Маятник простой (математический)

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной I и с переменным углом наклона к вертикали 1, если предположить силу тяжести направленной по О г (положение устойчивого равновесия оси Ог). Таким образом, ось Ог совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен [c.186]

Учтя условия, принятые на концах пластинки , он нашел выражение для длины простого математического маятника, совершающего соответствующее число колебаний в единицу времени [c.171]

В качестве третьего примера рассмотрим малые колебания простого (математического) маятника, т. е. колебания материальной точки М, подвешенной на нити длиной I (рис. 306). В примере 120 ( 114) мы получили уравнение, выражающее теорему о кинетической энергии для математического маятника в виде [c.439]

Пример 125. В кабине лифта, опускающейся с постоянным ускорением а <. подвешен простой (математический) маятник. Найти период малых колебаний этого маятника (рис. 317). [c.455]

Так как для простого (математического) маятника период колебания приближенно выражается формулой [c.525]

Найти малые колебания сложного математического маятника, состояш его из п последовательно подвешенных один к другому простых математических маятников длины I каждый. [c.174]

В случае простого математического маятника (рис. 101), применив принцип Даламбера и спроектировав вес и силу инерцни на направление касательной тп, получим уравнение движения [c.126]

Как видно, малые колебания математического маятника — это простые гармонические колебания. Они полностью аналогичны свободным колебаниям материальной точки, рассмотренным в 191. Период малых колебаний математического маятника определяется аналогично формуле ( .18Ь) так [c.404]

Математический маятник состоит из материальной точки массой М, расположенной на нижнем конце невесомого стержня длиной L, свободно вращающегося вокруг оси, проходящей через его верхний конец (рис. 7.1). Наша задача заключается в том, чтобы найти частоту собственных колебаний маятника. Самый простой путь решения этой задачи — суметь написать в соответствующем виде второй закон динамики F = Afa. Это может быть сделано так же, как и в задаче 7.6. Однако очень поучительно попытаться решить эту задачу, исходя из закона сохранения энергии. Чтобы получить уравнения (18)—(22), можно также исходить и из сохранения момента импульса. Отклонения маятника будем измерять углом 0, который стержень об- разует с вертикалью. [c.207]

Свободные колебания невесомого тела представляют собой простые гармонические колебания с частотой (периодом), равной частоте колебаний математического маятника, длина которого равна статической деформации системы от груза Q. [c.316]

Уравнение (1), определяющее угол 0 в функции от t, совпадает с уравнением движения простого (или математического) маятника длиной I (п° 150). Изменения угла 0 в случае физического маятника, определяющие движение прямой ОГ и, следовательно, движение самого физического маятника, те же самые, как и изменения угла наклона 0 нити в случае простого маятника длиной I. Таким образом, движение физического маятника приведено к движению простого, или так называемого синхронного, маятника. [c.76]

Другой путь избрал Бессель в своих известных Исследованиях о длине простого секундного маятника , чтобы освободиться от предположения об однородности частей маятника и одновременно исключить другую причину ошибок, которая состоит в следующем. Ось вращения маятника образуется обычно призмой, которая покоится на горизонтальной подставке. Но острие приз.мы представляет не математическую линию, а узкую часть цилиндрической поверхности очень большой кривизны это означает, что ось вращения маятника лежит не точно в плоскости, которая несет призму, и определяется неточно. Аналогичная ненадежность остается при любом другом способе подвешивания маятника. Бессель использовал два маятника, которые были образованы одним и тем же шаром, одной и той же призмой и двумя стержнями, разность длин которых измерялась с предельно возможной точностью. [c.72]

Отсюда и из времени колебаний обоих маятников можно было вычислить длину каждого соответствующего простого маятника без предположения, что шар однороден и острие призмы — математическая линия. [c.73]

Экспериментальное определение ускорения g силы тяжести. На теореме Гюйгенса основывается применение физического маятника для экспериментального определения ускорения силы тяжести. Для этого употребляется так называемый оборотный маятник. Он представляет собой физический маятник, с которым соединены две параллельные оси (ребра призм), содержащие в своей плоскости и на различном расстоянии от них центр тяжести маятника кроме того, оси расположены так, что маятник может качаться около каждой из них совершенно одинаково. В силу предыдущей теоремы расстояние I между обеими осями равно длине математического изохронного маятника, так что продолжительность Т одного простого качания при малых амплитудах будет приблизительно выражаться (гл. I, п. 38) так [c.16]

Прежде чем перейти к решению задачи о математическом маятнике, выведем элементарным путём некоторые простейшие свойства эллиптических интегралов и функций. Интеграл [c.216]

Свободные колебания невесомого тела суть простые гармонические колебания с частотой (периодом), равной частоте (периоду) ко i -баний математического маятника, длина которого равна статической деформации системы от груза Q. Так, например, если груз Q растягивает призматический стержень, [c.503]

Рассмотрим, например, одну из простейших колебательных систем — груз, подвешенный на нити. Ответ на вопрос о том, сколько степеней свободы имеет эта система, зависит от ее физических свойств и от того, что мы собираемся исследовать в ней. Если размеры груза малы по сравнению с длиной нити и дви>кения груза относительно нити несущественны, если нить можно считать недеформируемой, т. е. постоянной длины и прямолинейной, тогда можно рассматривать такую систему как математический маятник, т. е. как систему с двумя степенями свободы. Груз в виде материальной точки может двигаться по сфере, и для однозначного определения ее положения необходимо знать две независимые координаты. Если, кроме того, будут заданы начальные условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в определенной плоскости, то для определения положения такой системы достаточно одной координаты. [c.12]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Математический и физический маятники, груз, подвешенный на пружине, плавающее тело представляют собой примеры простейших механических систем, обладающих тем свойством, что, будучи выведенными из положения устойчивого равновесия и предоставленные затем самим себе, они совершают колебания. Системы такого рода называют колебательными системами, а совершаемые ими колебания — собственными . [c.336]

Поведение фазовых траекторий на всей плоскости ху, а также вблизи особых точек позволяет судить как о характере движения исходной системы, так и о характере ее состояний равновесия. В качестве примера рассмотрим простейшую линейную систему. Уравнение колебаний математического маятника имеет вид (стр. 135) [c.510]

Из приближенного решения (21) следует, что период малых колебаний маятника (малые фо) не зависит от начальных условий, т. е. малые колебания математического маятника являются простыми гармоническими колебаниями. В прилагаемой таблице даны значения , вычисленные по точной фор- [c.295]

Наиболее простым, с математической точки зрения, примером колебательного движения является математический маятник, т.е. точечный гр 0 на невесомой нити в поле тяжести. Нелинейность колебаний достигается при достаточно больших амплитудах. При этом невесомая нить предполагается несжимаемой (невесомый стержень). По этой причине мы изучим понятие солитона именно на простейшем механическом примере колебаний большой амплитуды математического маятника (без учёта трения). [c.5]

Собственно говоря, в предыдущем разделе иы имели не изолированную волну, а изолированное колебание. Чтобы получить волновое движение, нужна протяжённая среда, в которой могли бы распространяться волны. В простейшем случав речь идёт об одномерной среде и поперечных волнах, распространяющихся вдоль жёсткой оси, на которой на равных расстояниях друг от друга находятся математические маятники. Все маятники считаются одинаковыми. Они связаны друг с другом упругими пружинками (также одинаковыми). Задачу можно ещё более упростить, если предположить, что каждый маятник связан лишь с соседними маятниками (рис.7). [c.12]

К уравнению (7) сводится описание еще ряда других задач в различных предельных случаях. Уравнение математического маятника - один из простейших примеров нелинейного уравнения механики. Проведем его анализ. [c.250]

Кроме резонансных движений, высокочастотные вибрации приводят, как правило, к появлению осредненных эффектов. Примером двоякого действия вибраций может служить поведение такой простой системы, как математический маятник с колеблющейся точкой подвеса [2]. В отсутствие вибраций в статическом поле тяжести маятник имеет два положения равновесия устойчивое нижнее и неустойчивое верхнее. Вертикальные колебания точки подвеса с частотой, равной или кратной собственной частоте маятника, могут сделать нижнее положение равновесия неустойчивым, приведя к параметрическому резонансу. С другой стороны, вертикальные вибрации высокой частоты приводят к тому, что верхнее положение равновесия становится устойчивым. Горизонтальные высокочастотные вибрации точки подвеса достаточной интенсивности приводят к появлению новых устойчивых положений равновесия [3]. [c.7]

Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины I и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебрегается). [c.215]

Пример. Простой маятник (математический маятник) (i iir. 97). При малом [c.304]

Модели могут быть простыми и сложными. Простая модель описывает один вид движения материи (например, механическое) или является условным образом явления. Примером такой модели может служить описание математического маятника, подвешенного на невесомой и нерастяжимой нити, конец которой закреплен неподвижно. Движение только в одной плоскости описывается дифференциальным уравнением с четко определенными начальными условиями. Методами теории подобия, используя это дифференциальное уравнение, составляют уравнение подобия. Однако такая физическая модель является идеализированной. Она не учитывает дополнительные эффекты, связанные с трением, растяжением нити, сопротивлением воздуха при качании маятника и т.д. [c.452]

МАЯТНИК, твердое тело, качающееся около горизонтальной оси под действием силы тяжести. Различают М. математический (или простой) и физический. [c.311]

Воспользуемся обычно приводимыми простейшими примерами связанных осцилляторов (рис. 2.1). Это, в частности, два математических маятника длиной /1 и /2 с одинаковыми массами грузов пц = Ш2 = т, находящиеся в поле тяготения. Маятники связаны невесомой пружиной с жесткостью к (рис. 2.1г). Движение такой консервативной системы с двумя степенями свободы в линейном приближении описывают уравнения [c.38]

Простейшая механическая параметрическая система — математический маятник с изменяющейся со временем длиной нити I = l(t) или с перемещающейся точкой подвеса. Электрический аналог такой системы — колебательный контур с изменяющейся со временем емкостью С = t). Математический анализ этих параметрических систем приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых зависят от времени. [c.216]

Легко заметить, что далеко не все из введенных понятий вошли в современную теорию колебаний, некоторые получили иное название. Простой и сложный маятники ныне называются, соответственно, математическим и физическим, иначе определяются плоские колебания, нет необходимости в понятиях боковых колебаний, линии центра фигуры. По именно здесь начинается формирование языка одного из важнейших разделов теоретической механики. Понятийный аппарат теории Гюйгенса продолжают две гипотезы. [c.83]

Напишем условие энергетического баланса для простейшего случая колебаний математического маятника с длиной нити а, которая меняется на величину Аа (рис. 2.8.). Это можно осуществить, если пропустить нить маятника через отверстие в точке Р (точке подвеса) и затем, прикладывая внешнюю силу Р к концу нити, периодически менять ее длину. [c.39]

В разд. 4.2 на основании простых энергетических соображений были установлены математические зависимости для роста амплитуды в тех условиях, когда длина маятника меняется скачкообразно в моменты изменения направления движения и в моменты прохождения через нуль. Там же указывалось, что такой осциллятор типа [c.171]

Аналитическое исследование колебаний систем с одной степенью свободы, т. е. таких систем, положение или состояние которых определяется лишь одной величиной (координатой), зависящей от времени, выполняется относительно простыми математическими средствами. К числу таких систем относится маятник, положение которого однозначно определяется, например, углом отклонения его от равновесного состояния. При исследовании вертикальной качки корабля, не сопровождаемой боковыми и килевыми колебаниями, можно рассматривать корабль как систему с одной степенью свободы, а в качестве координаты, определяющей произвольное положение корабля, принимать вертикальное перемещение, напримор центра тяжести судна, отсчитываемое от положения его на тихой воде. [c.155]

В результате простых математических преобразований мы приходим к уравнению маятника с затуханием для возмущений — уравнению линейного осциллятора. Это значит, что существует периодическая химическая реакция. Наиболее известный пример — знаменитая теперь реакция Белоусова—Жаботинского — реакция окисления малоновой кислоты КВгОз и 6(504)2. Раствор периодически меняет цвет. Правда, в этом случае процесс сложнее имеют место незатухающие колебания, автоколебания, которые идут до тех пор, пока есть реагенты. [c.25]

Изученные выше характерные особенности простейших законов движения часто встречаются как элементы фазового портрета более сложных движений. Проиллюстрируем это, построив фгюовый портрет математического маятника. [c.225]

Такие задачи сравнительно просты в том отношении, что начальные скорости равны нулю, а потому не требуется интегрирования уравнений движения. Так, в случае математическою маятника длины I, выведенного из С0СТ0Я+1ИЯ покоя, при котором он Н Х0ДИТ Я под углом 0 к вертикали, ускорение в направлении нити, выражающееся формулой-—I D , равно нулю, и, следовательно, начальное натяжение нити будет [c.179]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Резкое возрастание амплитуды и потерь, всегда возникающее, когда период вынужденных колебаний равен или почти равен периоду собственных колебаний, характеризует собой явление резонанса , о котором уже упоминалось в 8 и многие акустические примеры которого встретятся нам в дальнейшем. Механической иллюстрацией этого явления может служить математический маятник, точке подвеса которого сообщается малое возвратно-поступательное движение соответственного периода, или, еще лучше, колебание двойного маятпика ( 14), т. е. устройства, в котором два груза подвешены в различных точках нити, закрепленной в неподвижно точке и висящей вертикально. Когда верхний груз (Р[) велик, а нижний (т) сравнительно мал, то груз М будет колебаться почти в точности как чечевица простого маятника, поскольку реакция груза те будет мала. При этих условиях колебания груза т практически совпадают с колебаниями маятника, точке подвеса которого сообщается гармоническое колебательное движение ( 8), и при соответственном подборе длины нижней части нити амплитуда колебаний т может сильно увеличиться. [c.50]

Г.Ю. Степанов, чье высказывание приводилось выше, считает особенно удобными для выбора системы отсчета сопутствующие оси. К примеру, естественный трехгранник Френе для точечного груза математического маятника является таким сопутствующим трехгранником. Относительно этой системы координат скорость материальной точки тождественно равна нулю, откуда следует равенство нулю и ускорения. Как же записать уравнения движения относительно такой системы отсчета Аналогичный вопрос встает, если главные центральные оси инерции твердого тела принять за систему отсчета движения тела. Относительно такой системы координат у любой точки твердого тела скорость тождественно равна нулю, следовательно, и ускорения точек тождественно равны нулю. Как же составить уравнения движения Эйлера в такой системе отсчета движения Ответ, как и в первом случае, прост это оси проектирова- [c.9]

На первый взгляд может показаться, что эта форма уравнений является своеобразной рационализацией в описании чисто механических движений. Это видно хотя бы из элементарного примера простого (ординарного) математического маятника. Положение его. массы т ыо р ет быть охарактеризовано одной единственной обобш енной координатой Ф — угловым смеплением, связанным с декартовыми координатами очевидными равенствами л =/81пф = /с08ф, где / — длина маятника. [c.33]

Начнем наше рассмотрение с простейшего примера представим себе математический маятник без трения (рис. 15). Очевидно, что возможны два состояния равновесия маятника 1) когда мы его помещаем, не сообщая начальной скорости, в самую нижнюю точку о 2) когда мы его помещаем, опять-та-ки не сообщая скорости, в самую верхнюю точку Ь. Очевидно также, что нижнее состояние равновесия устой- чивое, верхнее — неустойчивое. Действительно, если маят- I ник находится в точке Ь, то достаточно сколь угодно ] малого толчка (если даже предположить, что маятник сначала точно находился в точке Ь), чтобы маятник на- чал двигаться с возрастающей скоростью от точки Ь и ушел из непосредственной близости к этой точке. Иначе будет вести себя маятник, покоящийся в точке а. Получив толчок, он начнет двигаться с уменьшающейся скоростью, причем чем меньше будет толчок, тем на меньшее расстояние он отойдет от точки а, а затем повернет обратно и будет колебаться вокруг точки а. При достаточно малом толчке маятник не выйдет из любой заданной области вокруг точки а и скорость его не превзойдет любой заданной величины. [c.45]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...