Полярные координаты при плоской задаче

Частный случай полярных цилиндрических координат, когда = г, = 0, X = 2 = 0, представляет собой полярные координаты. Они используются при плоской задаче или когда изучаемые величины не зависят от координаты л = 2. [c.122]

Аналогично тому, как это было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах, решение плоской задачи в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции [c.98]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

В учебном пособии изложены основные положения курса теории упругости и элементы теории пластичности, приведены примеры решения плоской задачи в прямоугольных и полярных координатах, дан расчет толстостенных труб при внешнем и внутреннем давлении и при насадке, расчет вращающихся дисков, тонких прямоугольных и круглых плит, цилиндрических оболочек, стержней при кручении. Приведены задачи термоупругости и пластичности. [c.2]

При решении плоской задачи встречаются тела, ограниченные поверхностями кругового цилиндра и радиально расходящимися плоскостями. В этих случаях переход от декартовой системы координат к полярной значительно упрощает решение. [c.81]

Для определения напряжений в пластической зоне рассмотрим уравнения равновесия плоской задачи в полярной системе координат (6.1), которые при отсутствии объемных сил имеют такой вид [c.281]

При использовании в плоской задаче полярных координат гО уравнения равновесия имеют вид (случай отсутствия объемных сил) [c.54]

Если при решении плоской задачи в полярных координатах для функции напряжений принять такое начертание [c.80]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

При свободном резании можно создать такие условия, когда для определения напряжений достаточно рассмотреть плоскую задачу. В этом случае уравнения равновесия без учета объемных сил в полярной системе координат имеют вид 11 ] [c.80]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций г, 0), (г, 0) и т е (г, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (7.1) и уравнения неразрывности деформаций (7.3) при обязательном удовлетворении условий на поверхности. [c.102]

Аналогично тому, как было сделано при решении плоской задачи в декартовых координатах (см. 3, гл. VI), решение в полярных координатах можно свести к отысканию одной функции напряжений Ф (г, 0). Выберем эту функцию так, чтобы напряжения выражались через нее следующим образом [c.102]

Эти представления соответствуют решению плоской задачи теории упругости в полярных координатах, удовлетворяют условиям в полюсе при X = 0. При л = 1 и и = quq и и = [c.230]

А6.4.1. Коэффициент интенсивности напряжений. С использованием линейной модели деформирования обнаружено, что, как и во многих других задачах о концентрации напряжений, в устье плоской трещины поля тензоров о(/, 9) и е(/, 9) (здесь г, 9 — полярные координаты в плоскости, ортогональной краю — устью трещины, с началом отсчета в устье) оказываются подобны при самых разных вариантах геометрии тела, формы и ориентации трещины, приложенных нагрузок и температурных полей. Они сингулярны — значения О, е стремятся к бесконечности по мере приближения к началу координат [c.238]

Особенно просто решается плоская задача в полярных координатах в том случае когда распределение напряжений не зависит от угла 0. Функция напряжений ф будет при этом условии зависеть только от г и основное [c.93]

Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи I круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, здесь жр приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах Выражение для функции напряжений представится так [c.100]

Такое уравнение мы имели при решении плоской задачи в полярных координатах (см. стр. 95). [c.394]

При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно 1) с направлением ребра гиба, 2) с направлением общей нормали к поверхностям листа, которое условились называть радиальным, 3) с направлением, перпендикулярным первым двум, которое условились называть тангенциальным. Три нормальных напряжения (в направлении ребра гиба) сг —(в направлении радиальном), ае (в направлении тангенциальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого по написанию обыкновенного дифференциального уравнения (условие равновесия) [c.296]

Порядок изложения материала несколько видоизменен автором. Сначала во всей полноте рассматривается плоская задача теории упруго-ти. Особое внимание уделено решению задачи в полярных координатах. Новая отдельная глава посвящена решению плоской задачи при помощи функции комплексного переменного. [c.6]

Рассмотрим в поперечном сечении лобового шва элемент, вырезанный двумя смежными радиальными плоскостями и концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 23, а). По формулам плоской задачи теории упругости, решаемой в полярных координатах, в шве при указанном его загружении образуются напряжения трех видов [c.61]

Для плоского напряженного и плоского деформированного состояний располагаем двумя уравнениями равновесия (3.50) в декартовых координатах или (3.51) в полярных координатах и условием пластичности (5.10) или (5.12). В этих трех уравнениях содержится три неизвестных. Таким образом, число уравнений соответствует числу неизвестных. Тем не менее для системы уравнений этой задачи существуют точные замкнутые решения тоже лишь для частных случаев при касательных напряжениях на контактной поверхности, равных нулю или не зависящих от одной из двух координат, входящих в уравнения равновесия. [c.177]

Осесимметричная задача становится статически определимой и, следовательно, значительно упрощается для тел, находящихся в состоянии полной пластичности, при котором два главных касательных напряжения равны пластической постоянной. Действительно, полная пластичность сопровождается равенством двух главных нормальных напряжений, а это обстоятельство для осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат ось г которой является осью симметрии, приводит к равенству главных нормальных напряжений в меридиональных продольных сечениях или равенству одного из этих напряжений и кольцевого нормального напряжения 00. Первый из указанных случаев легко сводится к полярно-симметричной плоской задаче в поперечных сечениях, а второй может быть исследован методом, изложенным в теориях плоского деформированного или плоского напряженного состояний. [c.402]

При решении плоской задачи для тел, имеющих круговое очертание (круговые кольца и кривые брусья узкого прямоугольного сечения, круглые диски и т. п.), выгодно использовать полярные координаты д = г, л = О (см. гл. VI, 2), связанные с декартовыми коорди-иатами х , x. равенствами (6.35) [c.260]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

В полярной системе координат (г, (/ ) рассмотрим упругое тело в форме кольцевого сектора i i г R2, —71 72 (т > 0> — 1.2) (см. рис. 3.7, а). Пусть в грань г = i 2 на участке (р д < 7 ) вдавливается силой Р штамп таким образом, что он перемеш,ается поступательно. Предполагаем также, что на поверхностях г — R, f = —71, V = 72 отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. Поставленная задача теории упругости сводится к исследованию уравнений Ламе (плоское напряженное состояние) при следующих граничных условиях [c.119]

Если шарнир достаточно длинный (рис. 30), то задачу можно рассматривать как плоскую. Форма поперечного сечения обусловливает применение цилиндрической (полярной) системы координат (см. п. 25). Решение представим при помощи одной бигармонической функции (125). [c.55]

Частный случаи полярных цилиндрических координат, когда x = г, = О, = Z О, представляет собой полярные координаты. Они использу1отся при плоской задаче или когда изучаемые величины не зависят от координаты х = г. [c.122]

При рассмотрении движения точки под действием центральной MjH,i доказано, что траектория точки является плоской кривой, г. е. в )гом случае у точки только две степени свободы. Сила гяготения однородного шара относится к числу цен1ральных сил. Задачу о движении точки под действием гаких сил удобно решать в полярных координатах. [c.547]

Суммируя равенства (9.90) и выражая в них г через модуль и аргумент Z = г ( os 0 + / sin 0), придем к представлению бигармонич-ской функции, которое используется при решении некоторых плоских задач в полярных координатах [c.240]

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавщись полярными координатами с началом в притягивающем центре ( 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах 17.10 положить т = 0. [c.327]

На рис. 10.2 показана сеточная разметка одной модели колеса в виде четырехзуб0 Г0 сектора при вычислении функций влияния вариационно-разностным методом (плоская задача в полярных координатах). [c.184]

Достаточно широкий класс решений плоской задачи можно получить, если перейти к полярным координатам, считая = ог1з(г) и используя результаты 22. В качестве примера приведем решение С, Г. Лехницкого при [74], согласно которому в этом случае [c.131]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

Для решения этой задачи восполь зуемся результатами решения плоской задачи теории упругости в полярных координатах (см. 2.3). Особенности крепления торцов заряда твердого топлива учитывать не будем и заменим реальный двигатель упрощенной схемой (рис. 14.10). Обычно модуль упругости материала корпуса двигателя на несколько порядков больше, чем модуль упругости твердого топлива поэтому на первом этапе решения при определении напряженно-деформированного состояния заряда деформациями корпуса можно полностью пренебречь и принять его абсолютно жестким [22]. В этом случае при осесимметричном нагружении заряд твердого топлива, изображенный на рис. 14.10, находится в условиях плоского деформированного состояния (е — 0). Воспользовавшись уравнениями (2.30) и (2.31), запишем [c.378]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

При изучении распределения напряжений в пластинках, ограниченных прямоугольным контуром, мы пользовались системой прямоугольных координат. В целом ряде дальнейших задач при определении напряжений в пластинках, ограниченных круговым контуром, и в круговых кольцах прямоугольного поперечного сечения является более выгодным применение полярных координат. Рассмотрим, как напишутся уравнения равновесия плоской задачи я уравнение для определения функции напряже- ний в этих координатах. Положение какого-либо бесконечно малого элемента АВСВ (рис. 27), выделенного из пластинки двумя плоскостями ОА и ОС, проходяш,ими через ось 2, и двумя цилиндрическими поверхно- [c.91]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

В [5, 50] изучается случай, когда область контакта П — незаштрихо-ванный клин угла 2(3 (рис. 1). Основное внимание уделяется выделению особенностей контактных давлений в кончике штампа. Исключаются решения уравнения (1) с бесконечной энергией типа решения В. Л. Рвачева [54] для задачи б при о = тг/4 и плоской подошве штампа. Вводятся полярные координаты г = р соз ф, г = рБшф и новые функции (р, ф) = д(г,, Ф) /( 5 )- При помощи преобразования Меллина получается одномерное интегральное уравнение. Для случая f p, ф) = ( 1 6 [c.185]

Еще одно подтверждение малой чувствительности СГК к качеству сетки дает рис. 2. Па нем для обтекания с числом = 2 заостренного плоского тела с нолууглом при вершине 45° дано распределение по телу ошибок величины /. Па рассчитанном режиме скачок отошедший, жрх,ру,... в точке торможения обращаются в бесконечность, что затрудняет получение аккуратных результатов. Сплошной ломаной показаны ошибки расчета по СГК на простейшей сетке, образованной лучами ио = onst с равномерным разбиением отрезков между стенкой и скачком (ио - угол полярных координат с центром внутри тела, число ячеек А/" = 10 X 10, головной скачок выделялся). Ошибки расчетов, выполненных в [11] на подобной сетке с А/" = 19 х 19 и на специальным образом улучшенной (адаптированной) сетке сА = 11x11, даны на рис. 2 пунктиром и штрихами. Па хороших сетках схема [11] дает весьма точные результаты. Панример, в задаче обтекания кругового цилиндра она слегка превосходит использованную в настоящей работе реализацию СГК. Тем не менее, в более сложном случае рис. 2 ни почти четырехкратное увеличение N, ни специальная адаптация сетки [c.206]

Если -р —функция напряжений, представляющая решение плоской задачи в полярных координатах г н 0, при отеутствии объемных снл, то она удовлетворяет уравнению [c.202]

Для плоских задач с помощью преобразования Фурье можно построить решения первой и второй граничных задач для бесконечной и полубесконеч-ной областей, с помощью синус- или косинус-преобразования Фурье для полосы конечной ширины, а также для слоистых пластин. При рассмотрении в полярных координатах удобным является преобразование Меллина с его помощью получаются, например, решения для клиновидной области. Впрочем, существует тесная связь между преобразованием Меллина и комплексным преобразованием Фурье. [c.127]

В работах [224—227, 250] при решении задач при смешанных и контактных условиях используется методика, развитая в работе [259]. В ней уравнения плоской Teo-piiin упругости в полярных координатах путем замены г=а ехр р приведены к уравнениям с постоянными коэф фициентами, которые затем используются при построении частных решений плоской задачи в переменных р, 0. [c.147]

Плоская деформация в круговом цилиндре ). Метод, вполне аналогичный развитому в 183 и 185, может быть применен и к задаче о плоской деформаций в круговом цилиндре. Пусть будут г, в полярные координаты на плоскости (х, у), в которой происходят смещения. В качестве гармонического полинома целого порядка служит выражение г" (а, os я9-f--j-sin л6), где а и — постоянные коэфициетт при г" аналогичен поверхностной сферической функции решение, кото юе здесь играет такую же роль, как (38) 183, будет [c.282]

При данной конфигурации области процесс термомагнитной конвекции естественно рассматривать в цилиндрической системе координат, совместив ось z с осью цилиндров. Введем безразмерные переменные, ныбрав характерным размером толщину зазора —rl, характерными градиентами магнитного поля и температуры — соответственно G=[H(r )—Я(гг)]/с =//2яг1г2 и 7 = = (7]—To)ld. На стенке внешнего цилиндра, соответствующей безразмерному радиусу г= 1/(1—rilr ), значение безразмерной температуры удобно взять 7 = 0 тогда на противолежащей стенке г=1/(1—г,/г2) — 1 получим 7=1. Симметрия формы стенок, температурных условий на них и структуры магнитного поля таковы, что при невесомости (Gr = 0) двумерной математической моделью может служить как система уравнений (1.24) (плоская задача), так и система уравнений (1.26) (осесимметричная задача). В плоской задаче решение предполагается не зависящим от координаты z, в осесимметричной — от полярного угла ф. [c.146]

При численном решении задачи несимметричного обтекания плоского контура методом интегральных соотношений возникают затруднения. В симметричной задаче граничными условиями для ЗN дифференциальных уравнений служат 2N условий симметрии течения на оси и N условий регулярности решения при прохождении особых точек. При несимметричном обтекании решение должно удовлетворять N условиям регулярности с каждой стороны тела, что дает 2N условий. Однако 2N условий симметрии при этом отсутствуют, что требует в общем случае наложения дополнительно N условий для определения решения. До настоящего времени нет способа выбора этих условий для N > 1. При ТУ = 1 задача о несимметричном обтекании плоской пластины решена А. М. Базжи-ным (1963). А. Н. Минайлос (1964) применил метод интегральных соотношений для расчета " сверхзвуков ого обтекания затупленного тела вращения под углом атаки. При этом он использовал осесимметричную систему координат типа применяющейся в теории пограничного слоя. Записав уравнения в дивергентной форме, А. Н. Минайлос аппроксимирует входящие в эти уравнения величины, как это делается ]ц в стандартном методе О. М. Белоцерковского, полиномами по координате, нормальной телу азимутальные же распределения параметров аппроксимируются рядами Фурье по полярному углу. В рядах Фурье, кроме постоянного члена, сохраняется лишь еще один член. При этом (ср. работу В. В. Сычева, [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...