Обусловленность вычислительной задачи

Полиномы — хорошо изученные математические объекты. Поэтому полиномиальные модели широко применяются при обработке разнообразных данных наблюдений. Часто их применение обосновывается возможностью разложения искомой зависимости в ряд Тейлора, предполагаемая быстрая сходимость которого позволяет ограничить число членов разложения. Также широко эти модели применяются и тогда, когда теоретическое обоснование вида искомой зависимости отсутствует. Однако использование полиномов для целей обработки данных наблюдений, особенно полиномов больших степеней, очень часто приводит к плохо обусловленным вычислительным задачам. [c.470]

Применение теоретически обоснованных моделей приводит к удовлетворительным результатам обработки данных наблюдений, в том числе и к достаточно хорошей обусловленности вычислительных задач при сравнительно небольшом числе искомых параметров модели. Параметры таких моделей, как правило, имеют конкретный физический смысл, и их значения сами по себе могут бь(ть практически важными. Если имеются априорные (полученные до проведения обработки данных наблюдения) сведения о параметрах таких моделей (например, сведения о знаках параметров 02 и 63 приведенной выше модели), то существует дополнительная возможность контролировать достоверность результатов, получаемых в ходе обработки. [c.470]

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают чувствительность ее решения к погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Количественную меру степени обусловленности задачи называют числом обусловленности. Эту величину можно интерпретировать как коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных. [c.123]

Обработка стали термическая 332 Обусловленность вычислительной задачи 123 Объемная плотность тепловой мощности 232 Огнеупор 348 Огнеупорность 348 [c.515]

При появлении таких систем перед потребителем встал вопрос о выборе компонентов, комплектации (компоновке) ИС, а перед метрологами — вопрос об обеспечении потребителям возможности определять точность измерений, осуществляемых с помощью ИС. Это поставило ряд специфических метрологических задач, в том числе задачу о погрешностях измерений, обусловленных вычислительными операциями, поскольку ИС часто содержат отдельные, самостоятельные вычислительные компоненты. [c.55]

Важным аспектом анализа любой вычислительной задачи является ее обусловленность. Если при незначительном изменении исходных данных решение сильно изменяется — задача плохо обусловлена, если же соответствующие изменения малы — задача считается хорошо обусловленной. Конечно, обусловленность уравнений Риккати является определяющей для их надежного численного решения, однако соответствующий анализ представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Это подтверждают аналитические и эмпирические результаты работы [30. Сравнивались некоторые предлагаемые показатели обусловленности для проблемы Риккати, и было показано, что все они имеют следующие недостатки [c.254]

На точность решения задачи оказывают влияние задаваемые пользователем в исходных данных значения допустимых погрешностей si или б2, а также обусловленность модели. Однако задаваемые значения ei или ег могут вообще оказаться недостижимыми или из-за несходимости, или из-за слишком медленной сходимости вычислительного процесса. Поэтому если создаваемый ППП ориентирован на решение систем уравнений с широким диапазоном значений Ц, то нужно принимать специальные меры по обеспечению точности решения. При реализации метода Гаусса [c.234]

При создании вычислительного алгоритма важно правильно выбрать соотношение в нем формализованных (предусмотренных программой) и неформальных процедур. Это связано с тем, что неразумно стремиться разработать универсальный алгоритм, способный преодолеть все возможные трудности поиска решения, обусловленные теми или иными особенностями исследуемого явления, поскольку, во-первых, высокая степень универсальности чрезмерно усложняет алгоритм и приводит к увеличению затрат машинного времени, а во-вторых, предусмотреть заранее все эти особенности попросту невозможно. Поэтому у исследователя должна быть возможность вмешиваться в процедуру вычислений, внося при необходимости коррективы в алгоритм или исходные данные расчета (неформальная процедура). Такая возможность появляется при работе ЭВМ в режиме диалога человек — машина, а для того чтобы машинное время не тратилось впустую, пока исследователь анализирует полученные результаты и принимает какое-либо решение, в современных ЭВМ имеются системы разделения времени, позволяющие одновременно решать несколько задач. [c.54]

Следует заметить, что хорошая обусловленность разностной краевой задачи является лишь необходимым условием ее решения. Существуют вычислительные алгоритмы, которые не пригодны для расчета разностных задач, при их применении решение разностной задачи может сколь угодно сильно отличаться от точного решения при любом измельчении сетки. Такие алгоритмы не пригодны также и для решения хорошо обусловленных задач. [c.229]

Достоинством указанного метода является то, что он не накапливает вычислительные ошибки от шага к шагу, а это особенно важно для плохо обусловленных задач (матриц), каковой, как показано в работе [5], и является исследуемая задача. [c.152]

Анализ применяемых численных методов решения контактных задач показывает, что в некоторых вариантах возможны такие вычислительные трудности по сравнению с решением классических краевых задач со смешанными граничными условиями, как нарушение положительной определенности систем алгебраических уравнений, появление неустойчивости их решения из-за плохой обусловленности, применяется численная реализация некорректно поставленных задач. Здесь предлагается алгоритм решения задачи контакта деформируемых тел, свободный от указанных недостатков, дающий в ряде случаев более быструю сходимость по сравнению с применяемыми методами. В качестве иллюстрации рассмотрено решение задачи контакта шероховатых тел с нелинейной податливостью шероховатого слоя. [c.141]

Ниже проведен анализ обусловленности реальных. матриц, полученных экспериментально на реальных турбоагрегатах. Полученные результаты позволяют дать рекомендации для разработки вычислительных алгоритмов и программ, предназначенных для решения задачи многоплоскостной динамической балансировки гибких валопроводов. [c.151]

Погрешность, обусловленную первыми двумя причинами, называют неустранимой погрешностью. Погрешность, источником которой является метод решения задачи, называется погрешностью метода, а погрешность, возникающая из-за округлений, — вычислительной погрешностью. Полная погрешность решения складывается из этих трех составляющих. [c.122]

В современной вычислительной практике нормальная система, как правило, не используется. Одна из проблем состоит в том, что при отсутствии специального выбора базисных функций фд, ф[,.... .., уже при т > 5 нормальная система обычно оказывается очень плохо обусловленной. Для решения линейной задачи метода наименьших квадратов применяются другие, более надежные методы, учитывающие, например, информацию о погрешности данных и относительной точности используемой ЭВМ (об одном из таких методов см. [33, 74]). Есть и методы, предваряющие решение нормальной системы численной ортогонализацией системы базисных функций [34]. [c.136]

Они позволяют точно или приближенно рассчитывать напряженно-деформированное состояние и деформирующие силы, минуя, как и в методе линий скольжения и характеристик, интегрирование дифференциальных уравнений движения и равновесия в частных производных. Это достигается использованием экстремальных и вариационных принципов, которые основываются на законе сохранения энергии. Вариационные методы позволяют решать наиболее сложные задачи в общей их постановке с минимальным числом упрощений и допущений. Эти методы в настоящее время интенсивно развиваются и совершенствуются. Их успех обусловлен также широким внедрением в науку и производство современных быстродействующих электронных вычислительных машин. [c.294]

Поскольку некоторые дефекты, такие, как трещина или непровар, более опасны, чем другие, обусловленные случайными флуктуациями какого-либо из параметров сварочного процесса, их сигналы имеют более высокий приоритет к перестройке программы. Перестройке с более высоким приоритетом дается право останавливать обработку задачи, имеющей низший приоритет. Например, сигнал перестройки от A O РД, указывающий на появление нескольких единичных пор, не учитывается центральным процессором, если вычислительная машина в данный момент производит корректировку режимов сварки по подпрограмме, устраняющей дефекты типа непровар. [c.243]

Стремительное расширение представлений об окружающих областях пространства вблизи Земли и далеко за его пределами, обусловленное, в первую очередь, развитием космических исследований, привело к более глубокому проникновению в физическую сущность явлений, происходящих в различных природных средах при разных состояниях составляющей их материи. Это вызвало к жизни создание все более усложняющихся моделей этих сред, чему способствовал громадный прогресс в созданий мощных вычислительных комплексов - их архитектуры, производительности и программного обеспечения. На этом пути открываются поистине безграничные возможности, с которыми связаны перспективы постановки и решения сложных многомерных нестационарных задач математической физики и анализа эволюционных процессов на основе проведения широкомасштабных численных экспериментов. [c.5]

Трудности, обусловленные проблемой размерности, присущи прежде всего вычислительным (численным) методам теории управления, которые применяют в тех случаях, когда аналитическое решение получить невозможно. Кроме того, вычислительные методы в принципе позволяют решить подавляющее большинство задач управления (при небольшом числе переменных), поэтому решение проблемы размерности приобретает исключительно важное значение. [c.170]

Обращение спектральной оптической толщи т(Я), измеренной, скажем, с помощью солнечного радиометра и относящейся ко всей толще атмосферы, является одной из распространенных обратных задач оптики аэрозоля, если судить по количеству работ, публикуемых на эту тему. Интерес к этой задаче, по всей видимости, обусловлен не той информацией, которую можно здесь получить, а простотой вычислительных схем обращения и доступностью оптических измерений. [c.180]

Как и в предыдущем случае удовлетворительное решение получается для /<25. Отсюда видно, что плохая обусловленность рассматриваемой краевой задачи является свойством самой задачи и не связана, вообще говоря, только с методическими и вычислительными погрешностями. [c.67]

Мы хотим предложить объяснение этого чуда, основанное на нашем наблюдении, что обычное измерение числа обусловленности для этих матриц неестественно. В вычислительных целях мы будем рассматривать эти матрицы как преобразования евклидова пространства (дискретного Ж°) в себя и потому возьмем одну и ту же норму для невязки уравнения и для результирующей ошибки в решении. Это целиком противоположно тому, что делается в дифференциальной задаче, или тому, что происходит при оценке ошибки дискретизации / измеряется в норме пространства Л1 и ее ошибка — в ш и ее ошибка — в Ж. (В вариационной задаче соответственно и Ж .) В самом деле, оператор I = с каким-либо обычным краевым условием вполне обусловлен как преобразование из Ж в Ж°. Ограниченность операторов I и была существенным моментом в разд. 1.2. Можно показать, что это верно и для разностного оператора б , а также для любого приемлемого аналога в методе конечных элементов, если только эти естественные нормы сохраняются. Следовательно, должен быть алгоритм решения уравнения КО, = Р, отражающий это свойство, и тогда чудо развеялось бы ошибки в Л1 и ш соответствовали бы их положению. [c.147]

Отметим сразу возрастающую популярность трехмерных элементов, для которых такая редукция не проделывается. Из предельной процедуры, управляющей поиском точного решения задач со специальными свойствами симметрии (как в теории оболочек), автоматически не следует, что тот же процесс упростит численное решение более общих задач. (Этот вопрос возникает для функций напряжений Эйри при изгибе пластины чувствительны ли они с вычислительной точки зрения к понижению количества неизвестных и возрастанию порядка уравнений Мы в этом сомневаемся.) Очевидно, что тонкая оболочка никогда не будет отражать типичную трехмерную задачу, так как всегда появятся трудности с областями, близкими к вырожденным. Экспериментально испытывался не только изопараметрический прием, но и специальный выбор узловых неизвестных и сокращенных формул интегрирования в направлении нормали. С теоретической точки зрения необходимо оценить эффект малого параметра толщины (Фрид сделал это относительно численной устойчивости и числа обусловленности), но в общем аппроксимационный теоретический подход можно применить обычным образом. [c.152]

Метод сопряженных градиентов является прямым методом решения системы линейных алгебраических уравнений [46]. Однако при решении упомянутых систем уравнений на ЭВМ этот метод ведет себя как итерационный. Это связано с нарушением ортогональности некоторых векторов вследствие ошибок округления. Рассматривая метод сопряженных градиентов как итерационный метод для решения больших систем уравнений с редкой матрицей, можно обнаружить некоторые полезные свойства. Так, например, быстрая сходимость для хорошо обусловленных задач позволяет получать с достаточной точностью итерационное решение за сравнительно небольшое число итераций. Реализация алгоритма метода сопряженных градиентов без непосредственной сборки глобальной матрицы системы уравнений приводит к исключительно простой вычислительной процедуре. [c.134]

II / "-р/ " II ц р по р в соответствующим образом нормированном пространстве (т.е. С [О, л/4] или [0,7г/4]). Этот подход широко применяется при решении плохо обусловленных задач (см., например, [10]). Константа X находится опытным путем (обычно она имеет порядок вычислительной погрешности). После определения Д задается новое значение и вычисления повторяются вплоть до получения р = 1 с приемлемой точностью. [c.70]

Предыдущие примеры показывают, что ни один из потенциальных критериев обусловленности сам по себе не является достаточно надежным. Однако вычислительные эксперименты показывают, что в каждом случае по крайней мере один из критериев позволяет обнаружить потерю численной точности, если она имеет место. Рассмотренные примеры имели невысокий порядок, поскольку обусловленность задачи напрямую не связана с ее размерностью, так что простые примеры позволили наглядно показать численные эффекты плохой обусловленности задачи. Тем не менее интересно выяснить, влияет ли размерность на численные результаты даже для хорошо обусловленных задач. (Следующий пример показывает, что размерность не является влияющим фактором. [c.266]

В статье рассмотрены вычислительные проблемы, связанные с численным решением алгебраического матричного уравнения Риккати. Описанный подход к решению алгебраических уравнений Риккати общего вида как непрерывных, так и дискретных, основан на использовании обобщенной проблемы собственных значений. Эти уравнения возникают в задачах управления и фильтрации для систем, представленных в обобщенной форме в пространстве состояний. Рассмотрена итеративная процедура для рещения уравнения Риккати, проблема численной обусловленности задачи. Для улучшения численной обусловленности предложено использовать балансировку. Приводятся описание пакета прикладных программ на языке ФОРТРАН и результаты вычислительных экспериментов. [c.338]

Для повышения экономичности и эффективности вычислительного процесса при расчетном определении температурного поля конструкции целесообразно использовать сетку элементов, в которой решается упругая задача и определяется функция источников теплообразования. Например, при действии переменных напряжений в резиновых упругих элементах муфт в виде тел вращения температурное поле, обусловленное диссипативным саморазогревом, является осесимметричным, что позволяет при решении тепловой задачи использовать те же кольцевые конечные элементы. [c.33]

Современные достижения технологии создания орудий производства, вычислительной техники и электроники позволили создать новый вид автоматической машины, способный заменить ручной труд даже в мелкосерийном производстве,— промышленный робот. Основное его отличие от иных автоматов — применение принципов ручного труда и универсальность, обусловленная простотой программирования. Новые возможности, появившиеся с созданием промышленных роботов, ведут к высокой степени автоматизации производства и повышению его эффективности. Появление промышленных роботов позволяет пересмотреть ранее сложившиеся представления о распределении функций между человеком и машиной и, что очень важно, решать задачи создания систем комплексной автоматизации на новом, более высоком уровне. [c.8]

Наибольшее распространение для вычислительных задач, характерных для САПР, на большинстве типов ЭВМ получил язык ФОРТРАН, стандартная версия которого имеется также и в составе МО СМ ЭВМ и комплекса технических средств АРМ. PL/1 как система программирования отсутствует на ЭВМ БЭСМ-6 и СМ. Необходимо обратить внимание на трудности сборки программ из загрузочных модулей, написанных на ФОРТРАНе и PL/1 [73], обусловленных разницей в синтаксисе языков, организации структур данных и реализацией трансляторов с этих языков. Некоторые недостатки ФОРТРАНа, как-то статическое распределение памяти под переменные и массивы, могут быть преодолены применением систем управления памятью [19, 50]. Сравнительный анализ качества фортранных трансляторов для ЭВМ БЭСМ-6 и ЕС, позволяющий прогнозировать качество создаваемого специализированного математического обеспечения, приведен в работах [125, 135]. [c.211]

Для упрощения записи мы опустили переменную X и параметр ф. Полученное интегральное уравнение является уравнением Вольтерра первого рода относительно оптической толщи т(г), и этим оно существенно отличается от уравнения (2.42) в методе лазерного зондирования рассеивающей компоненты атмосферы. Теперь для получения профиля x z) нам необходимо использовать регуляризирующие методики, если говорить о чисто вычислительных аспектах задачи. Вместе с тем следует иметь в виду, что решение интегральных уравнений второго рода относится к классу вполне обусловленных математических задач, и поэтому функциональное уравнение (2.42) относительно x z) бесспорно выигрывает во всех отношениях по сравнению с уравнением (3.15). Так, например, при достаточно малых значениях т(г), когда в первом приближении можно считать экспоненциальный член близким к единице, решение уравнения (2.42) сводится к прямому вычислению искомого профиля по измеренному локационному сигналу. [c.154]

Цель обработки сигнала, поступающего с блока детектирования,— выделение информации о дефектах. Сигнал содержит несколько составляющих сигналы о дефектах, условно называемые полезными , шум и сопутствующий сигнал, обусловленный изменениями толщины контролируемого изделия, не связанными с наличием дефектов. Способы обработки сигнала все более услолсняются с увеличением числа задач и развитием исследований в этой области. Поэтому обработку сигнала при к 1Нтроле сложных изделий иногда целесообразно вести с применением вычислительных машин, что значительно расширяет возможности радиометрического метода -дефектоскопии. [c.130]

Отметим, что в этом случае получается комплексная и недиагональная матрица, хотя часто оказывается, что влияние недиагональных членов мало по сравнению с диагональными. Дальнейшая процедура также требует укорочения рядов, но теперь наиболее эффективным методом решения будет использование вычислительных машин для решения системы комплексных матричных уравнений. Здесь это не будет делаться, поскольку наша цель — лишь проиллюстрировать, что можно и чего нельзя сделать прежде, чем приступать к подробному решению этой конкретной задачи. Следует отметить важное обстоятельство несмотря на появление указанного сингулярного выражения в точке х = 1, порядок уравнений задачи не увеличился, в то время как в прямом методе это было не так. Легкость, с которой это решение было получено, указывает на тот факт, что не математический подход создает трудности при учете недиагональных членов в разрешающей матрице (хотя иногда это, конечно, может случиться), а, скорее, отсутствие достаточно полных сведений о механизме демпфирования и о точках его приложения. Что же касается обратного перехода от замера форм колебаний к оценке физической модели механизма демпфирования (что полностью противоположно процессу, описанному ранее), то он исключительно труден в лучшем случае и невозможен — в худшем. Однако для многих эластомеров, полимеров и стекловидных материалов, рассматриваемых в данной книге, разумное количественное математическое описание не только возможно, но и стало весьма совершенным, так что его можно использовать для оценки влияния технологических обработок (для демпфирования) или демпфирующих механизмов (при использовании указанных материалов) на поведение конструкции, шумоизоляцию или акустическое излучение. То же самое можно сказать и о некоторых нелинейных демпфирующих системах типа металлов с высокими демпфирующими свойствами или типа демпферов с сухим трением, хотя при этом существенно возрастают математические трудности, обусловленные учетом нелинейности. [c.29]

Потребности вычислительной практики при решении двумерных задач математической физики, в частности, задач газовой динамики и теории упругости в сложных областях, требуют автоматизации расчета криволинейных разностных сеток. К таким сеткам в ряде случаев предъявляются специальные требования. Обычно желательно, чтобы расстояния между соседними узлами сетки несильно отличались между собой и углы в элементарной четырехугольной ячейке невырождались (т.е. не были близки к О и тг). Первое требование связано с точностью аппроксимации производных, входящих в соответствующие диффе ренциальные уравнения, и также как и второе, — с обусловленностью систем разностных уравнений, полученных после аппроксимации. В частности, для метода конечных элемен-тов применительно к задачам упругости [1] в оценку для числа обусловленности матрицы соответствующей системы линейных уравнений в знаменатель входит sin а, где а — минимальный угол между сторонами элементарной ячейки сетки. Кроме того, в ряде слу-чаев в зависимости от особенностей краевых условий на части границ области требуется иногда сгущать узлы. Последнее третье требование в сочетании с двумя первыми создает [c.494]

При некорректном решении задачи возникают различные методологические трудности. Одна из них связана с явлением мультиколлинеарности, т. е. наличием сильной корреляции между всеми или некоторыми экзогенными переменными, входящими в модель. Мульти-коллинеарность затрудняет проведение математикостатистического анализа результатов моделирования. Во-первых, усложняется процесс выделения наиболее существенных факторов. Во-вторых, искажается смысл параметров модели при их экономической - интерпретации. В-третьих, возникают осложнения вычислительного характера, так как появляется эффект слабой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Это приводит к получению неопределенного множества оце- нок коэффициента регрессии. [c.174]

Впоследствии существенный клад в рассматриваемую проблему был сделан в работах В. А. Флорина (1938—1953), которым были учтены силовое воздействие фильтрационного потока жидкости на пористый скелет, зависимость фильтрационных характеристик процесса от меняющейся пористости, существование фильтрационного порога (начального градиента напора), сжимаемость жидкости в порах грунта, обусловленная присутствием газа в жидкости, влияние ползучести скелета на процесс консолидации и т. д. В. А. Флориным были составлены уравнения консолидации для общего пространственного случая и решено большое количество конкретных задач. Следует отметить, что для возможности более полного учета многочисленных нелинейных эффектов, сопровождающих консолидацию, В. А. Флориным были развиты численные методы решения задач, что в его время, когда еще не была создана современная вычислительная техника, было, безусловно, большим достижением. [c.218]

Методы численного решения систем типа (3.39) будут подробно нами рассматриваться в п. 4.2, а сейчас лишь напомним, что в основе этой системы лежат предположения о сферичности рассеивающих частиц и априорное задание показателя преломления аэрозольного вещества т = т —т"1 в пределах зондируемого слоя [ЯьЯг]. В силу этого изложенная выше теория многочастотного касательного зондирования приводит к вычислительным схемам обращения оптических данных, применимых при тех же исходных допущениях, что и в методе многочастотного лазерного зондирования. Это обусловлено единством методологического подхода к теории оптического зондирования рассеивающей компоненты атмосферы. Вместе с тем необходимо обратить внимание на то обстоятельство, что требования к выполнению указанных выше допущений существенно различны для указанных двух методов. Действительно, уравнения теории касательного зондирования относительно локальных оптических характеристик светорассеяния являются интегральными, причем первого рода, и поэтому вариации бРех (то же самое бт и б/)ц), обусловленные ошибками Ат в задании подходящих значений т, слабо сказываются на значении интегралов (3.24). В силу этого схемы обращения в методе касательного зондирования более устойчивы к неопределенностям при априорном задании соответствующих оптических операторов в (3.39). В локационных задачах оптические сигналы Р %1,г) прямо пропорциональны значениям аэрозольных коэффициентов обратного рассеяния (Зя(Я/, г), и поэтому вариации бРяг связанные с Дт, непосредственно сказываются на точности интерпретации оптических данных. [c.166]

Наконец, ошибки округления. Их характер совершенно от-, личен от характера других ошибок — они пропорциональны отрицательным степеням величины /г. При убывании /г существует зона пересечения, в которой порядки ошибок округления и аппроксимации совпадают и до которой округление незначительно и неинтересно, а после нее чрезвычайно важно. Округление слабо зависит от степени полиномов и от размерности. Ключевой множитель h- устанавливается шагом сетки и порядком самого урайнения. Для уравнения второго порядка шаги сетки, типичные для практических. задач, еще не входят в зону пересечения, но для уравнений четвертого порядка это не так вычислительная точность может потребовать проведение операций с двойной мантиссой. В гл. 5 мы обсудим и априорные оценки числа обусловленности, и апостериорные оценки округления, действительно совершаемого в данной задаче. [c.133]

Метод конечных элементов в настоящее время стал одним из самых распространенных и эффективных методов решения различных задач математической физики и техники. Его популярность связана с универсальностью и простотой математической формы для широкого круга задач в сочетании с гибкостью численных алгоритмов, позволяющих учитывать конкретные свойства индивидуальной задачи. В не меньшей степени его успех обусловлен развитием мощной вычислительной техники и достижениями математики в областях проекщюнных методов и аппроксимащш функций в сочетании с постоянным изобретательством инженеров в зтих направлениях. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...