Явная форма уравнений Лагранжа

Далее, сли напишем в явной форме уравнения Лагранжа, то по> лучим [c.302]

ЯВНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 289 [c.289]

Явная форма уравнений Лагранжа [c.289]

Эта форма уравнений, называемая уравнениями Лагранжа 1-го рода, непосредственно вытекает из второго закона Ньютона и известного принципа Даламбера. Из этих уравнений отчетливо видно, что они описывают процесс, если так можно выразиться, в явно выраженной механической форме, так как это описание производится с помощью координат обычного трехмерного пространства с использованием понятия механической массы и кинематических связей. Эта форма описания механического движения, как известно, не является единственно возможной. Можно исключить обычные пространственные координаты и геометрические связи, перейдя ко второй форме уравнений Лагранжа. При этом оказывается возможным ввести так называемые обобщенные координаты, являющиеся независимыми переменными, функционально связанными с декартовыми координатами,, и число которых равно чис- [c.32]

ЯВНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА- ЛАГРАНЖА [c.411]

Явная форма уравнений Эйлера — Лагранжа [c.411]

Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма уравнений движения (4.83) как бы вуалирует структуру левых частей уравнений движения не видно, как входят в уравнения первые и вторые производные от обобщенных координат по времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рассмотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.225]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Из выражения, найденного Якоби для принципа наименьшего действия, видно, что если силовая функция и связи не зависят от времени, то и траектория определяется независимо от времени, что не очевидно в уравнениях Лагранжа, но ясно видно из рассмотрения канонических уравнений, которые показывают также, что если траектория известна, то время определяется квадратурой. В принципе наименьшего действия в форме Якоби рассматривается траектория изображающей точки, а не закон ее движения по этой траектории, так как время в этот принцип не входит ни в явном, ни в неявном виде. Поэтому из этого выражения принципа можно получить уравнения движения изображающей точки только введя какой-либо параметр. [c.867]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Возможны два различных подхода к отысканию Случай А. Здесь мы явно учитываем уравнение связи (1. 4) или, что то же, уравнение связи (2.6) в базисе (вх . При этом необходимо до определения частот и форм колебаний либо исключить одну из переменных, входящих в уравнение связи, либо применить метод неопределенных множителей Лагранжа (см,, например, р ], а также р ]). В этом случае матрицы и Р- могут быть получены из Ти [c.94]

Подчеркнем, что рациональный выбор независимых координат может существенно упростить конкретный вид уравнений Лагранжа и т-ем самым облегчить решение задачи. Лагранж по этому поводу писал Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является не безразличным, в каком виде они представлены с самого начала пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом переменным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование [6, т. I, с. 403]. Действительно, пусть обобщенная координата qj выбрана так, что кинетическая энергия Т явно не зависит от нее, а соответствующая этой координате обобщенная сила Qj равна нулю, т. е. [c.222]

Это и есть, по сути дела, искомые уравнения Лагранжа. Чтобы представить их в явной форме, необходимо расшифровать физический смысл величин А С этой целью проведем еще ряд несложных преобразований. Прежде всего заметим, что [c.162]

При фактическом использовании данного метода возникает важный вопрос, который следует рассмотреть в общем виде. Уравнение (14.51) в его настоящем виде можно использовать для нахождения как функции Ф< , так и дисперсионного соотношения между V, к, А (ср. (14.5) и (14.7) для уравнения Клейна — Гордона). Выкладки в (14.26) показывают, что при таком использовании равенства (14.51) в (14.48) можно избежать нахождения функции ф(0) (которая с точностью до обозначений совпадает с Т) в явном виде и дисперсионное соотношение можно рассматривать как дополнительное вариационное уравнение, которое выводится из (14.47). Это намного предпочтительнее, поскольку тогда форма усредненного лагранжиана упрощается и, что более существенно, все уравнения, связывающие медленно изменяющиеся параметры х,к. А, объединены общим вариационным принципом. Как описать эту процедуру в общем виде Это именно тот вопрос, о котором шла речь выше. Задача заключается в том, чтобы из уравнения (14.51) извлечь достаточную информацию о функциональной форме ф к-ции Ф< , не используя при этом полную информацию о дисперсионном соотношении. Сейчас мы покажем, как это можно сделать. [c.478]

Совершенно аналогичным образом, отправляясь от вариационного принципа Лагранжа, получают уравнения метода перемещений это не что иное как уравнения (5.4.1) и (5.4.2), записанные в форме, содержащей явно коэффициенты жесткости ). Действительно, II есть квадратичная функция от q, xi, а именно [c.161]

Однако мы тотчас же расширим основу теории (ср. конец 37), а именно, откажемся от предположения, что L может быть разложено на кинетическую и потенциальную составные части, и допустим также явную зависимость L от t. Согласно изложенному на стр. 254, такая зависимость может возникнуть в том случае, если условия связи, наложенные на механическую систему, или уравнения, служащие для определения ее координат, содержат время. Таким образом, мы напишем функцию Лагранжа в более общей форме [c.288]

Действительно, в большей части случаев уравнения связи с самого начала могут быть представлены в этой форме, причем а — абсолютные постоянные, не зависящие от начальных условий.) Если значения постоянных в уравнениях (5.7.5) установлены, остальные к переменных q определяют положение системы. Переменные х выражаются как явные функции от к координат L+b x,+2i . 4n и времени, что является важным свойством лагранже-вых координат. Уравнений связи теперь пет, перемещение, представляемое произвольными дифференциалами dt, является [c.79]

В настоящей работе представлено основанное на численном методе исследование распространения плоских продольных волн в одном классе нелинейных вязкоупругих материалов. Определяющие уравнения и уравнения сохранения в форме Лагранжа аппроксимируются системой уравнений в конечных разностях при помощи явной схемы первого порядка. В разд. 2 обсуждаются определяющие уравнения, используемые в данной работе. Поведение материала описывается при помощи переменных состояния и ориентации и соответствующих дифференциальных уравнений [4, 5]. Такой способ описания весьма удобен для применения численных методов, поскольку легко допускает переход к конечным разностям. [c.150]

В общем нестационарном случае, когда поле и зависит явно от t, форму Q также можно привести к стационарному виду. Для этого рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = v x,t), определяемую (9.3). Пусть x t,z) — решение этой системы с начальными данными x[Q,z) = Z. Соответствие z —> х = x t,z) будем трактовать как неавтономную замену переменных. Положим u x,t)dx -t- B x,t)dt = Ut z,t)dz -t- Bf z,t)dt. В силу свойства ковариантности уравнений Эйлера — Лагранжа, в новых переменных уравнение (9.3) принимает тот же вид [c.61]

Однако для координат гр и ф уравнения движения диска не будут записываться в форме (11.15). В рассмотренном примере циклический интеграл отсутствует, так как координата.0 явно содержится в выражении функции Лагранжа (11.14). [c.196]

В теории же упругости конечной целью обычно является определение перемещений точек упругого тела, для которого задаются первоначальная форма, условия закрепления и нагрузка. При этом требуется определить и форму тех участков поверхностей, ограничивающих тело, перемещения которых явным образом не заданы. Иными словами, краевые условия в теории упругости, вообще говоря, задаются на границах, форма которых зависит от искомых величин. Поэтому наиболее подходящим математическим аппаратом будут в данном случае криволинейные координаты Лагранжа х, у, г, поскольку в них уравнения границ тела после деформации будут иметь вид, идентичный уравнениям границ тела до деформации. Можно привести и другие соображения в пользу выбора этой системы координат. В частности, использование ряда важных деформационных гипотез теории упругости (например, гипотезы прямых нормалей в теории пластин и оболочек, плоских сечений в теории изгиба) оказывается наиболее удобным именно в координатах х, у, г (ввиду простоты записи в данной системе уравнений материальных волокон и слоев как до, так и после деформации). [c.18]

Заметим, что уравнение баланса энергии ( ) приобретает традиционную форму, если плотность Лагранжиана явно не зависит от времени. [c.119]

В теоретич. механике закон сохранения энергии вытекает, как теорема из основных уравнений (ур-ия Лагранжа) для всех случаев, когда уравнения связей не содержат времени в явной форме (склерономны). В противном случае (реономных связей, содержащих время в явной форме) нарушение принципа энергии, вообще говоря, не противоречило бы уравнениям механики. В частном случае сил, являющихся отрицательными частными производными по координатам от нек-рой функции координат (см. Потенциал), принцип энергии принимает обычную простую форму независимости суммы кинетической и потенциальной энергии от времени. Принцип энергии рассматривается в физике как эмпирич. постулат, справедливый, как показывает опыт, при всех условиях и для любых механич. или немеханич. замкнутых систем. [c.124]

Укажем еще некоторые случаи непотенциальных систем, для которых удается в явном виде построить обобщенные функции Лагранжа L, Гамильтона Я и соответствующие функционалы, экстремизация которых приводит к уравнениям Лагранжа второго рода с равной нулю правой частью и каноническим уравнениям в гамильтоновой форме. [c.159]

Задаем вид обобщенной функции Лагранжа (Гамильтона), зависящей от искомых функций, предполагая, что уравнения движения, определяемые обобщенной функцией Лагранжа, являются уравнениями Лагранжа второго рода с нулевой правой частью (канонические уравнения имеют гамильтонову форму). Отождествляя полученные уравнения и уравнения движения непотенциальиой системы, находим систему дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций. Решая эту систему, находим искомые функции, а затем определяем явный вид обобщенных функций Лагранжа и Гамильтона и преобразования переменных. [c.160]

Форма уравнений (9) не совсем удобна. Для приложений было бы более полезным, если бы производные д,с-,1д,Х получались явно, а не в виде шести лпнейных уравнений с шестью неизвестными. Эта задача была решена Лагранжем характерным для него изящным способом. [c.241]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Именно эта возможность и была реализована в 1911 г. Г. Герглотцем , который принял активное участие в разработке релятивистской механики сплошной среды и на этом пути впервые явно получил взаимосвязь Р-сим-метрия — сохранение . Вариационная структура уравнений механики сплошной среды была известна и широко использовалась, начиная с середины XIX в. (Гельмгольц, Кирхгоф, Рэлей, А. Вальтер и др.) . Вариационные принципы в релятивистской форме за пределами электродинамики были сформулированы и широко использованы, прежде всего, Планком, а затем Минковским и др. (механика точки и системы, термодинамика и т. д. ). Поэтому построение релятивистской механики сплошной среды естественно было начать с Р-инвариантного вариационного принципа, переходящего в нерелятивистском случае в соответствующий вариационный принцип классической механики. Герглотц начинает с описания среды в переменных Лагранжа, т. е. рассматривая координаты частиц среды и характеристики движения как функции начальных координат и времени t. Элемент мировой линии двух соседних мировых точек при таком описании выражается посредством квадратичной формы дифференциалов начальных координат и собственного времени = i x [c.243]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

Задаем вид преобразования переменных, коэффициентами которого являются неизвестные функции, подлежащие определению. Затем, предполагая, что канонические уравнения движения непотенциальной системы в новых переменных имеют гамильтонову форму, находим обобщенный гамильтониан, зависящий от искомых функций. Эти функции определяем из системы дифференциальных уравнений, полученных при отождествлении канонических уравнений движения рассматриваемой непотенциальной системы и канонических уравнений движения, соответствующих построенной функции Гамильтона, после перехода в этих уравнениях к старым переменным. Таким образом находим явный вид преобразования, обобщенную функцию Гамильтона, которая позволяет привести канонические уравнения движения непотенциальной системы к гамильтоновой форме, и обобщенную функцию Лагранжа, которая дает возможность привести уравнения движения непотенциаль- [c.159]

Система с / степенями свободы может быть ошюаиа, в частност , дифференциальными уравнениям типа (3.4). Энергия системы может явно зависеть от времен / может быть представлена в форме фу к-ции Лагранжа Щj.qj. ) или функци Гамильто а Я(<7у, ру,/), которые [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...