Принципы нелинейной теории упругости

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ [c.53]

В этом капитальном труде ставится цель построить единую, основанную на минимуме исходных предпосылок (принципы инвариантности, детерминизма, локального действия), теорию поведения сплошной среды. Выделен класс простых материалов , для них тензор напряжений зависит от истории изменения градиента вектора перемещения (но не от градиентов более высокого порядка). К числу таких материалов относятся упругое и гиперупругое тела. Дан исчерпывающий обзор решений частных задач, большое место уделено установлению приемлемых форм задания законов состояния и критериям выбора зависимости удельной потенциальной энергии деформации гиперупругого тела от инвариантов деформации. Книга снабжена исчерпывающей библиографией по нелинейной теории упругости доведенной до 1965 г. [c.926]

Третье издание книги разбито на две части, часть А и часть В. Содержание части А, озаглавленной Формулировка вариационных принципов в теории упругости и пластичности , практически не отличается от первого издания, за исключением некоторых новых тем в гл. 5 и 7. Содержание части В, озаглавленной Вариационные принципы как основа методов конечных элементов , мыслится как улучшенное изложение приложения I второго издания. В этой части систематически излагаются классические вариационные принципы и модифицированные вариационные принципы со смягченными (ослабленными) требованиями непрерывности применительно к задачам статической теории упругости (теория малых перемещений и теория конечных перемещений) и динамической теории упругости, а также к теориям геометрической и физической нелинейности и теории изгиба упругих пластин. Последняя глава посвящается методам дискретизации и содержит вновь добавленное введение в метод граничных элементов. [c.8]

Выводя вариационные принципы в этой главе, допустим, что зависимости напряжения — деформации не изменяются в процессе нагружения. Это допущение ограничивает применимость деформационной теории процессами, в которых нагрузка возрастает монотонно. Следовательно, оно приводит к тому, что деформационная теория пластичности становится неотличимой от нелинейной теории упругости, обсуждаемой в гл. 3, за исключением материалов, которые подчиняются условию текучести. Более того, будем предполагать, что деформации малы, и приведем постановку задачи теории пластичности в следующем виде ) [c.316]

О принципе стационарности дополнительной энергии в нелинейной теорий упругости [c.368]

В конце 14.2 было указано, что при помощи тензора напряжений Кирхгофа i j не удается выписать принцип стационарности дополнительной энергии. Однако время от времени возобновляются попытки сформулировать принцип стационарности дополнительной энергии в нелинейной теории упругости, а именно такой принцип, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения [d—161. Из разных подходов, которые предлагались для решения этой интересной задачи, отметим два подхода, берущие начало от принципа стационарности потенциальной энергии с функционалом (14.15). [c.368]

Видно, что (14.52) — это функционал принципа стационарности дополнительной энергии в задаче нелинейной теории упругости, причем варьируемыми функциями являются дц, удовлетворяющие дополнительным условиям (14.45) и (14.47), линейным относительно 5 . К сожалению, в общем случае такое обращение весьма затруднительно ). Следовательно, для практического применения МКЭ скорее всего не стоит пытаться выполнять обращение для получения принципа стационарности дополнительной энергии, а целесообразно ограничиться функционалом выбирая в качестве независимых варьируемых величин dij и ац, на которые наложены дополнительные условия (14.45) и (14.47). [c.370]

Уравнения (2.7) называются уравнениями установившейся ползучести. По существу, это уравнения течения нелинейно вязкой жидкости. По форме они совершенно совпадают с уравнениями нелинейной теории упругости или деформационной теории пластичности. В предположении, что потенциал Ф — положительно-определенная и выпуклая функция своих аргументов, для установившейся ползучести доказана теорема единственности и формулируются вариационные принципы типа Лагранжа и Кастильяно. [c.125]

Было достигнуто продвижение в области общей теории. В. В. Новожилов (1948) проанализировал проблему теории упругой устойчивости с точки зрения нелинейной теории упругости. Эти исследования бьши продолжены Г. Ю. Джанелидзе (1955), В. В. Болотиным (1956, 1958) и др. Выводу уравнений устойчивости упругих систем из общих вариационных принципов посвящены работы В. В. Болотина (1961, 1965). Другое направление берет начало от работы А. Ю. Ишлинского (1954), в которой [c.327]

Книга содержит последовательное изложение принципов и приемов рассмотрения задач нелинейной теории упругости — интенсивно развивающегося в последние десятилетия направления механики твердого деформируемого тела. [c.2]

Цель третьей главы — определить место теории упругости в механике материалов, четвертой и пятой — описать поведение упругого тела определяющие уравнения, получаемые по заданию удельной потенциальной энергии деформации, принципы стационарности уделено место некоторым критериальным неравенствам, выводимым из требований монотонности и сильной эллиптичности. Вероятно не исключено, что в ближайшие годы эту основную, неразрешенную задачу ожидает решающее продвижение в связи с незатронутыми в книге вопросами суш ест-вования решения краевых задач нелинейной теории упругости. [c.9]

Последние десятилетия наблюдалось возрождение интереса к теории упругости, как в отношении физических основ, так и в> отношении математической теории. Одна из причин этого — растущее осознание того факта, что классические линейные модели теории упругости, имеющие ныне под собой прочный математический фундамент, обладают лишь ограниченной сферой применения, за пределами которой их следует заменить на настоящие , нелинейные модели, приближениями которых они, по существу, служат. Ещё одна причина, в принципе того же рода, заключается в появлении сомнений относительно справедливости классических моделей малой размерности, таких как двумерные уравнения Кармана в нелинейной теории упругих пластин. Возникла необходимость иметь более точное описание связи этих упрощённых моделей с соответствующими трёхмерными, которые они призваны приближать. [c.8]

В линейной теории ползучести значительную роль играют принципы соответствия, позволяющие выразить решение граничной задачи теории ползучести стареющих тел через решение соответствующей упругой задачи. В последнее время были установлены также принципы соответствия в нелинейной теории ползучести. [c.277]

Наряду с теоремой, указанной в названии параграфа, имеется еще и теорема о существовании решения задачи теории упругости. Доказательство этой последней теоремы является далеко не простым в математическом отношении. Вместе с тем, если исходить из физических соображений, то факт существования решения задачи теории упругости является достаточно очевидным. Все уравнения теории упругости, приведенные выше, получены из принципов механики, не вызывающих сомнения, вследствие чего они, эти уравнения, не могут быть в противоречии с природой — сплошное тело (сохраняющее свою сплошность) определенным образом нагруженное и надлежащим способом закрепленное, должно иметь хотя бы одно положение равновесия. Поскольку теорема о существовании решения задачи теории упругости (в том числе и нелинейной), представляя большую математическую сложность, с точки зрения механики не вызывает сомнения в смысле ее справедливости, на доказательстве этой теоремы мы не останавливаемся и будем исходить из предположения о существовании решения отмеченной выше задачи. Что касается теоремы о единственности решения линейной задачи теории упругости, то ее ниже докажем. [c.624]

В случае неправомочности принципа независимости действия сил, а это имеет место в нелинейных задачах теории упругости, единственность решения проблемы теории упругости не подтверждается — одной и той же нагрузке может соответствовать не одно, а несколько напряженно-деформированных состояний. [c.626]

Изложенные вьпне вариационные принципы могут быть применены для решения геометрически нелинейных задач теории упругости. Для этого необходимо внести некоторые изменения в их математические формулировки. С>чь этих изменений состоит в следующем [c.53]

Диаграмма вариационных принципов нелинейной статической теории упругости и динамической теории упругости [c.363]

Ниже (в 14.5) мы рассмотрим некоторые другие подходы к формулировке принципа стационарности дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости. [c.363]

Книга состоит из 11 глав, Гл. 1 содержит сведения из геометрически нелинейной теории многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко построенной на основе независимых гипотез относительно характера распределения перемещений и поперечных касательных напряжений по толщине пакета. Путем использования смешанного вариационного принципа получены уравнения равновесия, граничные условия и интегральные соотношения упругости для поперечных касательных напряжений. В случае осесимметричной деформации многослойных анизотропных оболочек вращения выведена нормальная система десяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая в дальнейшем решается численно на ЭВМ. [c.4]

Ниже приведены математические формулировки вариационных принципов нелинейной теории упругости Васидзу и Рейсснера-Хеллингера. Формулировки остальных вариационных принципов могут быть получены из приведенных как частный случай. [c.54]

Упомянем здесь также о принципах дополнительной виртуальной paбotы и минимума дополнительной энергии. Мы видели, что эти принципы играют существенную роль в линейной теории упругости. Однако обобщение их на геометрически нелинейную теорию упругости оказывается безуспешным из-за того, что перемещения сложным образом связаны с компонентами напряжений, как указано в 3.9. [c.101]

Bee эти вариационные формулировки теоретически эквивалентны друг другу, и каждую из них удобнее принимать в зависимости от вида используемых определяющих соотношений. Аналогичные вариационные принципы предложены в [88], но сформулированы они относительно приращений, а не скоростей. Отметим, что представленные в настоящем разделе формулировки обобщенного вариационного принципа, данные относительно скоростей, являются аналогом вариационного принципа Ху — Васид-зу [67, 119] в нелинейной теории упругости. Настоящие же вариационные формулировки можно использовать как для упругих, так и для упругопластических тел при произвольной величине деформаций. Сопряженные вариационные формулировки приведены в [98], где определяющие соотношения даны в обращенном виде, т. е. скорости деформаций выражены через скорости напряжений. Сопряженные вариационные формулировки являются аналогом вариационного принципа Хеллингера — Рейсснера [67, 119] [c.116]

В нелинейной теории упругости. Рассмотренный вариадионный принцип может служить эффективным инструментом для применения МКЭ, так как здесь независимо варьируются как скорости перемещений, так и скорости деформаций и напряжений. [c.117]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

В работах Л. Н. Воробьева (1956), Н. А. Кильчевского (1963, 1964), Д. И. Кутилина (1947), В. В. Новожилова (1958) рассмотрены общие теоремы нелинейной теории упругости. Расширенные вариационные начала (типа предложенных в линейной теории Э. Рейсснером) сформулированы К. 3. Галимовым (1952) и И. Г. Терегуловым (1962). Предложенные вариационные принципы содержат в качестве независимо варьируемых функциональных элементов перемещения, напряжения и деформации, свободные от каких-либо связей внутри и на границе тела. Вариационные начала [c.74]

G. Herrmann и A. E. Armenakas, исходя из соотношений нелинейной теории упругости и принципа Гамильтона—Остроградского, получили уточненные уравнения движения и контурные условия для цилиндрической оболочки при различных нагрузках [3.1041 (1963). Из этих уравнений при некоторых допущениях следуют классические уравнения типа Флюгге—Тимошенко и Донелла. [c.204]

Л. Я. Айнола построил геометрически нелинейную теорию упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона—Остроградского 13.2] (1965). Получены также уравнения в возмущениях применительно к исследованию динамической устойчивости начального состояния движения. Исходя из вариационного принципа для геометрически нелинейной теории упругости и вводя основные гипотезы модели Тимощенко, он вывел уточненные уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных координатах [3.6] (1968). [c.212]

Пластиной называется тело, ограниченное двумя плоскостями Z = h и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси z. В плоскости z = О, называемой срединной плоскостью, выбираются произвольным образом координаты Ха (а = 1,2). Предполагается, что размеры пластины в плане значительно больше, чем толщина 2h (рис. 12.4.1). Так же, как в 2.1, где речь шла о стержнях, будем принимать за 1[аимень-ший поперечный размер наименьшее расстояние между касательными к контуру пластины. Под контуром пластины понимается контур сечения цилиндрической поверхностью плоскости Z = 0. Так же, как теория изгиба балок, теория пластин может быть построена при помощи любого из вариационных принципов. Если при выводе уравнения изгиба мы отправлялись от вариационного принципа Лагранжа, то здесь мы примем за основу вариационный принцип Рейснера (не в силу каких-то его преимуществ, а для иллюстрации метода). Дело в том, что в физически нелинейной теории пластин, изготов- Рис. 12.4.1 ленных из нелинейно-упругого или пластического материала, реализация вычислений на основе принципа Лагранжа приводит к очень большим трудностям, тогда как принцип Рейснера позволяет получить приближенное решение задачи относительно просто. [c.395]

Осевые нагрузки, приложенные к площадкам контакта, не являются самоуравновешенными нагрузками. Позтому зона затухания вызванных нмн напряжений уже не определяется принципом Сен-Венана, а зависит от характера приложения осевых и уравновешивающих нагрузок, создающих в большей части конструкции напряжения и деформации, соизмеримые с напряжениями и деформациями на площадках контакта. Однако так как размеры площадок малы по сравнению с расстояниями между местами приложения нагрузок (точка А н В во фланце крышки, Д и С во фланце корпуса, Ак Е — в нажимном кольце см. рис. 3.1) и с размерами сечения фланцев, то в соответствии с указанным принципом зона местного возмущения напряженного состояния, т.е. зона перехода разрывных и нелинейных эпюр напряжений и перемещений в непрерывные и линейные, совпадает с рассмотренной выше зоной затухания напряжений от моментных нагрузок. Поэтому расчетные участки для определения по теории упругости местных коэффициентов податливости от осевых нагрузок выбираются аналогично предыдущему случаю. Граничные условия в местах соединения этих участков с остальной частью конструкции уже не являются нулевыми, однако они могут быть определены приближенно методом 1 гл. 3 для конструкции, расчлененной по местам контакта. [c.135]

Принцип возможных напряжений в какой-то степени является а1ппподом принципа возможных перемещений. Он может быть сформулирован как для линейных, так и нелинейных задач теории упругости и строительной механики. [c.50]

Скажем несколько слов о принципе стационарности дополнительной энергии в нелинейной задаче теории упругости, а именно таком принципе, в котором как функционал, так и дополнительные условия выражаются только через напряжения. Вспомним, что в линейной теории упругости принцип минимума дополнительной энергии выводится из принципа Хеллингера — Рейсснера, Аналогично тому, как это делалось в линейной теории упругости, можно показать, что можно использовать условия стационарности по отношению к Ы , а именно (14.1), (14.5) и (14.17) для преобразования (14.18) к виду [c.362]

В гл. 2 построена непротиворечивая с точки зрения смешанного вариащюнного принципа уточненная теория нелинейных многослойных анизотропных оболочек, характерной особенностью которой является то, что соотношения упругости для поперечных касательных напряжений выполняются интегрально как по толщине пакета, так и по толщине каждого слоя. Здесь, в отличие от теории оболочек типа Тимошенко, порядок нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений равен двенадцати, что значительно усложняет численную реализацию задачи на ЭВМ. [c.4]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

Помимо принципа Лагранжа, в нелинейной теории оболочев установлены и другие вариационные принципы [1, 10, 18, 25, 33] Вариационным методом исследования нелннеино-упругих оболочек посвящены работы [3, 4, 6—8, 33]. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...