Ляпунову) распределения

Если число составляющих погрешностей достаточно велико (практически т 5), то независимо от закона их распределения закон распределения суммарной погрешности можно считать нормальным. Этот вывод следует из так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, согласно которой сумма бесконечно большого числа бесконечно малых случайных величин с любыми распределениями дает нормальное распределение. [c.45]

Однако в пользу применения нормального распределения имеются очень серьезные основания. Его особое значение связано со следующими обстоятельствами в тех частых случаях, когда суммарная погрешность появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую погрешность, по какому бы закону ни были распределены погрешности, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовому распределению погрешностей. Эта закономерность является следствием так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова, [c.34]

Реальное распределение свойств металла в пределах переходной области испытывает влияние множества факторов, в том числе случайных и потому не поддающихся детерминированному учету. Статистическое распределение физико-механических свойств (а следовательно, и величины начального локального электродного потенциала) металла в переходной области может подчиняться различным законам распределения, которые, однако, в пределе при достаточно большом числе случайных факторов весьма быстро приближаются к нормальному закону распределения, как это установлено центральной предельной теоремой Ляпунова. [c.217]

Любой анализ по выявлению указанных зависимостей должен проводиться на основе методов математической статистики. Опыт показывает, что большая часть полученной в эксплуатационных хозяйствах информации подчиняется закону нормального распределения, т. е. плотность распределения признака может быть определена по формуле Ляпунова [6] [c.14]

Возможность замены функции плотности распределения вероятностей фазовых координат нормальной, требуемой для статистической линеаризации, для определенного класса динамических систем объясняется предельными теоремами Ляпунова и Бернштейна. [c.150]

Предельная теорема Ляпунова относится к распределению суммы независимых случайных величин, в пределе совпадающему с распределением по закону Гаусса, если при этом соблюдаются некоторые условия, накладываемые на случайные величины ( 54], стр 275 [55], стр 162 [56], стр. 407). Практически эти условия, ограничивают индивидуальную роль слагаемых в сумме, иными словами, среди слагаемых не должно быть таких, которые были бы значительно больше большинства остальных. [c.291]

Анализируя нормальное распределение, А. М. Ляпунов сформулировал основные признаки распределения. Согласно теореме Ляпунова случайная величина х имеет нормальное распределение, если она представляет результат взаимодействия (суммы) большого числа взаимно независимых случайных факторов, влияние каждого из которых достаточно мало. Попробуем применить эту теорему для конкретных оценок. [c.62]

Определяя содержание горючих в отобранных из одной и той же пробы уноса навесках, мы получаем ряд случайных, не совпадающих между собой значений. Причиной расхождений являются различия в температуре печи, ошибки взвешивания, неоднородность навесок и ряд других не контролируемых нами факторов. Влияние каждого из них незначительно, каждый действует самостоятельно, и поэтому можно прийти к выводу, что распределение будет нормальным. Чем уже интервал колебаний этих величин, тем с большим основанием можно утверждать, что синтезируемый результат (например, к. п. д.) имеет нормальное распределение. В случае с газовым анализом, приведенным в 4-2, принцип Ляпунова оказался нарушенным, так как появился сильно действующий фактор пристрастного и притом одностороннего отбора. [c.62]

Распределение Стьюдента может быть использовано для первого приближения в решении вопроса о тарировке газоходов. Известно, что огромные сечения коробов современных мош,ных парогенераторов превращают их тарировку в сложное и очень дорогое мероприятие. Поэтому весьма важно уметь оценить точность результата в зависимости от числа принятых для измерения позиций. Для тарировки разобьем исследуемое сечение на /г равновеликих площадей и измерим величину интересующей нас в данном случае температуры в центре тяжести каждого сечения. Применив к распределению температур теорему Ляпунова, в первом приближении можно было бы полагать, что это распределение нормально. Так как число наблюдений мало, воспользуемся распределением Стьюдента. Допустим, что при тарировке газохода по шести точкам получены температуры 882, 866, 873, 882, 868 и 813° С. Среднее арифметическое этой выборки = 864 и выборочный стандарт 5я = 25,3°С. [c.77]

Согласно теореме Ляпунова, на независимые слагаемые F, суммы (3.98) накладываются условия, физический смысл которых заключается в том, что в числе слагаемых не должно быть доминирующих над совокупностью остальных, иными словами, чтобы роль каждого из слагаемых в сумме была ограничена (слагаемые равномерно пренебрежимы в пределе). Отклонения слагаемых могут быть как в положительную, так и в отрицательную сторону. Ограничений на типы законов распределения слагаемых не накладывается. [c.81]

Условия Ляпунова или Бернштейна и предельный переход (устремление к бесконечности k, I п т) должны иметь место в отношении каждой из указанных выше трех сумм. В силу этого частные суммы Z, 5 и Q так же, как и общие X и F, имеют предельным теоретическим законом распределения закон Гаусса с соответственными параметрами а а (т Оу а . Параметры связаны следующими соотношениями [c.174]

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы. [c.265]

При таких условиях в теории вероятности доказывается центральная предельная теорема Ляпунова, в соответствии с которой распределение суммы большого числа независимых случайных величин (с произвольными законами распределения ) подчиняется нормальному закону. В практике нормальное распределение встречается очень часто погрешности изготовления и измерения деталей, рассеяние механических свойств материалов, распределение различного рода случайных воздействий и т. п. Нормальный закон распределения обладает устойчивостью, линейные функции нормальных случайных величин также следуют этому закону. Во многих задачах с помощью нормального закона или его модификаций можно приближенно представить другие распределения. Плотность распределения при нормальном законе выражается следующим равенством [c.218]

Метод функционалов Ляпунова. Строгий метод для получения достаточных условий устойчивости (неустойчивости) распределенных систем дает метод функций Ляпунова, распространенный на распределенные системы. Вместо функций Ляпунова в классическом методе используют функционалы Ляпунова, по поведению которых [c.243]

ВДОЛЬ фазовых траекторий системы можно судить об устойчивости (неустойчивости). Выбор функционалов Ляпунова обусловлен выбором метрики, по отношению к которой исследуется устойчивость и которая входит в строгое определение устойчивости распределенных систем. [c.244]

Центральная теорема теории вероятностей Ляпунова дает теоретическое обоснование тому факту, что при устойчивом процессе обработки заготовок на настроенных станках и при отсутствии изменяющихся во времени систематических погрешностей действительные размеры деталей часто подчиняются закону нормального распределения, так как результирующая погрешность обработки представляет собой сумму большого числа погрешностей, зависящих от станка, приспособления, инструмента и заготовки. [c.45]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Уже в 30-е годы было начато изучение устойчивости более общих систем, чем у Ляпунова, что соответствует переходу от пространств конечного числа измерений с евклидовой метрикой к пространствам бесконечно большого числа измерений и метрикой общего характера. Эти исследования были продолжены и значительно продвинуты за последние два десятилетия с широким использованием методов функционального анализа. Переход к пространствам бесконечного числа измерений и общим метрикам дал возможность расширить теорию устойчивости на механические системы, описываемые не обыкновенными дифференциальными уравнениями, а бесконечными системами конечноразностных уравнений, уравнениями с запаздывающим или опережающим аргументом, уравнениями в частных производных и интегро-дифференциальными уравнениями и т. д. Такие системы все чаще встречаются в технике и физике, в теории устойчивости их удельный вес, несомненно, будет расти. Для таких систем подход к проблеме устойчивости в духе Ляпунова имеет особое значение, потому что для них весьма важен правильный учет начальных возмущений и распределение решений по типам и классам в зависимости от начальных условий. Опыт показывает, что здесь встречается гораздо большее разнообразие зон начальных условий, которым соответствуют разные по характеру решения, т. е. разное поведение физической системы. [c.132]

При проектировании технологического процесса обработки партии деталей необходимо, чтобы величина рассеивания размеров была не больше величины допуска. Исследование кривых распределения для разнообразных операций, выполняемых на настроенных станках методом автоматического получения размеров, показывают, что рассеивание размеров подчиняется закону нормального распределения — Ляпунова — Гаусса. Мерой рассеивания считают среднее квадратичное отклонение а и размах варьирования И . [c.47]

Так, выше совершенно не рассматривался вопрос о том, с какой точностью эмпирическое распределение аппроксимируется нормальным. Методы, позволяющие исследовать и решать этот вопрос, разработаны и, конечно, должны найти практическое применение в калориметрических измерениях [1, 5]. Отметим также, что, основываясь на центральной предельной теореме Ляпунова 1, 5], можно ожидать, что при калориметрических измерениях в большинстве случаев эмпирические распределения должны быть близки к нормальному. [c.401]

Могут быть сформулированы менее строгие условия [2.1]. Если переменные 7 имеют одинаковые распределения, то достаточно, чтобы среднее и дисперсия этого распределения имели конечные значения. Если переменные имеют различные распределения, то достаточно, чтобы они имели конечные средние значения и конечный (2 + б)-й абсолютный центральный момент при некотором б > О, а также удовлетворяли так называемому условию Ляпунова. [c.40]

H.H. Красовским концепция использования функций Ляпунова в решении задач оптимальной стабилизации оказалась плодотворной и в теории систем с распределенными параметрами (см. [28, 33, 101, 110]). [c.8]

Как отмечалось выше, актуальной проблемой теории устойчивости является создание строгих и эффективных методов исследования устойчивости движения систем с распределенными параметрами, в особенности сплошных сред. Эта проблема имеет огромное теоретическое и прикладное значение. В связи с этим весьма заманчивым представляется распространение методов Ляпунова вообще, и второго метода в частности, на системы с бесконечным числом степеней свободы. Этой проблеме посвящено большое число исследований, связанных большей частью с прикладными задачами. Мы рассмотрим здесь главным образом два направления исследований в этой области применение прямого метода Ляпунова и распространение теорем Лагранжа и Рауса, [c.30]

ПРИЛОЖЕНИЕ VI ЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ Ф (г) (ПОЛОВИНЫ ПРЕДЕЛЬНЫХ ПЛОЩАДЕЙ ПОД КРИВОЙ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЛЯПУНОВА-ГАУССА В ДОЛЯХ ЕДИНИЦЫ) [c.345]

Определить случайную погрешность результатов измерения можно лишь вероятностным способом, так как случайные погрешности подчиняются вероятностным законам распределения. Случайные погрешности измерений образуются в результате совместного влияния ряда независимых факторов, среди которых нет преобладающих. Рассеивание таких случайных величин, согласно теореме Ляпунова, подчиняется нормальному закону распределения (закону Гаусса). [c.130]

На основании предельных теорем А. М. Ляпунова и С. Н. Бернштейна доказано, что распределение погрешностей замыкающего звена (суммирующего) в большинстве случаев приближается к нормальному. Следовательно, [c.292]

На основании предельных теорем А. Ж. Ляпунова и С. Н. Бернштейна доказано, что если число слагаемых случайных величин (звеньев в размерной цепи) велико и выполнены условия А. М. Ляпунова для независимых слагаемых и условия С. Н. Бернштейна для зависимых слагаемых, то функция распределения погрешностей замыкающего звена приближается к функции нормального распределения, для которой а = 0 и к =1. Условия, при которых а,=0, следующие [c.308]

Из приведенных соотношений следует, что для нормального закона равен нулю первый момент, а коэффициенты асимметрии (третий момент) и эксцесса (четвертый момент) равны нулю и трем соответственно. Действительно, первые измерения пульсаций скорости в турбулентном потоке за решеткой, являющимся хорошим аналогом однородной турбулентности, показали, что экспериментальные точки хорошо согласуются с кривой нормального закона распределения, а измеренные Таунсендом [102] коэффициенты асимметрии и эксцесса дали в согласии с теорией значения = = О и Ш4 = 3, 0. Эти результаты были получены для компонент скорости 1, 2, 3 на различных стадиях вырождения и при различных числах Рейнольдса. Полученные результаты имели ясный физический смысл. Поле турбулентных пульсаций связано уравнениями Навье-Стокса. Следовательно, скорость в любой точке потока обусловлена всем полем случайных скоростей в пространстве, окружающем эту точку. Другими словами, пульсация скорости в данной точке есть результат совместного влияния на нее множества случайных пульсаций во всех прочих областях поля. А это ситуация, при которой справедлива центральная предельная теорема Ляпунова, согласно которой случайные процессы, формирующиеся под воздействием большого или бесконечно большого числа независимых или линейно связанных факторов, имеют нормальный закон распределения. Однако более детальный анализ обнаружил, что эта похожесть на нормальный процесс не полная, а применимость центральной предельной теоремы возможна лишь с определенными оговорками. Так, дальнейшее изучение механизма турбулентности показало, что случайные воздействия, [c.124]

При отсутствии доминирующих факторов, т. е. равномерной пренебрегаемости слагаемых в пределе и устремлении числа слагаемых к бесконечности, распределение значений х величины X точно соответствует закону Гаусса (математически строго определяется условиями предельной теоремы Ляпунова). [c.31]

Случайные ошибки измерений вызываются многочисленными факторами, малыми по своему индивидуальному влиянию на результат и не могущими быть учтёнными при проведении опыта. Наличие случайных ошибок измерения обнаруживается при многократных повторных измерениях одной и той же неслучайной величины в том, что результаты измерения оказываются различньши. Рассеяние результатов измерения обычно подчиняется закону Гаусса (см. Сведения из теории вероятностей" о теореме Ляпунова и об условиях возникновения распределений по закону Гаусса). [c.301]

Условия возникновения производственных погрешностей в значительном числе практических случаев таковы, что в качестве предельного теоретического закона распределения (ft x) (.мгновенного распределения) им вполне соответствует, на основании известной предельной теоремы А. М. Ляпунова, закон распределения Гаусса. В других практических случаях столь же обоснованными могут быть и негауссовы законы распределения [c.600]

При большом количестве стандартных деталей и узлов, из которых формируется машина, каждую деталь или узел можно рассматривать как случайную величину, а машину в целом как сумму большого числа независимых случайных величин. Слагаемые этой суммы подчиняются самым разнообразным законам распределения. Но если выполняются именно эти условия, то в соответствии с формулировкой известной теоремы Ляпунова (при неограниченном увеллче-нии числа слагаемых случайных величин плотность вероятности суммы подчиняется нормальному закону распределения) следует ожидать, что габаритные пропорции гаммы станков могут быть близки друг к другу. А если вкусам коллектива конструкторов в действительности отвечает золотое сечение, то с большой долей вероятности можно ожидать проявления и закрепления в этих пропорциях золотого сечения. [c.77]

Распределение по закону Гаусса было впервые подробно исследовано в конце XVIII и начале XIX века Гауссом применительно к ошибкам наблюдений и Лапласом при рассмотрении предельных распределений при повторении испытаний. Однако исчерпывающее теоретико-вероятностное обоснование этого распределения было получено позднее в работах русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова, установивших условия возникновения распределения по закону Гаусса. Завершением этих работ явилась предельная теорема Ляпунова о распределении суммы независимых случайных слагаемых. С. Н. Бернштейном эта теорема обобщена на сумму слабо зависимых случайных слагаемых. [c.80]

При условиях, по существу аналогичных условиям Ляпунова, Линдберга и др., распределение Релея будет являться предель- [c.470]

В случае е = — 1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии W распределений — теорема Ньюкомба — Гарднера (клас-сич. пример распределение Максвелла — Больцмана /о = /(е Покажем, что монотонные распределения глобально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова [c.260]

Строгое определение устойчивости распределенных систем строится путем соответствующего обобщения определения устойчивости по Ляпунову. При этом существенное значение имеет выбор метрики, при помощи которой оценивается близость двух движений расаределенной системы. Так, близость скалярной функции и (х,() (где X е S) к решению и (х, 0=0 может оцениваться по нормам типа [c.241]

Распространение теории Ляпунова на распределение (континуальные) системы стало возможным поале того, как она была сформулирована в терминах функционального анализа. Это позволило обобщить на весьма широкий класс метрических пространств многие понятия, теоремы и методы, данные Ляпуновым и его последователями для конечномерного евклидова пространства. [c.460]

Строгие методы теории устойчивости движения могут быть распространены на распределенные системы. При этом, например, вместо функций Ляпунова вводят функционалы Ляпунова, производные от которых по времени в силу уравнений движения обладают определен-Егыми свойствами. По этим свойствам судят об устойчивости (неустойчивости) невозмущенного движения. Если модель распределенной системы линейна или если для выводов об устойчивости используют уравнения первого приближения (уравнения в вариациях), то анализ устойчивости приводит к некоторым обобщенным задачам о собственных значениях. [c.461]

Прежде чем говорить о физических основаниях, придающих этой схеме реальность, отметим результаты, которые можно получить, исходя из нее. Если мы будем производить измерения через определенные заданные интервалы времени, то с вероятностной точки зрения эта схема оказывается схемой цепи Маркова. Действительно, так как ячейки соответствуют здесь максимально полно определенным состояниям, то вероятности перехода а следовательно, и вероятности исходов последующего опыта однозначно определяются исходом настоящего опыта. Так как коэффициенты р. удовлетворяют соотношению симметрии Pii, = Pki, то, как известно из теории цепей Маркова, существует стационарное распределение, представляемое равномерным распределением вероятностей между ячейками. Если мы будем считать, что все коэффициенты РгТс (что, как будет видно в 3, можно предположить без существенного сужения физической постановки задачи), то стационарное распределение вероятностей единственно кроме того, это стационарное распределение является предельным при любом начальном состоянии системы или при любом распределении вероятностей начальных состояний. Условие Pik является достаточным для того, чтобы выполнялся закон больших чисел, согласно которому, для любого заданного начального состояния, при многократном воспроизведении начального состояния частость осуществления заданной ячейки в опыте, проводимом в некоторый заданный, достаточно удаленный момент, будет иметь пределом вероятность осуществления этой ячейки при стацирнарном (т. е. равномерном) распределении. Если выполняется условие справедлива также обобщенная предельная теорема Ляпунова [31]. Согласно этой теореме, частость осуществления заданной ячейки в данном процессе, для любого заданного начального состояния, при возрастании числа последовательных во времени опытов будет иметь пределом среднюю вероятность осуществления этой ячейки для того же процесса или (ввиду существования предельного распределения) вероятность осуществления этой ячейки при стационарном распределении. Первый из этих результатов является некоторым аналогом появления — независимо от начального состояния — равномерного распределения вероятностей на поверхности заданной энергии после [c.139]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

При исследовании автоколебаний в распределенных системах используется метод периодических решений Пуанкаре в форме, Витта [11] или метод Линдштедта — Ляпунова в форме Гвоздо-вера [12]. Однако эти методы сложны. [c.160]

Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М. Наука. 320с. [c.294]

В.Н. Зубов, A.A. Мовчан, Т.К. Сиразетдинов). Нри решении этих задач возникают математические трудности, связанные с построением функционалов Ляпунова и проверкой их знакоопределенности. Если уравнения движения допускают первые интегралы, то построение функционала Ляпунова осуществляется по методу Н.Г. Четаева в виде связки первых интегралов. Проверка знакоопределенности функционалов, в том числе при ограничениях, содержащих конечномерные переменные и распределенные параметры, по заданной метрике представляет трудную и не решенную задачу. [c.403]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...