Оператор монодромии

Рассмотрим задачу об отыскании собственных векторов и собственных значений оператора монодромии. Эта задача сводится к решению системы двух линейных алгебраических уравнений [c.239]

Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения o t) с периодом Т1, символически в виде (Зо)7<5 = 7 /0), где Г/ — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Т1 зависящий от то для всякого возмущения о) ( ) периодического решения со (/+Т1) = /(т1)о) (/), где и г1)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения Pn(Re) называются мультипликаторами один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все Рп < 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво [c.98]

Теорема 1. Пусть Р — оператор монодромии уравнения в вариациях (2) (линейное отображение Пуанкаре периодической траектории у), Q — оператор монодромии уравнения параллельного переноса V (i)==0, а о = 1 в зависимости от того, сохраняет или обращает ориентацию траектория "f. Тогда определитель Яр выражается через характеристический полином det (p —Р) траектории -f. [c.159]

Преобразование монодромии. такого уравнения — невырожденный линейный оператор С С"- С", называемый оператором. монодромии. [c.108]

Рождение изолированных периодических решений — препятствие к интегрируемости. Напомним некоторые факты из теории периодических решений дифференциальных уравнений. Собственные значения К оператора монодромии Г-периодиче-ского решения называются мультипликаторами, а числа а определяемые равенством К=ехр(аТ), — характеристическими показателями. Мультипликаторы X могут быть комплексными, поэтому характеристические числа а определены неоднозначно. В автономном случае один из мультипликаторов К всегда равен 1 (соответствующий собственный вектор касается траектории периодического решения). [c.229]

Предложение 1 (Пуанкаре — Ляпунов). В случае гамильтоновой системы с п степенями свободы характеристический многочлен р Х) оператора монодромии возвратный р(Х->)=Я- "р(Я). [c.229]

Следствие 2. Если гамильтонова система имеет полный набор интегралов в инволюции, независимых на траектории периодического решения, то спектр ее оператора монодромии состоит из одной точки Я. = 1. [c.230]

Элементы матрицы являются голоморфными многозначными функциями на базе. При аналитическом продолжении вдоль замкнутого пути у значение функции Д умножается на квадрат определителя оператора целочисленной монодромии вдоль у. Так как обратный к нему оператор монодромии (вдоль пути — ) также целочисленный, квадрат определителя равен 1. Следовательно, Д — однозначная функция на базе расслоения Л. [c.97]

Тогда V [ й1 [и к]/ - Следовательно, юь является собственным вектором дифференциального оператора 7 и оператора классической монодромии. Соответствующее а к собственное значение оператора монодромии равно ехр(2яг ь). [c.100]

Характеристический многочлен и дзета-функция оператора монодромии. Характеристический многочлен оператора классической монодромии Я" (V ) можно вычислять при помощи разрешения особенностей функции f в О или (в случае /, удовлетворяющих некоторому дополнительному [c.107]

Итак, пусть / (С", 0)->-(С, 0)—произвольная особенность. Для любого =0,1,... оператор монодромии hf действует на пространстве С). [c.108]

Определение. Дзета-функцией оператора монодромии. itf называется рациональная функция [c.108]

Теорема. Форма пересечений Ф невырожденна в том и только том случае, когда единица не является собственным значением оператора монодромии. [c.123]

Формулы Фама. Оператор монодромии, рассмотренный в предыдущем пункте, является частным случаем класса операторов, изученных в [ 203, 5.2). [c.187]

В частности, этот оператор монодромии М аннулируется полиномом (Л1 —оц- — аг-1(1)(Л 1 — И). [c.215]

Множество решений уравнения (2.8) образует 2т-мерное линейное пространство. В силу того, что геодезическая I замкнута, заменяя s на s-j-L (L — длина /), получим некоторое линейное взаимно однозначное отображение этого пространства на себя. Оператор Е, осуществляющий это отображение, будем называть оператором монодромии (как это принято в теории гамильтоновых линейных систем с периодическими коэффициентами). [c.239]

Теорема. Для устойчивости геодезической I необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа оператора монодромии равнялись по модулю единице и у них не было бы присоединенных векторов ). [c.239]

Перейдем к построению так называемого оператора монодромии Е, осуществляющего это отображение. (Вводимый в этой главе оператор монодромии совершенно аналогичен оператору монодромии, рассмотренному в 2 гл. 8.) [c.274]

ФЁДОРОВСКИЕ ГРУППЫ — то же, что пространственные группы симметрии (см. Симметрия кристаллов). ФЁЙГЕНБАУМА УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ—явление универсальности, связанное с бесконечными последовательностями бифуркаций удвоения периода устойчивых перио-дич. траекторий. Это явление было обнаружено и исследовано М. Фейгенбаумом (М. Feigenbaum) в 1978 [1—3]. Бифуркация удвоения периода происходит в том случае, когда для периодич, траектории у, зависящей от параметра ц, собственное значение А. (ц) оператора монодромии, задающего сдвиг вдоль Y на период, проходит через значение [c.276]

В резонансном случае число модулей ведет себя достаточно-регулярно вдоль каждой арифметической прогрессии с разностью. —1. А именно, при вычитании единицы из Р число модулей (не строго) возрастает, пока не достигнет (при некотором р —тг) максимального значения, которое превосходит исходное значение (т. е. степень неквазиоднородности) на число жордановых клеток с собственным числом оператора монодромии функции /. [c.432]

В локальной теории автономных дифференциальных уравнений и диффеоморфизмов любое конечное число членов нор мальной формы Пуанкаре—Дюлака вычисляется с помощы конечного числа алгебраических действий. Для периодических дифференциальных уравнений уже вычисление оператора монодромии линеаризованной системы требует решения линейной системы с периодическими коэффициентами в R" при п>1 решение такого уравнения, как правило, не может быть найдено с помощью квадратур (см. 3, гл. 7). [c.110]

Теорема. Если хотя бы один из операторов Т, ..., Тт, Мтг - = Тт - Т )- диагонал взируем, то Для любого набора а— оь. ... Ото существует фуксова система с полюсами, принадлежащими а, и такая, что обходу точки о,- соответствует оператор монодромии Т . [c.138]

Может, конечно, случиться, что F нигде не будет определено, т. е. ни одна траектория не пересекается с V дважды.) Отображение F называется отображением последования (а также оператором монодромии и, особенно в иностранной литературе, отображением Пуанкаре). Оно часто используется как при [c.171]

Замечание. Ковариантно постоянные сечения когомологического расслоения в базисе [ /d/] и оператор монодромии Щ описываются системой dlldt— —Р 1. [c.101]

Любая дискретная топологическая характеристика особенности f (такая как число Милнора, модальность или жорданова форма оператора монодромии) принимает одно и то же значение для почти всех функций с данной диаграммой Ньютона. Слова почти все здесь имеют следующий точный смысл. [c.109]

Замечание. Зависимость индекса фильтрации от собственного числа оператора монодромии в определении весовой фильтрации выбирается таким образом, чтобы весовая и ходжевы фильтрации когомологического расслоения составляли смешанную структуру Ходжа. [c.115]

Асимптотическая смешанная структура Ходжа. В расслоении исчезающих когомологий 5 / определены две фильтрации. Асимптотическая фильтрация Ходжа определяется асим.птотическим поведением интегралов по исчезающим циклам при стремлении параметра базы t к критическому значению. Весовая фильтрация Wh описывается жорда-новой структурой оператора монодромии и отражает поведение интегралов по исчезающим циклам при аналитическом продолжении интегралов вокруг критического значения параметра =0. [c.116]

Собственное значение оператора монодромии равно (—1) . Поэтому для морсовской особенности [c.116]

Из теоремы о смешанной структуре Ходжа вытекает оценка на размер жордановых клеток оператора монодромии. [c.117]

Теорема ([342]). Размер жордановых клеток оператора монодромии не превосходит п, размер жордановых клеток с собственным числом 1 не превосходит п—1. [c.117]

Мы вновь оказались в знакомой ситуации изменение аргумента г приводит к деформации контура интегрирования, к ветвление интеграла задается действием оператора монодромии на группе гомологий, содержащей все такие контуры. Остается понять, что это за группа гомологий ведь подын- [c.206]

Опишем действие оператора монодромии, определенного петлей = = 86 , 1 б10, 2я] , на группах Н ( ), Н(0- Пусть В — маленький замкйутый шарик в СР" с центром в точке вырождения, В—его внутренность пусть е>0 очень мало. Петля I стандартным образом определяет операторы [c.214]

Следствие. В условиях теоремы оператор монодромии тривиально действует на гиперплоскости в пространстве H(i) (соответственно, Н( )), заданной условием < , еХ > =0 (соответственно, < > =0), и имеет собственный вектор ё. (соответственно, е ,) с собственшлм значением а -. .. -а . [c.215]

Группа монодромии, соответствующая произвольному значению а, порождена скрученными операторами Пикара—Лефшеца, соответствующими обходам вокруг множества 2 вблизи его неособых точек. Все эти точки соответствуют стандартным вырождениям первого типа (см. пп. 1.13, 3.4), а следовательно, соответствующие операторы монодромии М удовлетворяют тождеству (М—(—1) а)(М—1)=0 [c.218]

Явление универсальности. При изучении некоторых однопараметрических семейств дифференциальных уравнений (система Лоренца, нелинейные колебания в электрическом контуре, галеркинские аппроксимации уравнений Навье—Стокса и др.) наблюдаются последовательные бифуркации удвоения периода устойчивых периодических траекторий, о происходит в том случае, когда для некоторой периодической траектории у. непрерывно зависящей от параметра ц., собственное значение Я((х) линейной части оператора монодромии вдоль у принимает значение Я( хо)=—1. В случае общего положения при прохождении параметра через цо от у ответвляется новое периодическое решение у, которое при ц = совпадает с дважды пройденным у. Для у ((х) соответствующее собственное значение Я (цо) = (Я(цо) ) = 1. При дальнейшем изменении ц собственное значение Я (ц) меняется, и при некотором [Х1 оказывается Я (ц.1) =—1, после чего от у ответвляется траектория с периодом вдвое большим, чем период уЧй ), и так далее. Моменты последовательных бифуркаций (х,- имеют предел [х = = Ит[Х ,-. При м-г- -Цоо бифурцирующие траектории становятся [c.216]

Рассмотрим индекс Пуанкаре градиентного векторного поля вещественнозначной гладкой функции от 2т переменных в критической точке. Этот индекс мажорируется средним числом Ходжа смешанной структуры Ходжа, ассоциированной с единичным собственным значением оператора монодромии [34], [c.36]

Смешанная структура Ходжа предоставляет естественный способ определения аргументов собственных значений оператора монодромии, Например, для особенностей Фама-Брискорна [c.36]

В самом деле, в силу вещественности коэффициентов уравнения Якоби (2.8) оператор монодромии вещественные решения переводит в вещественные. Отсюда следует, что в вещественном базисе (т. е. при выборе вещественной фундаментальной системы решений) матрица оператора монодромии будет вещественной. С другой сторойы, многочлен Э(Я,) не зависит от выбора базиса (меняя базис, мы будем матрицу Е заменять на подобную ей), поэтому (Я,) будет полиномом с вещественными коэффициентами в любом базисе. [c.240]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...