертыванием цилиндр или конус. При изгибании поверхности можно получить другую поверхность, но только определенного класса. Часть сферы, например, нельзя изогнуть на плоскость или сферу другого радиуса. [c.26]

Если т=п — 2, то получаем уравнение, которое описывает геометрию тела с эллиптическими сечениями. Уравнение можно усложнить, если сделать так, чтобы и зависели бы от величины 0. С помощью этого выражения можно отыскать всю внутреннюю геометрию поверхности, символы Кристофеля, нормаль к поверхности и производные и т. д. [c.42]

Сравнение (70) и (72) приводит к совершенно другим выводам. Как показывается в дифференциальной геометрии, не существует такого преобразования координат, которое привело бы (72) к (70) на всей поверхности сферы. Внутренняя геометрия сферы отличается от внутренней геометрии плоскости в частности, кусок сферической поверхности нельзя разгладить , превратив его в кусок плоскости. Это можно сделать только локально, в малой окрестности некоторой заданной точки сферы, заменяя малую площадку на сфере малым участком касательной плоскости. [c.476]

Из этой формулы вытекает, что для геометрически подобных местных сопротивлений при одинаковых числах Re значения будут одинаковы. При малых числах Не второй член (6-22), т. е. А /Ке, играет определяющую роль в величине но при возрастании Ке этот член становится малым, и, следовательно, число Не, а значит и вязкость, перестают влиять на величину при Не — оо будет См Скв- Величина Скв . как видно из формул, определяется характером распределения безразмерного давления по внутренней боковой поверхности местного сопротивления или местным числом Ей. Число Эйлера может зависеть от Не, однако, с возрастанием последнего значения Ей стабилизируются и определяются только геометрией и граничными условиями. [c.159]

Пример. Частица вынуждена оставаться на некоторой поверхности к ней не приложены силы. Риманово пространство теперь имеет два измерения, а его геометрия идентична внутренней геометрии заданной поверхности. Движение частицы по поверхности происходит по одной из геодезических линий этой поверхности. [c.167]

В более обш,их случаях —таких, как движение электрона в магнитном поле, неконсервативные системы, релятивистская механика, распространение света в кристаллах — уже нет пропорциональности элемента ds внутренней геометрии и обычного элемента rfs. Ортогональность траекторий и волновых поверхностей сохраняется поэтому лишь в особом внутреннем смысле. [c.328]

Соотношения между волновыми поверхностями и механическими траекториями более важны, когда задача рассматривается с точки зрения ее собственной внутренней геометрии. Тогда в совершенно общем случае мы встречаемся [c.328]

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ- Для дальнейшего напомним некоторые факты из внутренней геометрии поверхностей. 1. Если Ф(<71, <7г) —гладкая функция, то ее внутренний гради- [c.182]

Знание элемента дуги любой линии на поверхности, которое дои стигается измерениями, производимыми на самой поверхности т доступными двумерным суш.ествам, на ней обитаюш.им , определяе-первую квадратичную форму поверхности и с нею внутреннюю геометрию поверхности к внутренней геометрии принадлежат составляю-ш,ие метрического тензора и все величины, определяемые по ним, т. е. элемент площади, символы Кристоффеля первого и второго рода, геодезическая кривизна линии на поверхности. Задачи разыскания геодезических линий, определения операций ковариантного дифференцирования и параллельного переноса вектора на поверхности также относятся к внутренней геометрии. При изгибании поверхности, не сопровождаемом изменением длин линий на ней, перечисленные величины остаются неизменными — они представляют инварианты изгибания. Нормальная кривизна не является, конечно, инвариантом изгибания. Этим объясняется, что коэффициенты второй квадратичной формы принципиально не могут быть вычислены при задании только метрического тензора. Их определение было связано с введением вектора нормали т поверхности. [c.799]

Гаусс (Gauss) Карл Фридрих 1777-1855) — выдающийся немецкий математик, астроном и физик. Закончил в 1789 г. Геттингенский университет, с 1807 г. — профессор этого университета и директор астрономической обсерватории. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой. Его труды оказали большое влияние на развитие алгебры основная теорема алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики и теории потенциала (принцип Гаусса, теорема Гаусса — Остроградского, метод наименьших квадратов), теории электромагнетизма и ряда разделов астрономии. [c.95]

Первая квадратичная форма, определяя внутреннюю геометрию поверхности, не позволяет судить о форле самой поверхности. Формы поверхности могут быть различными при одной и той же первой квадратичной форме. Такие формы можно получить изгибанием поверхности без изменения ее внутренней гешетрии так называемым изометрическим преобразованием поверхностей. При изшетрическш преобразовании поверхность ведет себя как абсолютно гибкая и нерастяжимая среда. Для изучения кривизны линий на поверхности необходимо привлекать понятие второй квадратичной формы. [c.18]

Целый ряд нелинейных дифференциальных уравнений типа рассматриваемых в этой книге допускает непосредственную геометрическую интерпретацию. В частности, в таком виде можно переформулировать уравнения Гаусса, Петерсона—Кодацци н Риччи и, таким образом, через их репшния выразить компоненты метрического тензора, векторов кручения и тензоров вторых квадратичных форм двумерных минимальных поверхностей. В целом данная интерпретация связана с внутренней геометрией поверхностей в евклидовом, псевдоевклидовом или аффинном пространствах (минимальные поверхности и двумерные поверхности постоянной кривизны). Простейшие из этих уравнений (в частности, уравнения Лиувилля, синус-Гордона и Лунда — Редже) впервые возникли именно в задачах дифференциальной геометрии. [c.9]

Степень отклонения внутренней геометрии поверхности от внутренней геометрии плоскости во многом определяется гауссовой кривизной чем К ближе к нулю, тем ближе к планиметри внутренняя геометрия поверхности. [c.27]

Внутренняя геометрия поверхности и геометрия поверхности в объемлющем ее пространсщве ( внешняя геометрия ) связаны между собой. Так, например, каждая из двух главных кривизн поверхности — это внешне геометрическое свойство, вместе с тем произведение главных кривизн—гауссова кривизна— является объектом внутренней геометрии. [c.27]

Свойства поверхности, остающиеся неизменными при ее изгибаниях, составляют предмет так называемой внутренней геометрии поверхности. Изучение внутренней гео] етрии может быть осуществлено без выхода из нее в объемлющее пространство. Пример внутренней геометрии — планиметрия, являющаяся геометрией плоскости. У разных поверхностей внутренняя геометрия различна. Например,. длина окружности радиуса г [c.44]

Имеются закономерности, справедливые для внутренней геометрии любой поверхности. Изучение этих закономерностей и выражение их через величины, характеризующие данную поверхность, является одной из основных задач внутренней геометрии. Внутренняя геометрия поверхности и геометрия поверхности в объемлющем ее пространстве внешняя геоштрия ) связаны между собой. Например, величина К при изгибании поверхности не изменяется, следовательно, гауссова кривизна определяется внутренней геометрией поверхности. Вместе с тем и (произведение которых представляет собой К) при изгибании поверхности изменяются и, следовательно, являются понятиями геометрии поверхности в объемлющем ее пространстбе. [c.44]

Эйлер, Леонард (Euler, Leonhard) [4(15). 4.1707, Базель, Швейцария, - 7(18) 9.1783, Петербург], Математик, механик и физик. Родился в семье небогатого пастора Пауля Эйлера. Работал во многих отраслях математики, механики и др. В дифференциальной геометрии детально исследовал свойство геодезических линий, впервые применил натуральные уравнения кривых, а главное, заложил основы теории поверхностей. Ввел понятие главньк направлений в точке поверхности, доказал их ортогональность, вывел формулу для кривизны любого нормального сечения, начал изучать развертывающиеся новерхности и др. В одной посмертно опубликованной работе предварил исследования К.-Ф.Гаусса по внутренней геометрии поверхностей. [c.88]

Из гипотезы локальной определенности следует, что деформирование по всем траекториям, получающимся из данной путем вращения вокруг вектора напряжений, приведет к одинаковым изменениям модуля вектора напряжений и углов его ориентации относительно траектории. Отсюда получаем, что вектор напряжений направлен по нормали к мгновенной предельной поверхности Р Э), если последняя регулярна в точке нагружения, т. е. La=D gr dF, где L — функционал параметров внутренней геометрии траектории деформаций. Совместным следствием гипотезы локальной определенности и исправленного принципа градиентальности (11.29) является равенство [c.266]

Как известно из дифференциальной геометрии, система функций g, f и Г/ полностью определяет внутренние свойства поверхности, арифметизированной координата.ми х (г = 1, 2). [c.428]

Сравним между собой формулы (70), (71) и затем формулы (70) и (72). В первом случае (71) сводится по виду к (70), поскольку можно ввести новую координату ст = рф сразу на всей поверхности цилиндра, после чего различие между (71) и (70) будет только в обозначениях. Поскольку метрический тензор определяет длины кривых на поверхности и углы, которые эти кривые составляют между собой, мы говорим, что плоскость и поверхность кругового цилиндра обладают одинаковой внутренней геометрией. Совпадение внутренних геометрий проявляется в том, что кусок цилиндрической гговерхности можно разогнуть в кусок плоскости без изменения расстояний между точками и углов между направлениями. [c.476]

G5 b rep model - представление одного или более тел, каждое из которых состоит из замкнутых внешней и внутренних оболочек. Геометрия поверхностей выражена кривыми. Большинство понятий аналогично используемым в G3. [c.175]

Эта теорема стала теперь гораздо более обш,ей. Раньше ортогональность траекторий и волновых поверхностей рассматривалась лишь в обычной евклидовой геометрии. На самом же деле эта теорема справедлива для той неевклидовой и даже неримановой геометрии, которая внутренним образом связана с данной механической задачей. Поэтому наши прежние рассуждения были справедливы благодаря тому в какой-то мере случайному обстоятельству, что линейный элемент внутренней геометрии был пропорционален евклидову линейному элементу [см. (8.9.1)]. [c.328]

Для возможности сопоставления полученных опытных данных испытывались образцы с практически одинаковой геометрией поверхностей и клеевыми прослойками, отвержденными при идентичных условиях (7 ОТВ — 373 К). Возникающие в процессе отверждения внутренние напр яжения, оказывающие влияние на степень ориентации структурных элементов прослойки, релаксировались в процессе выдержки соединений при температуре 363 К в течение 1 392 ч. Определялись термические сопротивления клеевых прослоек в зависимости от давления отверждения для ВС-ЮТ до 5-10 Па и ВК-3 до 20-Ю Па при различных расходах Q клея. Результаты испытаний представлены кривыми на рис. 4-21, из расположения которых видно, что абсолютное значение термического 138 [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...