Уравнения плоской задачи в полярных координатах

Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах [c.260]

Выведем основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение сплошности, формулы Коши и формулы обобщенного закона Гука. [c.81]

Для составления основного уравнения плоской задачи в полярных координатах с помощью функции напряжений воспользуемся выражениями уравнения совместности деформаций через функцию ф (бигармоническое уравнение) и преобразуем его из декартовых в полярные координаты. При этом мы воспользуемся соотношениями (5.1), (5.3). [c.94]

Проверим, удовлетворяет ли выбранная функция (5.38) основному уравнению плоской задачи в полярных координатах (5.17). [c.103]

Этим приемом мы воспользуемся дальше при исследовании напряжений вблизи I круглых отверстий и при определении напряжений в круглом кольце, здесь жр приведем общее решение дифференциального уравнения плоской задачи в полярных координатах Выражение для функции напряжений представится так [c.100]

Согласно известным уравнениям плоской задачи в полярных координатах г и 0 имеем для обеих областей уравнение равновесия [c.299]

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАДАЧИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 185 [c.185]

Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах Зависимости между компонентами тензора напряжений в полярных координатах (Огг, гее, Огв) н в декартовых координатах (а , 0гг> 0,2) на основании (2.32) определяются равенствами [c.260]

Решение плоской задачи в полярных координатах в напряжениях заключается в отыскании трех функций 0,.(г, 0), т, (т, 0) и +д(/-, 0) с помощью трех уравнений двух уравнений равновесия (6.1) н уравнения сплошности (6.2), удовлетворяющих условиям на поверхности. [c.98]

Таким образом, для решения плоской задачи в полярных координатах и определения напряженного и деформированного состояния упругого " тела мы имеем уравнения равновесия (5.4), (5.5), геометрические уравнения (5.6) и физические уравнения (5.7) или (5.8). [c.92]

Следовательно, если использовать функцию напряжений, то для решения плоской задачи в полярных координатах необходимо подобрать такое выражение функции ср, которое бы удовлетворяло уравнению (5.17) и граничным условиям. При этом уравнения равновесия будут удовлетворяться тождественно. [c.95]

Кап записываются уравнения равновесия плоской задачи в полярных координатах [c.117]

Рассматривая уравнения равновесия плоской задачи в полярных координатах (18.3), убеждаемся, что второе уравнение удовлетворяется тождественно, а из первого с учетом (22.28) следует [c.509]

Таким образом, решение плоской задачи в полярных координатах сводится к интегрированию дифференциального уравнения [c.92]

Такое уравнение мы имели при решении плоской задачи в полярных координатах (см. стр. 95). [c.394]

Эти уравнения заменяют собой уравнения [18] (см. стр. 32), когда мы рассматриваем плоскую задачу в полярных координатах. [c.65]

Из различных решений этого дифференциального уравнения в частных производных мы получим решения плоской задачи в полярных координатах для разных условий на контуре. Рассмотрим несколько примеров таких задач. [c.67]

Выведем теперь основные уравнения теории упругости для плоской задачи в полярных координатах. Займемся сначала дифференциальными уравнениями равновесия (I). Выделим из тела элемент а1>сй с центральным углом 6 и наименьшим радиусом л Стороны его будут (рис. 66) [c.185]

Общность этого решения доказывается, как и в 56, путем определения функций /1, /2, /з из уравнений первой строки (9.18) и подстановки их в остальные уравнения. Как и в случае плоской задачи в полярных координатах, формулы (9.18) значительно упрощаются, если напряженное состояние не зависит от координаты 6 тогда выпадают все производные по этой координате получаем [c.249]

Решение этих уравнений производится на основе общего решения плоской задачи в полярных координатах, причем функция напряжений и перемещений, удовлетворяющая уравнению совместности записывается так [c.195]

Преобразуем к полярным координатам уравнение сплошности в плоской задаче. В декартовых координатах уравнение сплошности (5.9) имело такой вид [c.82]

Заменяя с помощью этого тождества напряжения в формуле (а), получаем уравнение сплошности для плоской задачи в полярной системе координат [c.83]

Для определения напряжений в пластической зоне рассмотрим уравнения равновесия плоской задачи в полярной системе координат (6.1), которые при отсутствии объемных сил имеют такой вид [c.281]

Для случая плоской деформации и материала без упрочнения привести полный комплект уравнений теории пластичности в полярных координатах. Показать, что как и в предыдущей задаче решением трех основных уравнений (два уравнения равновесия и условие пластичности) может быть получено уравнение, содержащее только касательное напряжение это уравнение имеет вид [c.235]

Примем направление падающих частиц за ось и будем рассматривать вопрос о движении электронов как плоскую задачу, лучше всего, исходя из уравнения траектории частицы в полярных координатах с А в качестве полюса системы координат и фокуса гиперболической траектории. Границей искомой области будет огибающая всех траекторий. Ввиду того, что М ш, ион А может рассматриваться как неподвижный. [c.317]

Уравнения равновесия. В уравнениях равновесия по сравнению с таковыми в плоской задаче в полярной системе координат добавляются подчеркнутые в (9.145) члены в первых двух уравнениях и, кроме того, имеется третье уравнение [c.688]

Рассматривается задача о распространении упругого импульса, обусловленного осесимметричным давлением, приложенным к контуру кругового отверстия в безграничной тонкой упругой пластине в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Вследствие осевой симметрии будет иметь место только радиальное смещение и, поэтому уравнение упругого движения в полярных координатах, полюс которых совпадает с центром отверстия, запишется в следующем виде [c.262]

В следующем 3.2 рассматривается задача о движении космического летательного аппарата в центральном гравитационном поле планеты. Определяются уравнения плоского движения в полярной системе координат, интегрируя которые можно найти траекторию полета аппарата. Изучаются уравнения орбит, их параметры и особенности в тесной взаимосвязи со скоростными характеристиками движения самого аппарата. [c.77]

Подберем вырангение для ф таким, чтобы удовлетворялись уравнения (5.37) и основное уравнение плоской задачи в полярных координатах (5.17). [c.102]

В полярной системе координат положение любой точкп на плоскости определяется двумя величинами радиус-вектором г и полярным углом 0, отсчитываемым от начального радиус-вектора Го. Рассмотрим основные уравнения плоской задачи в полярных координатах дифференциальные уравнения равновесия, уравнение неразрывности деформаций, формулы Коши и формулы обобщенною закона Гука. Вырежем из пластинки толщиной, равной единице, алемент ub d (рис. 32). Для этого проведем радиус ОаЬ иод прои ш1) 1ьным углом 0 к начальному радиус-вектору, затем дадим углу бесконечно малое приращение d0 и проведем радиус Ode. Произвольным радиусом Оа г проведем дуг ad, затем дадим радиусу г приращение аЬ dr и ироье- [c.86]

Вернемся к обш.им уравнениям плоской задачи в полярных координатах и рассмотрим тот случай, когда объемные нагрузки gr gtgQ равны нулю. В 2.1 было показано, что решение плоской задачи в прямоугольной декартовой системе координат сводится к решению бигармонического уравнения (2.8) при этом напряжения выражаются через функцию напряжений ф по формулам (2.6). Вывод этих соотношений можно повторить и в полярных координатах, но делать это не обязательно достаточно преобразовать формально окончательные зависимости при переходе к полярной системе координат. При этом внешний вид бигармонического уравнения (2.8) сохраняется, но в полярной системе координат оператор Лапласа запишется так [c.52]

В первых пяти главах учебника рассматриваются общие вопросы теории упругости (теория напряжений и деформаций, основные соотношения и теоремы, постановка и лгетоды решения задач теории упругости, плоская задача в декартовых координатах, плоская задача в полярных координатах). В шестой и седьмой главах излагаются основные уравнения теории тонких пластин (гибких и жестких) и некоторые задачи изгиба и устойчивости пластин. Восьмая глава учебника посвящена рассмотрению приближенных методов решения задач прикладной теории упругости (вариационных, конечных разностей, конечных элементов). В девятой главе рассматриваются основы расчета тонких упругих оболочек, причем основное внимание уделено вопросам расчета безмоментных и пологих оболочек. В десятой главе изучаются основы теории пластичности. Здесь рассмотрена и теория расчета конструкций по предельнол1у состоянию. [c.6]

Следовательно, выбранные выражения для панряженш Ог, Ов, Хгв через функцию напряжений ср действительно удовлетворяют уравнениям равновесия плоской задачи в полярных координатах. [c.94]

При составлении дифференциальных уравнений равновесия мы воспользуемся результатами, полученными при решении плоской задачи в полярных координатах ( 37). Напишем уравнения равновесия для бесконечно малого элемента (рис. 85), выделенного из тела двумя меридиональными плоскостями, двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами г ж г йг ш двумя поперечными сечениями, проведенными на расстоянии г друг от дрзгга. Кроме сил, которые мы принимали во внимание при решении плоской задачи, сюда войдут еще усилия по верхней и нижней граням выделенного элемента, перпендикулярным к оси 2. Нормальные напряжения по этим граням обозначим через 22, а касательные напряжения — через Г2 и 02. Проектируя все приложенные к элементу силы на направление радиуса, направление оси 2 и направление перпендикуляра к плоскости rz, получаем таким же образом, как и в случае плоской задачи, следующие уравнения равновесия [c.150]

Если -р —функция напряжений, представляющая решение плоской задачи в полярных координатах г н 0, при отеутствии объемных снл, то она удовлетворяет уравнению [c.202]

Тогда, отбрасывая величины третьего порядка малости и деля оба уравнент1п на площадь элемента dr rdfl, получаем дифференциальные уравнения равновесия для плоской задачи в полярной системе координат [c.87]

В первой части курса излагается общ ая теория напряженного и деформированного состояния. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях и перемещениях для трехмерной изотропной среды. Принцип возможных перемещений применяется для изотропного зшру-гого тела. При помощи методов, применяемых в курсе сопротивления материалов, исследуются растяжение, кручение и изгиб стержней. Как частный случай общей теории приводятся общие соотношения для плоской деформации и плоского напряженного состояния. Дано решение дифференциальных уравнений плоской задачи в целых полиномах, а также в гиперболотригонометрических функциях применительно к изгибу тонкой полосы. Разбирается случай полярных координат. Описано применение энергетического метода к плоской задаче. [c.5]

Прежде чем излагать схему численного решения, запишем уравнения плоской вихревой стационарной задачи в полярных координатах (г, 6) такая система естественна для рассматриваемой задачи обтехания круга. [c.191]