Системы, допускающие разделение переменных

Такая система допускает разделение переменных тогда и только тогда, когда существует невырожденная матрица [c.654]

Таким образом, если система допускает разделение переменных, то функция Н должна иметь следующий вид [c.305]

Теорема Штеккеля утверждает, что система допускает разделение переменных тогда и только тогда, когда существуют неособая матрица размером п X п, элементы которой Urs зависят только от и матрица-столбец wi, Wi, . Wn , где Wr зависят только от такие, что [c.331]

Система допускает разделение переменных, если V имеет следующее выражение [c.335]

Тогда система допускает разделение переменных. [c.352]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

Применим метод разделения переменных к решению задач для кругового конуса (0 < г < сю, 0 0 а, —я ф я). Будем исходить, естественно, из сферической системы координат, в которых система уравнений (4.4) гл. II допускает разделение переменных. Будем исходить лишь из достаточно частного класса решений, когда все смещения пропорциональны 1/г и, кроме того, смещения щ и ив пропорциональны os пф, а Мф — — sin пф (п — произвольное целое, неотрицательное число). [c.341]

Бюргере - показал, что задача о комбинированном эффекте Штарка и Зеемана (движение электрона вокруг ядра, возмущенное внешним электрическим и магнитным полями) не допускает разделения переменных ни при каких системах координат, и вместе с тем разделение переменных возможно после соответствующего канонического преобразования. [c.279]

Наконец, часто К удается представить в виде суммы функций, каждая из которых зависит лишь от одной координаты q (и, разумеется, от постоянных а или части их). Если для уравнения (16.5.4) существует полный интеграл такого вида, то говорят, что система допускает разделение выбранных координат. К таким системам относятся почти все системы элементарной динамики. Возможность разделения переменных зависит как от самой системы, так и от выбранных для ее описания лагранжевых координат. [c.291]

Разделение переменных. Некоторые механические системы, описываемые определенной системой лагранжевых координат, допускают разделение переменных. Иными словами, написанное для такой системы модифицированное уравнение в частных производных (16.5.4) имеет полный интеграл в виде суммы п функций, каждая из которых зависит от одной из п координат. Подобные системы обладают рядом важных и интересных свойств, изучение которых составит предмет этой главы. Возможность разделения переменных зависит как от самой изучаемой системы, так и от выбранной для ее описания системы координат. Естественно, возникает вопрос каковы условия, при которых возможно разделение переменных, и каковы свойства систем, допускающих это разделение Б дальнейшем мы ограничимся рассмотрением натуральных систем с п степенями свободы, для описания которых используются п лагранжевых координат. [c.303]

Система Лиувилля ). В 17.2 мы видели, что система с двумя степенями свободы допускает разделение переменных, если ее кинетическая и потенциальная энергии имеют следующие выражения [c.329]

Таким образом, ненатуральная системы (18.18.1) допускает разделение переменных. [c.356]

Все рассматриваемые в этой главе задачи в отличие от гл. 6 — 10) допускают разделение переменных и сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений восьмого порядка, которую несложно решить одним из численных методов [14, 48, 84]. Проводимое в этой главе асимптотическое решение имеет целью выяснить качественную сторону потери устойчивости оболочек вращения отрицательной гауссовой кривизны. [c.209]

Линеаризованная система (И) допускает разделение переменных и частные решения вида у х)К-°-. Будем искать общее решение в виде суперпозиции частных [c.278]

Если задачу удается свести к одномерной, то говорят, что задача допускает разделение переменных. Мы проведем анализ следствий, вытекающих из разделения переменных, в более простом случае системы Лиувилля. [c.351]

Система (7.16) допускает разделение переменных. Действительно, выполним каноническую замену переменных [c.303]

XIX столетие, в особенности его вторая половина, было эпохой замечательных успехов математической физики, Пуассон, Коши, Грин, Кирхгоф и особенно Стокс и Релей — вот очень неполный перечень имен, если его можно считать достаточным. Однако, за исключением обсуждения Стоксом вопроса о природе естественного и частично поляризованного света как суперпозиции многих поляризованных волн (разд. 5.13 этой книги), основные проблемы оптики не были решены. Поиски направлялись скорее на умение математически формулировать сложные явления, чем на проникновение в физическую сущность простых явлений. Были найдены координатные системы, в которых волновое уравнение допускает разделение переменных. Толкование Френелем принципа Гюйгенса было математически обосновано Кирхгофом. Бесселевы и родственные им функции стали могущественным оружием. Проблемой, типичной для той эпохи, было рассеяние света однородным шаром, что является одной из главных тем этой книги. Она оказалась одной из весьма трудных проблем, и, хотя многие частные случаи были рассмотрены ранее, ее полное решение было сформулировано Ми только в 1908 г. [c.17]

Двухмерные уравнения (1.8) в цилиндрической системе координат допускают разделение переменных [16], т. е. Яг и Ег можно представить в виде произведения двух функций Е г)Ф(а). Функция Ф а), определяющая зависимость по угловой координате а, имеет вид exp[i(va +ао)], где v = 0, l, 2,. .. о — начальная фаза. Функция F r), определяющая зависимость поля по радиусу, удовлетворяет уравнению [c.24]

Так как система нулевого приближения (7.22) возмущенной системы (7.23) допускает разделение переменных благодаря известной группе инвариантности, то перейдем в системе (7.23) к новым переменным (см. 4 гл. 1) [c.139]

Очевидно, что (5.5) имеет однородное по пространству стационарное решение R = m/7, N = а/7. Заметим, что система (5.5) допускает разделение переменных. Положив R x, t) =/i (i) i(x) и N(x, t) = /2 (0 2 (jf) для fi и gi, получим [c.204]

Для сферически симметричного потенциала и(г) уравнение (2.1) проще всего рещать в сферической системе координат. В этом случае уравнение Шредингера для атома водорода допускает разделение переменных. Собственные волновые функции уравнения (2.1) ищутся в виде ф = 7 (г)0( 9)Ф(( ), где г, , — сферические координаты. Рещение этих уравнений совместно с соответствующими граничными условиями приводит к появлению трех целочисленных квантовых чисел п, /, т/, которые служат параметрами для собственных волновых функций уравнения (2.1), описывающих состояния электрона в атоме. Учет спина электрона приводит к появлению четвертого квантового числа т . Полная волновая функция электрона равна произведению координатной и спиновой волновых функций. Пространственная (координатная) часть волновой функции электрона в атоме называется атомной орбиталью. [c.17]

Основные трудности при решении краевых задач с условиями на движущихся границах связаны с тем, что они не допускают непосредственного применения метода разделенных переменных -одного из наиболее мощных методов математической физики. Особенно остро это касается неодномерных задач, которые рассматриваются в пятой главе. В настоящее время отсутствуют регулярные методы точного решения двух- и трехмерных задач. В них, как правило, ограничивались отысканием приближенных решений при медленных движениях границ путем разложения искомого решения по мгновенным модам квазистатического приближения 5.10, 5.11,5.13]. Такой подход, как отмечалось выше, не адекватен физической сущности задачи и в двумерных системах не позволяет описать явление аберрации при наклонном падении волны на движущуюся границу, двойной эффект Доплера, наличие крити- [c.16]

Для разделения переменных в уравнении (3.8) необходимо, чтобы система координат Ig) допускала представление [c.50]

В заключение отметим, что сделанные выводы справедливы не только для задач молекулярной спектроскопии, но и для любых задач физики, решение которых допускает в некотором приближении разделение переменных, функцией которых является гамильтониан исследуемой системы. [c.62]

Простым примером может служить задача о ньютоновых орбитах, т. е. задача о плоском движении частицы под действием притяжения к центру с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Разделение переменных можно осуществить, воспользовавщись полярными координатами с началом в притягивающем центре ( 16.9). Тот же самый результат мы получаем, если используем параболические координаты. (См. 17.9, где рассмотрен случай движения в поле притяжения к центру с наложенным на него однородным полем. В этом случае, как мы видели, система допускает разделение переменных в параболических координатах. Ясно, что это свойство сохраняется и при отсутствии однородного поля.) Имеется еще и третья возможность разделения переменных — выбор конфокальных (эллипсоидальных) координат. В самом деле, чтобы получить задачу о ньютоновом притяжении к одному центру, достаточно в формулах 17.10 положить т = 0. [c.327]

Таким образом, система допускает разделение переменных, и интегралы лаг-ранжевых уравнений движения имеют вид [c.330]

Отметим, что если мы допускаем произвольные канонические замены переменных в фазовом пространстве, то тогда любая- вполне интегрируемая гамильтонова система решается разделением переменных для этого достаточно перейти к переменным действие— угол. В такой общей постановке задача о существовании разделенных канонических координат по существу эквивалентна задаче о наличии полного набора инволютивных интегралов. [c.100]

Доказано, что если уравнение (10.2.12) допускает разделение переменных, то необходимо существует система функций ( , / = 1, 2,. .., А) и система к функций Wi(qi) ( = = 1, 2,. .., к), обладающих тем свойством, что коэффициенты сч Я, Я2, Як) и силовая функция и диЯ2, , Я ч) представляются соотношениями [c.816]

Существенным обстоятельством, которое следует принять во внимание, является принадлежность преобразующих функций (2.10) к классу )д (G), т. е. эти функции должны обращаться в нуль в точке ж = О, являющейся точкой покоя централизованной системы (2.1). Будем говорить, что централизованная система (2.1) допускает разделение переменных над, 0о (G) па быстрые и медленные, если с помощью замены переменных (2.10) она преобразуется в совокупность двух последовательно интегрируемых подсистем порядков к ж п — к. Причем система порядка /с содержит медленные переменные и имеет вид [c.101]

В частности, такая возможность представляется в случае, когда гамильтониан допускает простое или сложное разделение переменных (см. 16). Например, в лиувиллевой системе [c.271]

Ур-ния Г. о. м. значительно проще, чем исходное волновое ур-ние, т. к. сводятся к системе обыкновенных дифферснц. ур-ний (3) или (4). Для сравнительно просто устроенных сред эти ур-ния допускают аналитич. решения, в т. ч. методом разделения переменных, но чаще используют приближенные решения методом возмущений и численными методами. Б рамках Г. о. м. легко описать слабое поглощение в среде вводя соот-ветств. фактор ослабления вдоль криволинейного луча), а также отражение и преломление на криволинейных границах раздела, для чего используют Френеля формулы. [c.440]

Давно подмечено следующее важное обстоятельство известные интегралы уравнений динамики — полиномы по импульсам (либо функции от этих полиномов). Так, например, нётеровы интегралы линейны по импульсам, а интегралы в гамильтоновых системах, решаемых с помощью разделения переменных, — квадратичные функции от импульсов. Это наблюдение допускает обоснование в некоторых важных частных случаях. [c.65]

Параметры двусторонних гидро-пульсационных установок зарубежного производства приведены в табл. 20. В СССР выпускают знакопеременные гидропульсационные установки нескольких типов с верхним и с нижним расположением цилиндров (табл. 21). В знакопеременных гидропульсацион-ных установках применяют чисто гидравлические, неразделенные и разделенные гидропневматические аккумуляторы, Большое преимущество чисто гидравлических аккумуляторов — возможность использовать весь диапазон рабочих давлений. Однако относительно высокая жесткость жидкостной системы приводит к потере части циклической энергии на возбуждение переменной составляющей противодавления. Обычно допускается размах давления в системе противодавления при максимальной амплитуде давления пульсатора до 4 МПа. Поскольку сопротивления соединительных трубопроводов носят активный и реактивный характер, объемная упругость масла в аккумуляторе может быть скомпенсирована для определенного диапазона рабочих частот. [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...