Движение сферы в вязкой жидкости

Плоское течение между двумя пластинками. В преды-дущих параграфах было дано в точном виде решение нескольких задач гидромеханики вязкой жидкости. Как уже указывалось, интегрирование уравнений гидромеханики вязкой жидкости в точном виде удаётся сравнительно редко нужно, помимо того, отметить, что многие точные решения уравнений гидромеханики вязкой жидкости имею г мало гидродинамического интереса, так как они могут быть осуществлены только при наличии граничных условий необычного в практике вида. С другой стороны большинство важных с точки зрения возможности эксперимента или наблюдения в природе движений вязкой жидкости не поддаётся точному гидромеханическому анализу. В качестве примера можно указать на задачу о движении сферы в вязкой жидкости с постоянной по величине н направлению скоростью. [c.498]

Так именно и поступил Стокс 1), впервые решивший в 1851 г. задачу о движении сферы в вязкой жидкости. Отбрасывая в основных уравнениях движения (5.1) инерционные члены и полагая, что внешние силы отсутствуют, мы получим систему уравнений [c.504]

К числу известных задач, которые решаются в таком приближении, относится задача о плоском течении очень вязкой жидкости между двумя пластинками, о медленном движении малой сферы (задача Стокса) [1—2]. Решение, соответствующее последней задаче, приводит к известной формуле Стокса для силы сопротивления, которую испытывает сфера в вязкой жидкости [c.23]

Из сравнения полученных результатов с аналогичными результатами для случаев движения твердой сферической частицы в вязкой жидкости видно, что скорость свободного установившегося движения газового пузырька будет в 1.5 раза выше, чем для твердой сферы [2] при тех же размерах частицы и плотностях фаз. Однако экспериментальные наблюдения показывают, что малые пузырьки движутся со скоростью, близкой к соответствующей закону Стокса [c.25]

Строгое аналитическое решение задачи о движении сферы в реальной (вязкой) жидкости было получено лишь применительно к условию Re 1, т.е. для весьма медленного обтекания жидкостью сферы малых размеров. Впервые эта задача была решена еще в 1851 г Стоксом, который ввел для анализа специальную функцию тока. Здесь будет представлен другой метод решения [26]. [c.191]

При движении крупных пузырей в вязких жидкостях, когда числа Re не очень велики (Re = 50—250), в кормовой части пузыря образуется система парных вихрей (рис. 5.8, а). При больших числах Re Б кормовой зоне отчетливо виден турбулентный след, характерный для отрывного обтекания жидкостью таких тел, как твердые диски, сферы (рис. 5.8, б). [c.209]

Наряду с силами акустич. происхождения, зависящими от сжимаемости среды, на тела, помещённые в звуковое поле, действуют также, силы, вызванные движением тела относительно среды. Такие силы наз. гидродинамическими. К их числу относится сила сопротивления, к-рую испытывает тело, движущееся с пост, скоростью в вязкой жидкости. Для жёсткой сферы радиуса я, движущейся со скоростью и. [c.85]

Необходимо также отметить применение уравнений медленного течения в гидродинамической теории смазки. Исследование относительного движения двух близко расположенных параллельных поверхностей было начато Рейнольдсом [25]. Развитые им методы применялись с тех пор в разнообразных задачах теории смазки [14]. В дополнение к пренебрежению инерцией принимается, что течение жидкости существенно одномерно. Такие же упрощения применялись также, например, к исследованию аксиального движения сферы в круглой трубе, заполненной вязкой жидкостью, в случае, когда диаметр трубы ненамного больше диаметра сферы [8], и для вязкого течения в зазоре между параллельными круговыми цилиндрами в случае, когда зазор между ними мал по сравнению с их диаметром [17]. В первом случае наблюдается хорошее согласие эксперимента с теорией. Имеется также много других аналогичных применений данной теории. [c.76]

Обращает на себя внимание резко выраженная зависимость этого вектора от радиуса сферы В и поперечного размера полости е. Сравнительно с формулой Стокса, относящейся к движению сферы в безграничной вязкой несжимаемой жидкости, сопротивление той же жидкости движению сферы внутри близкой по размеру оболочки по порядку в (7 /е) раз превосходит сопротивление движению в безграничной жидкости. [c.423]

Выражение для приведенной силы взаимодействия между несущей средой и включениями записать в общем случае не представляется возможным, ибо такое общее выражение не получена даже для случая движения одиночной сферы в однородном потоке вязкой несжимаемой жидкости с переменной скоростью. Следует отметить, что даже в этом случае сила взаимодействия зависит от предыстории движения. Оставляя пока вопрос об имеющихся выражениях для силы взаимодействия фаз (об этом см. гл. 2—4), остановимся на структуре формул. Силу взаимодействия целесообразно представить в виде суммы нескольких составляющих разной природы. В первую очередь следует разделить на две части на составляющую из-за воздействия макроскопического поля давлений — а р, которая не связана со скоростной неравновесностью между фазами, и составляющую, которая связана именно со скоростной неравновесностью между фазами (несовпадение и г,) [c.35]

В реальной (вязкой) жидкости потенциальное безотрывное обтекание сферы нереализуемо. С этой точки зрения результат, выражаемый равенством (5.13), казалось бы не должен представлять никакого практического интереса. Однако, как мы убедимся в дальнейшем, разумное использование закономерностей потенциального движения жидкости, в том числе и парадокса Даламбера, позволяет в ряде случаев успешно решать некоторые практические задачи, связанные с движением двухфазных сред. [c.191]

С другой стороны, для вязко-пластичного бингамовского тела, отличающегося от обычной вязкой жидкости наличием предельного напряжения сдвига (предела текучести удалось разрешить ряд задач, а именно осевое движение в цилиндрическом капилляре [7], движение между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами [8, 9], движение между двумя вращающимися концентрическими сферами [10], осевое движение между двумя коаксиальными цилиндрами и течение в плоском капилляре [11]. [c.31]

В качестве простой иллюстрации рассмотрим задачу об аксиальном движении без вращения твердой сферической частицы в круглой цилиндрической трубе, в которой течет вязкая жидкость. Полагаем, что радиус цилиндра много. больше радиуса сферы, а за ось z == Z выбираем ось цилиндра. Сферическая частица движется с постоянной скоростью и = кС/ параллельно оси, в то время как внешний поток жидкости направлен в том же направлении со средней скоростью = kf/o/2, где к — единичный вектор в направлении оси 2 и — невозмущенная скорость на оси трубы. Радиус трубы есть Rq радиальное расстояние от продольной оси трубы до точки в жидкости есть R, а центр сферы расположен на расстоянии R = Ь от оси. [c.86]

В двух статьях, опубликованных в 1845 и 1851 гг., Стокс впервые дал известное решение задачи о ползущем движении. В последней из них [Л. 1] он использовал приближенное уравнение (8-2), чтобы решить задачу об очень медленном обтекании неподвижного шара потоком жидкости И обращенную задачу о падении твердого шара в безграничной очень вязкой жидкости. Наряду с уравнением (8-2) полученное решение удовлетворяет уравнению неразрывности и обычному граничному условию относительная скорость на поверхности сферы обращается в нуль. Математические детали этой теории выходят за рамки настоящей книги (Л. 2, 5 ], однако основные ее результаты мы приведем. Они заключаются в следующем. [c.187]

Согласно этой векторной формуле, при вращении внутренней сферы вокруг некоторой оси, не сопровождаемом поступательным движением сферы, главный вектор реакций вязкой несжимаемой жидкости перпендикулярен к плоскости, проведенной через эту ось и линию центров внутренней и неподвижной внешней сфер. Формула (195) по своей структуре аналогична ранее выведенной формуле (174) для плоского движения цилиндрического шипа в подшипнике. [c.423]

Значительный практический интерес представляет рассмотрение вращательных движений цилиндра к цилиндре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер Н. П. Петров. Рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может пайти место в настоящем курсе. 1 [c.503]

Медленное вращение сферы. Рассмотрим теперь движение вязкой жидкости, вызываемое медленным вращением погруженной в жидкость сферы радиуса а около своего диаметра, причём угловая скорость вращения равна . Так как за характерную скорость в этом случае мы можем принять линейную скорость ша точек экватора сферы, то за число Рейнольдса можно взять iud й [c.502]

При этом из-за того, что граница пузырька является фактически свободной поверхностью и поперек пограничного слоя на этой границе скорость меняется мало, реализуется безотрывное обтекание, близкое к потенциальному обтеканию сферы. Формула (2.2.4) получена в предположении, что интенсивность вязкой диссипации во всем объеме жидкости (определяемая интегралом от т е ) нри стационарном движении пузырька равна [c.160]

Рассмотрим задачу о вычислении силы, действующей на магнитную Проводящую сферу радиуса а при ее равномерном движении в проводящей вязкой несжимаемой жидкости, находящейся в про- [c.448]

По принятой гипотезе напряжение является линейной функцией от направления нормали к площадке, на которой, как мы предполагаем, это напряжение действует. Выбирая на поверхности сферы различные элементарные площадки, получим соответствующие вязкие напряжения. Для невязкой жидкости ц = 0. Когда жидкость покоится, то д = 0. В обоих этих случаях вязкое напряжение обращается в нуль. Вообще говоря, допустимость применения принятой выше гипотезы требует исследования передачи количества движения, обусловленного случайным движением молекул, которому в конце концов напряжение и обязано своим существованием. Однако обращение к такого рода исследованию выходит за рамки этой книги, поэтому мы просто будем предполагать, что действие внутреннего трения в жидкости описывается тензором напряжений (5). [c.532]

Используем для оценки взаимодействия метод Озеена, Это метод был предложен в 1910 г. К. Озееном, и состоит он в устранении нелинейности в уравнениях гидродинамики. Первоначально метод был применен для уточеен-ного решения задачи движения сферы в вязкой жидкости, В 1927 г. метод был развит Озееном [39] для решения более сложных задач движения других тел в вязкой жидкости, в частности цилиндра и эллипсоида, как в жидкости неограниченной, так и ограниченной стенками каналов и труб. [c.212]

Уточнённое решение задачи о движении сферы. Осеен (Oseen) показал в 1910 г. на примере движения сферы в вязкой жидкости ), что мы получим гораздо лучщие результаты, если в уравнениях движения оставим только важнейшие из инерционных членов, отбросив остальные инерционные члены. [c.516]

Озеен [40], используя линеаризованные уравнения (2.6.4) для определения влияния инерции на сопротивление однородному поступательному движению эллипсоида в вязкой жидкости, получил результаты, аналогичные таковым для сферы (2.6.5). Так, для движения диска радиуса с перпендикулярно его плоскости в соответствии с (5.11.21) он получил [c.260]

Влияние проницаемости пористой сферы при медлс-ипом движении в вязкой жидкости было исследовано Йозефом и Тао [.398]. Было показано, что сила сопротпвлеи 1я проницаемой сферы соответствует силе сопротивления непроницаемой сферы с меньшим радиусом Не, равным [c.36]

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства [c.113]

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. [c.309]

Близкая модель была использована Каннингэмом [15] при изучении установившейся скорости сферических частиц в вязкой жидкости, который предположил, что каждая частица суспензии ограничена в своем движении эффективной концентрической массой жидкости, на которую она способна влиять. Однако он считал внешнюю поверхность твердой, соответствующей в некотором смысле поверхностям других сфер, имеющихся в облаке. Для этой модели характерна та трудность, что, поскольку объемы ячеек не являются взаимоисключающими, размер представительной сферической оболочки должен подбираться из дополнительных эмпирических соображений. [c.447]

Наряду с силами акустич. происхождения, зависящими от сжимаемости среды, на тела, помещённые в звуковое поле, действуют также силы, вызванные движением тела относительно среды. Такие силы имеют место при возникновении акустич. течений или микропотоков при кавитации и наз. гидродинамическими. К их числу относится сила сопротивления, к-рую испытывает тело, движущееся с постоянной скоростью в вязкой жидкости. Для жёсткой сферы радиусом о, движущейся со скоростью и, эта сила выражается ф-лой Стокса Рс = 6яаг г), где г) — динамич. коэфф. вязкости среды. [c.267]

Рассмотрим поступательное нестационарное движенне одиночной сферы постоянного радиуса а с фиксированной по направлению, но не по величине, скоростью v oait) в несжимаемой вязкой жидкости, покоящейся на бесконечности. Пусть нелинейные инерционные силы (как и в 6) малы (Рви, С 1), но (в отличие от 6) учтем линейные инерционные силы из-за быстрого изменения 2 (i). Решение задачи сводится к решению уравнений Стокса ползущего движения вязкой несжимаемой жидкости (3.3.24) в оо-системе координат (s = оо) с граничными условиями, заданными на подвижной сфере и на бесконечности [c.175]

В рамках стоксова приближения имеется известное решение Лдамара—Рыбчинского [25, 39] для совместного ползущего движения двух вязких жидкостей внутри (с вязкостью jij) и вне (с вязкостью pi) сферы, соответствующее обтеканию капель со ско-эостьто v . Это решение дает следующую формулу, обобщающую 5.2.2), для коэффициента сопротивления жидкой капли [c.254]

При моделировании поведения жидкостных систем в каналах или объемах иной геометрической конфигурации во многих случаях невозможно обойтись без информации о закономерностях взаимодействия дискретной частицы (капли или пузырька) с окружающей ( несущей ) фазой. Некоторые из этих закономерностей рассматриваются в пятой и шестой главах книги. Пятая глава посвящена установившемуся движению дискретной частицы в сплошной среде. Здесь рассмотрены классические задачи об обтекании сферы идеальной жидкостью и вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса, поскольку их результаты далее использованы при анализе движения газовых пузырей и жидких капель. Экспериментальные исследования всплывания газовых пузырьков в неподвижной жидкости показывают, что при различных сочетаниях объема пузырька и свойств мсидкости (прежде всего, вязкости) изменяются не только закономерности его движения, ко и форма. Это обстолте.т.. стг .о де- [c.7]

Пршзести выражение для силы межфазного взаимодействия в общем случае не представляется возможным, ибо оно не получено даже для случая движения одиночной сферы в однородном потоке вязкой несжимаемой жидкости с переменной скоростью. Отметим, что даже в этом случае сила взаимодействия в момент и зависит от предыстории движения сферы во времена t <. [c.31]

В этом разделе рассматривается медленное поступательное движение одиночной сферической частицы параллельно образующей бесконечно длинного кругового цилиндра, через который может протекать вязкая жидкость. Сфера может занимать любое наперед заданное положение. В рамках первого приближения был разработан [6] общий метод, использующий процедуру отражений. Хаберман [27] и др. исследовали более подробно осесимметричный случай, когда центр сферы лежит на оси цилиндра. Эти решения кратко рассмотрены в конце раздела. Нужно отметить, что здесь рассматривается случай, когда сфера не может вращаться в процессе движения. Так как здесь учитываются только поправки первого порядка, то влияние вращения на силу сопротивления будет незначительным. [c.342]

Гильдьял [26] рассматривает неустановившееся медленное течение вязкой жидкости, содержащейся между двумя концентрическими сферами. Например, один из рассмотренных случаев состоит в том, что внешней сфере мгновенно сообщается вращательное движение, после чего она вращается с постоянной угловой скоростью, в то время как внутренняя сфера остается неподвижной. Общее решение уравнений неустановившегося медленного течения для несжимаемой жидкости получается путем применения методов интегральных преобразований. Спустя достаточно долгое время в решении начинают преобладать стационарные члены, и оно сводится к решению, получаемому из (7.8.18). [c.404]

Рассматривается осесимметричное стационарное течение несжимаемой вязкой жидкости, покояпдейся на бесконечно-сти, вызванное заданным полем скоростей на сфере радиуса Ro с центром в начале сферической системы координат R, 6, ф. Движение описывается уравнениями Навье — Стокса [c.276]

Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, в связи с появле-д ием возможности использования быстродействующих электронно-счет-лых машин, по-новому встал вопрос о строгих численных решениях уравнений Навье — Стокса В первую очередь были проведены численные расчеты стационарного и нестационарного обтекания кругового цилиндра, сферы и пластины. Вместе с тем были продолжены поиски аналитических решений линеаризованных уравнений Навье — Стокса, относящихся к так называемым медленным движениям вязкой жидкости. [c.509]

Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости в полости между двумя эксцентрически расположенными сферами с центрами О и О (рис. 164, а) и радиусами К и / , причем К Разность радиусов г = [c.418]

Заметим, что в задаче обтекания постоянство вектора V, является обязательным [134] в отличие от постановок для вихревого движения идеальной жидкости, когда па бесконечности допустимо задание неоднородного поля скорости. Некоторый промежуточный вариант — внутренняя задача в неограниченной области, например задача о течении жидкости в бесконечной трубе. В этом случае вопрос о концевых условиях далеко не тривиален, хотя для ламинарных движений естественно считать, что на концах (имеющих разные сечения) асимптотически должны быть заданы нуазейлевы режимы. Частным случаем задачи в бесконечной области является проблема вязких струй, которая в обобщенной форхмулировке может быть поставлена следующим образом. На сфере единичного радиуса или иа другой ограничепиой поверхности дано произвольное поле вектора скорости. Требуется найти стационарное решение Ьне этой сферы, сопрягающееся с покоем на бесконечности. Теории вязких струй посвящена обширная литература [7, 26, 96]. Эта проблема подробно обсуждается в настоящей монографии. [c.11]

Рис. 1,2.10. Формирование конвективных ячеек валикового типа (а) и цилиндрического зонального потока (б) на быстро вращающейся жидкой сфере. Валиковая конвекция является наиболее характерной формой конвективной неустойчивости вязкой проводящей жидкости, подогреваемой снизу, при равномерном осесимметричном вращении, а коаксиальные цилиндрические поверхности служат наиболее общей формой зонального течения идеальной жидкости с внутренним адиабатическим градиентом температуры. Передача энергии наклонных конвективных ячеек зональному течению в сдвиговом горизонтальном слое отражает взаимодействие этих двух форм движений. Согласно Буссе, 1976, Ингерсолл, Поллард, 1982).

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...