Циклические граничные условия

Любой реальный кристалл является ограниченным. Эта ограниченность приводит к тому, что волновой вектор электрона может принимать только дискретный ряд значений. Для того чтобы подсчитать число допустимых значений к в зоне Бриллюэна, необходимо учесть граничные условия. Аналогично тому, как это было сделано в гл. 5, при расчете.числа собственных колебаний одномерной цепочки атомов, воспользуемся циклическими граничными условиями Борна — Кармана. [c.220]

Кроме примесей и дефектов любой реальный кристалл содержит еще одно нарушение периодичности, связанное с его поверхностью. До сих пор мы не учитывали наличие поверхности, предполагая кристалл бесконечным или вводя циклические граничные условия. Однако в 1932 г. И. Е. Таммом было показано, что кроме [c.240]

Поле световой волны в конечном объеме. Будем рассматривать световые волны в конечном объеме V, который, однако, может быть выбран сколь угодно большим. Для простоты предположим, что это куб с длиной ребра L. Пусть плоская монохроматическая световая волна распространяется вдоль оси X. В выражение для ее электрического вектора Е будет входить множитель ехр (ik x), где — составляющая волнового вектора. Потребуем выполнения так называемых циклических граничных условий [c.53]

Вследствие отражения волн от концов цепочки бегущие упругие волны заменяются стоячими. Можно снова обратиться к рассмотрению бегущих волн, использовав метод периодических граничных условий, развитый М. Борном и Т. Карманом. Этот метод дает хорощие результаты при исследовании как спектра колебаний, так и электронного спектра твердых тел. Циклические граничные условия можно представить себе, рассмотрев совокупность из N атомов, расположенных по кругу. В этом случае Xn = Xn + Jv, потому что п-й атом идентичен (Ы+п)-му атому. Это означает, что смещения атомов в такой цепочке, вызванные бегущей волной, повторяются через расстояния Ь = Ка. При таком предполо- [c.31]

Дискретность спектра волнового вектора (или квазиимпульса) следует непосредственно из циклических граничных условий [c.75]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Из-за нелинейности кривых ю(/г) их часто называют кривыми дисперсии. Из (9.14) также следует, что частота оказывается периодической функцией от волнового числа k, причем повторяющаяся периодически область заключена в пределах я/а<йсл/а. Вспомним, что подобное уже встречалось при рассмотрении поведения электронов в кристалле. Там этому условию в конечном счете отвечал выбор чисел k из числа соответствующих циклическим граничным условиям, которые приводят к [c.211]

Требования выполнения циклических граничных условий сводятся к равенству = Тогда последний член можно записать в виде [c.236]

В качестве таких граничных условий принимают циклические граничные условия, которые обычно называют условиями Борна — [c.19]

Исследуем, как изменяются полученные выше результаты, если циклические граничные условия (6.4) заменить условием жесткого закрепления краевых атомов. Чтобы не изменить число степеней свободы кристалла, предположим, что он содержит Л + 2 атомов, положение которых определяется вектором решетки [c.39]

Используя циклические граничные условия и предположив, что в основной области кристалла имеется N элементарных ячеек, проведем в (8.1) и (8.2) каноническое преобразование к коллективным переменным Л = Л1 [c.46]

V = L d . На электромагнитное поле, заключенное в кристалле, и на смещения ионов накладываются циклические граничные условия. Тогда можно провести фурье-преобразования [c.68]

Предположим, что кристалл имеет форму куба со стороной L и объемом V — L . Для удобства введем циклические граничные условия. Тогда волновые функции [c.91]

Временное затухание в кристалле пространственно-однородного электромагнитного поля. Предположим, что кристалл большого объема и окружен зеркальными стенками, или на границах кристалла для поля и экситонов введены одинаковые циклические граничные условия. В этом случае достаточно рассмотреть состояния с определенным значением волнового вектора ki = ki = k. [c.488]

Центрированные моменты 440, 592 Циклические граничные условия 19 Циклотронная волна 190 [c.639]

Кристалл характеризуется регулярной структурой. Его наименьшей структурной единицей является элементарная ячейка. Идентичные, примыкающие друг к другу, элементарные ячейки заполняют без промежутков все пространство и дают основу для периодичности кристаллической решетки. Эта периодичность приводит к тому, что решетка инвариантна к трансляциям на отрезки, составляющие произвольное целое число периода решетки. Это справедливо, конечно, только для идеального бесконечного кристалла или для кристалла, который с помощью циклических граничных условий (ср. 5) искусственно сделан конечным. Этот случай мы рассмотрим в дальнейшем. [c.72]

Множители, заключенные в скобки, являются граничными членами произведения, включающими только операторы, действующие на крайние спины. Поэтому едва ли покажется удивительным, что эти члены исчезают, когда обычным образом вводятся циклические граничные условия (как это сделано в разд. 7.3), так что в результате остается [c.90]

Чтобы получить точные коммутационные соотношения, необходимо использовать явное представление операторов для введения циклических граничных условий. Кроме того, чтобы привести трансфер-матрицу к форме, аналогичной (6.4.30а), необходимо вводить неудобный циклический сдвиг спиновых индексов при переходе от одного ряда к следующему. По этим причинам коммутационные соотношения для шести- и восьмивершинных моделей Изинга будут получены непосредственно без использования (6.4.30), (6.4.31). Но и в этом случае коммутационные соотношения всегда являются, как будет подчеркнуто ниже, прямым следствием соответствующего соотношения звезда — треугольник. [c.91]

Пусть т — число таких рядов в решетке. Пронумеруем их таким образом, чтобы ряд г был расположен ниже ряда г -h 1, и наложим циклические граничные условия, такие, что за рядом т следует ряд 1. Это означает, что число т должно быть четным. [c.94]

Пусть п — число узлов в каждом ряду пронумеруем узлы слева направо. Наложим снова циклические граничные условия, но на этот раз такие, что за узлом п следует узел 1. (В совокупности эти циклические граничные условия эквивалентны изображению решетки на торе, поэтому их называют тороидальными.) [c.94]

Что означает требование равенства нулю Х а, Ь с, d) при а ф с и I) = di С учетом (7.3.3) оно означает, что для ненулевых элементов матрицы VW, если оу, aj неодинаковы, и оу 1 -ь i Должны быть тоже неодинаковыми. Поскольку j = 1,. .., с циклическими граничными условия-1ИИ, отсюда следует, что либо во всех парах (о , aj) спины одинаковы, либо 1 0 всех неодинаковы. [c.99]

На рис. 8.2 и 8.1,в четыре линии, образующие вершинную конфигурацию типа 2, разделены на две пары линий. При этом становится ясно, что линии, соединяясь, образуют непрерывные непересекающиеся пути через всю решетку. Если мы начинаем движение по одному из путей вверх или вправо, то и далее будем смещаться по тому или другому из этих двух направлений, но ни в коем случае не вниз и не влево. Циклические граничные условия обеспечивают нескончаемость этого пути. [c.135]

Отметим также, что для согласования раскраски с циклическим граничным условием + 1 числа Nun должны быть такими, что [c.170]

Рис. 9.1. Ряд квадратной решетки, на котором показаны спины , сопоставленные различным линиям, соединяющим узлы. Приняты циклические граничные условия

Заметим, что циклические граничные условия ни на ряды, ни на столбцы не накладываются.) [c.335]

Наконец, решение (5.91) должно удовлетворять всем вариантам циклических граничных условий (5.83). Вместо простого блоховского распределения волновых чисел (5.83) теперь нужно принять во внимание и фазовые соотношения между вырожденными модами. Значения к , кг надо выбрать из набора, удо- [c.202]

Однако если настаивать на выполнении циклических граничных условий и включить в А слагаемое с, гп == М, то мы сделаем ошибку внимательный расчет показывает все же, что ее влияние на окончательный ответ невелико. Отметим, что если преобразованию (5.117) подвергнуть матрицу переноса, содержащую внешнее магнитное поле или взаимодействия по диагонали ячейки решетки 0,1, т, т + 1 и т. д., ТО получатся формулы, гораздо более [c.209]

При изучении спектральных свойств системы нас интересуют стационарные возбужденные состояния, волновые функции которых удовлетворяют заданным граничным условиям на концах цепочки. При этом циклические граничные условия (см. 5.5), когда цепочка как бы соединяется в замкнутую петлю, оказываются неудобными. Более естественно считать, например, что крайние атомы неподвижны [или, при рассмотрении электронного спектра, что волновые функции (8.26) обращаются в нуль на концах цепочки] так, что амплитуды о и равны нулю. Это можно рассматривать как частный случай более общего условия, согласно которому при [c.345]

Если предположить, что каждая строка имеет свободные концы, т. е. не накладывать циклические граничные условия, то с помош ью соотношений (13.26) получаем [c.142]

Таким образом, форма оператора Тг для четных и нечетных состояний остается одинаковой, изменяются лишь циклические граничные условия. [c.143]

Зарядный процесс в установившемся циклическом режиме периодически повторяется. Поэтому достаточно оптимизировать один зарядный цикл с учетом граничных условий повторяемости. Если разряд емкости происходит мгновенно и полностью, то в момент разряда U падает до нуля и, следовательно, зарядный цикл начинается с U =Q. Начальные и конечные значения токов должны быть равны, так как токи не могут изменяться скачкообразно. Учитывая это и обозначая время зарядного цикла Т, имеем следующие граничные условия [c.221]

Пусть кристалл имеет вид параллелепипеда со сторонами Ьь Ьг, Ьз и объемом Р = П1Ь2Ьз. Предположим, что все пространство заполнено подобными кристаллами. В таком случае трансляционное 1свой ст1во поля кристалла сохраняется. Так как все точки, отличающиеся на целое число Ть Тг, Тз,. эквивалентны, то граничные условия (в обычном смысле) заменяются условием эквивалентности физических свойств кристалла в точках х, х-(-Т и аналогичных точках. Поэтому циклические граничные условия вводятся в виде [c.75]

Система уравнений (4.5)—(4.7), описываюш,ая формирование фо-тоиндуцироваиного заряда в ФРК, должна быть дополнена гранач ными условиями. В разделе 4.1 эта система решалась пр и циклических граничных условиях, которые требуют, чтобы решения были представлены периодическими функциями с периодом, р-авным периоду записываемой решетки. Последнее предполагает, что кристалл бесконечен вдоль оси х, т. е. вдоль направления внешнего-поля, и пренебрегается эффектами, связанными с конечньм размером кристалла вдоль этого направления. Однако такое приближение применимо не всегда. Имеются случаи, когда необходимо использовать другие граничные условия. [c.66]

Решение вида = ехр (ikwa) удовлетворяет этому соотношению (здесь —волновое число, а — расстояние между соседними спинами цепочки). Циклические граничные условия сразу дают разрешенные значения к [c.236]

Предположим что поперечное электромагнитное поле заключено в объеме кристалла и удовлетворяет тем же циклическим граничным условиям, что и экситоны. Предположим далее, что экситоны не взаимодействуют с колебаниями решетки — фононами. Оба предположения являются весьма существенными. Только при их выполнении, как мы увидим ниже, взаимодействие экситонов с волновым вектором к происходит с фотоном, имеющим тот же волновой вектор Л и ту же поляризацию, что и экситон. В этом случае в системе взаимодействующих экситонов и фотонов возникают новые элементарные возбуждения (стационарные состояния с тем же волновым вектором к), которые называют поляритонами или светоэкситонами. [c.349]

Для бесконечного кристалла число элементов трансляционной группы бесконечно. Если ограничить кристалл основной областью с циклическими граничными условиями, то трансляционная группа делается конечной и содержит такое число трансляций, сколько в основной области ячеек Вигнера —Зейтца. В дальнейшем мы ограничимся эгим случаем. [c.75]

Закончим этот параграф двумя замечаниями. В 15 мы ввели циклические граничные условия, чтобы сделать трансляционную группу конечной. Тогда число различных / , равно числу узлов решетки в основной области. Две примитивные трансляции / , и Ri + NiUi в этом случае идентичны. Это, однако, означает, что и [c.90]

Группа трансляционных операторов Т(при циклических граничных условиях) конечна и порядка /V. Так как Тц коммутативны, то Т ТоТк = Го для произвольных. Каждый эле- [c.118]

Соотношение звезда — треугольник имеет весьма важные следствия. Рассмотрим две модели Изинга на квадратной решетке, аналогичные описанным в разд. 6.2, с разными значениями К и L, но с одинаковым значением sinh 2К sinh 2L. Онсагер [186] заметил, что из соотношения звезда — треугольник следует коммутативность диагональ-диагональных трансфер-матриц при условии, что наложены циклические граничные условия. [c.90]

Рис. 8.1. Размещение ионов водорода на квадратной рещетке 3 х 3 (с циклическими граничными условиями), удовлетворяющее правилу льда а — положение ионов водорода на линиях связи б — соответствующие электрические диполи в — соответствующее представление линиями.

Группы симметрии кристаллов, или пространственные труппы, состоят из конечного числа ортогональных преобразований, из дискретных сдвигов (трансляций) и произведений этих преобразований. Строго говоря, такой симметрией обладает лищь бесконечный 1фисйгалл иЛи модель кристалла с так называемыми циклическими граничными условиями. [c.12]

Для исследования напряженного состояния на поверхности раздела были разработаны аналитические методы. К ним относятся методы механики материалов, классической теории упругости и метод конечных элементов. Метод конечных элементов является наиболее универсальным и охватывает разнообразные граничные условия. Предполагаемая величина концентрации напряжений определяется условиями на поверхности раздела. Теоретические данные показывают, что концентрация касательных напряжений на концах волокон зависит от объемной доли волокна и геометрии его конца. Из этих данных также следует, что радиальное напряжение на поверхности раздела изменяется по окружности волокна и может быть растягивающим или сжимающим в зависимости от характера термических напряжений, а также от вида и направления приложенной механической нагрузки. Следовательно, в обеспечении требуемой адгезионной прочности, соответствующей конкретным конструкциям, существует определенная степень свободы. Наличие пор и влаги на поверхности раздела, так же как и повышение температуры, ослабляют адгезионную прочность, в результате чего снижаются жесткость и прочность композитов. Циклическое нагружение почти не сказывается на онижении адгезионной прочности. Показатель расслоения является критерием увеличения локальных сдвиговых деформаций в матрице и модуля сдвига композита. Этот параметр может быть использован при выборе компонентов материалов с заданной адгезионной прочностью на поверхности раздела, И наконец, следует отметить, что состояние данной области материаловедения [c.83]

Рассматриваются граничные условия для валов, соединенных с помощью шарнира Гука, определенные с учетом жесткости выходного вала. Эти условия отличаются от граничных условий для случая простого соединения валов из-за возникающих циклических изгибающих моментов, зависящих от угла соединения валов и передаваемого момента. Рис. 2. Лит. 5 назв. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...