Вектор бесконечномерны

Из-за отсутствия наглядного образа бесконечномерного абстрактного вектора целесообразно при обобщении теории конечномерного вектора исходить из базисного представления, в котором вектор характеризуется совокупностью чисел, взятых [c.142]

Она имеет определенный смысл и может быть использована при любом сколь угодно большом значении п, но не имеет смысла при и, следовательно, нуждается в видоизменении при обобщении на бесконечномерное линейное пространство. Это видоизменение очевидно при переходе от дискретных значений Х( к непрерывно изменяющейся величине х сумма в (22.6а) переходит в интеграл, т. е. скалярное произведение бесконечномерных векторов д и /), базисные представления которых задаются [c.143]

Бесконечномерный оператор определяется в полной аналогии с конечномерным как правило, по которому бесконечномерному вектору I ) сопоставляется бесконечномерный вектор I ф > [см. (21.18)] [c.145]

Однако для бесконечномерных операторов выполнение равенства (22.36) является лишь необходимым условием эрмитовости, но не достаточным. Чтобы в этом убедиться, возьмем два вектора ф) и 4 >, представления которых в базисе векторов ) даются функциями ф (,v) и 4 (х) на интервале (а, h). Эрмитов оператор К должен удовлетворять соотношению [c.146]

Собственные значения и собственные векторы. Проблема нахождения собственных значений и собственных векторов в бесконечномерном век- [c.147]

Если в пространстве U существует не больше п линейно независимых векторов, то такое пространство называется линейным п-мерным пространством. Если же в пространстве U существует любое число линейно независимых векторов, то оно называется бесконечномерным. [c.206]

В инженерно-физических приложениях используются конечно- и бесконечномерные действительные или комплексные векторные пространства, соответственно определяемые как линейные (векторные) пространства над полем действительных и комплексных чисел в зависимости от того, допускается ли умножение векторов только на вещественные или на любые комплексные числа. 206 [c.206]

Класс Z,2(0) всех действительных или комплексных квадратично интегрируемых функций, определенных в некоторой области D, образует действительное или комплексное бесконечномерное унитарное векторное пространство, если рассматривать функции 1 ... как обобщенные векторы и определить [c.208]

Конечномерное пространство Е, снабжённое С. п., наз. евклидовым пространством. Бели Е является бесконечномерным и полным, то оно ваз. гильбертовым пространством. С. п. (ех, е), где вектор ех фиксирован, а вектор е рассматривается как переменная, определяет числовую ф-цию /(е) = (ех, е) на гильбертовом пространстве. Эта ф-ция линейно зависит от е и обладает свойством непрерывности [если е -> ец, то /(е) /(во) [c.536]

В бесконечномерном случае можно сформулировать аналог этого утверждения для самосопряжённых компактных операторов. Оператор А, действующий, напр., в пространстве Р бесконечномерных векторов / = = (а],а ,...) с конечной нормой [c.568]

Наличие С. в. у операторов в бесконечномерных пространствах — явление довольно редкое, хотя для физ. приложений существенно, что операторы спец, классов (интегральные, дифференциальные и т. п.) часто обладают обширными наборами С. в. Наиб, важным для физики бесконечномерным векторным пространством является пространство векторов /, у вида [c.569]

Если ввести бесконечномерный вектор п (п1,п2,...) и вектор ш = = ...), то формулы (1.30) и (1.31) можно записать так [c.16]

Обобщенный вектор Блоха. Для расчета фотонного эха сначала воспользуемся уравнениями (15.30). Применим подход, который использует формализм вектора Блоха (см. 16). Однако теперь вместо четырехкомпонентного вектора Блоха мы будем использовать бесконечномерный вектор, который можно назвать обобщенным вектором Блоха. [c.225]

Продольная и поперечная часть ОВБ — трехкомпонентный и бесконечномерный векторы. [c.225]

R ", а вторым — — , Т , / . Тогда вследствие принципа суперпозиции бесконечномерные векторы ad амплитуд волн, которые падают на [c.24]

Яг при этом х наз. собственным вектором оператора Л, отвечающим данному собственному значению. Число Л наз. регулярной точкой оператора Л, если оператор (Л — kEУ существует, определен на всем Я и ограничен остальные значения Я называют точками спектра оператора Л. Каждое собственное значение принадлежит спектру, их совокупность образует точечный спектр остальную часть спектра иаз. непрерывным спектром. Тот факт, что спектр линейного О., вообще говоря, не исчерпывается ого собственными значениями, представляет собой характерную черту линейных О. в бесконечномерном пространстве, отличающую их от линейных преобразований конечномерного эвклидова пространства. [c.491]

Замечание 5. Относительные равновесия системы (2.3), для которых К = = 8 = М = у = О могут быть интерпретированы различным образом в зависимости от физических постановок задач. Для движения тела с вихревыми полостями они определяют частные решения, для которых движение тела представляет собой равномерное вращение вокруг некоторой оси, а вектор завихренности заморожен в теле. Особый интерес представляет исследование стационарных конфигураций для модели связанных волчков, определяющей динамику цепочки спинов. Такие конфигурации, задающие некоторое когерентное состояние, имеют большое значение в квантовой физике, они рассмотрены нами в гл. 5 для конечномерного и бесконечномерного случаев. [c.186]

Формальное выражение для старших векторов фундаментальных представлений. Существует другой, более непосредственный по сравнению с приведенным в п. 2, способ явного нахождения замкнутых выражений для старших векторов фундаментальных представлений, формально применимый и для бесконечномерных простых алгебр Ли. С этой целью введем в рас- [c.68]

В дальнейшем, для сравнения со случаем бесконечномерных простых алгебр Ли конечного роста, полезно напомнить, что старшие векторы ) фундаментальных представле- [c.143]

Размерность п векторного пространства — это число векторов, входящих в наибольшее линейно независимое множество, порождающее все пространство. Размерность всякого подпространства -мерного пространства не" превосходит п. (Конечно, в этой книге неявно встречаются и бесконечномерные векторные пространства, элементами которых являются функции, но формально Они не рассматриваются.) [c.499]

Группа М ) бесконечномерна, но существенно различных циклов в ней не слишком много бесконечное число измерений набирается за счет циклов, лежащих друг над другом на разных листах накрытия Ж. Локальная система задает естественное действие группы 2 на С (/И ) симплекс под действием вектора = ( 1,. .переходит в цепь -Ир), где [c.212]

Поэтому, по Дираку, состояние квантовой системы описывается бра-вектором (ifi или сопряженным ему кет-вектором 1113) = = (( ф )" " состояния (с волновой функцией j)(q, /)=) в бесконечномерном гильбертовом (функциенальном) пространстве. В этом линейном пространстве в качестве базиса используются ортонормированные т т ) — 6fnm ) собственные функции il3m = = (q m) (Щт) = т т)) любой физической величины, представляемой эрмитовым оператором M = / i+, при этом Ст(0=( ф)-Условие полноты базиса т) (т-представления) символически можно записать в виде [c.188]

Основным понятием квантовой механики, с помоп(ью которого описывается состояние, являе1ся вектор, называемый вектором состояния. Однако в отличие от классической механики вектор состояния даже для одной частицы является бесконечномерным. Совокупность всех таких векторов составляет пространство, в котором оперирует квантовая механика. Для удовлетворения принцигса [c.129]

Бесконечномерный вектор. Из определения размерности векторного пространства заключаем, что в нем число линейно независимых векторов бесконечно. Следовательно, ортонорми-рованиый базис состоит из бесконечного числа ортов и в базисном представлении вектор описывается бесконечным числом проекций. [c.142]

В конечномерных пространствах, наоборот, у всякой Я Мерной матрицы А имеется хотя бы один С. в., отвечающий, вообще говоря, комплексному собств. значению Я, а если к тому же матрица А яевырождеиа, (1е1Л yi о, то у такой матрицы найдутся ровно п разл. комплексных С. в. Это справедливо, в частности, для унитарных конечномерных матриц А Л - = А -). В физ. приложениях часто возникает необходимость разложить произвольный вектор в сумму по С. в. заданной эрмитовой матрицы А [вапр., привести к диагональному виду симметричную квадратичную форму (хАх)]. Эта задача решается переходом с помощью унитарного преобразования к базису, составленному из С. в. матрицы А. В этом базисе действие оператора А сводится к умножению каждого базисного вектора на соответствующее ему собств. значение Я. В бесконечномерном Случае аналогом этой процедуры диагонализа-ции является т. н. спектральное разложение. [c.569]

Сечение поглощения и вероятность испускания света примесным центром. Выражения для вероятностей вынужденных переходов в единицу времени с испусканием и поглощением кванта света были выведены в гл. 3 при переходе от бесконечномерной системы уравнений для матрицы плотности к оптическим уравнениям Блоха. Для такого перехода мы заменили эти вероятности, описываемые формулами (7.39), лоренцианом с полушириной 2/Т2. Подставим в формулы (7.39) явное выражение для квадрата частоты Раби = (47ra k/ft)(nk/V)d os at, где к — угол между дипольным моментом и вектором поляризации. Выразив с помощью формулы Пк/V — I/с число фотонов в единице объема через число фотонов I, приходящих на единичную площадку в единицу времени, мы можем выразить квадрат частоты Раби через интенсивность I падающего света [c.122]

Результаты Ляпунова, соответствующие случаю одной степени свободы, были обобщены М. Г. Крейном и В. А. Якубовичем на любой конечномерный случай. Можно сохранить прежнюю форму записи, считая у вектором (одностолбцовой матрицей) в пространстве любого числа измерений, р t) — матрицей соответствующего порядка. Однако, как ни существенно обобщение на многомерный случай, для анализа колебательных систем в механике сплошных сред оно недостаточно. Например, исследование динамической устойчивости jrnpyroro тела, находящегося под действием параметрического и периодически изменяющегося во времени возмущения, требует перехода от конечномерного случая к бесконечномерному. Первые результаты в этом направлении были получены В. И. Дергузовым. Выяснилось, что основные результаты, полученные в конечномерном случае, переносятся и на бесконечномерный случай Переход к бесконечномерному случаю потребовал существенного видоизменения методики интересно отметить, что новая методика позволила углубить теорию и для систем с конечным числом степеней свободы При этом полезным оказался переход от уравнения (d) к белее общему операторному уравнению вида [c.133]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Другим ва жным примеро.м бесконечномерной, ко-вариантно относительно Л. п. величины является вектор состояния il) / (i>) свободной релятивистской частицы массы т и спина s. За переменные такого вектора состояния всегда можно выб1эать трехмерный импульс р и проекцию спина пробегающую 2s + 1 значений. Обозначенные через а другие возможные переменные (напр., зарядовые) будут инвариантными. Операторы бесконечно малых вращений и Л, п. при этом примут вид [c.18]

О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При таком подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрич, смысл. Напр., ф-ла (1) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта равенство Ляпунова—Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного нростран-ства квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций иа оси координат замкнутость О. о. ф. означает, что наименьшее. замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем нространством и т, д. [c.534]

СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ линейного оператора L, действующего в пространстве ф-ций, — нетривиальные решения ур-ния Li ) = Хч ), причем X — одно из собственных значений оператора L. Пространство ф-ций можно рассматривать как (бесконечномерное, вообще говоря) вектор юе пространство, в к-ром скалярное произведение элементов г )(а ) и ф(х) определено как г])(ж) ф(ж) dx. Особое значение имеют С. ф. в механике, квантовой механике и др. областях фиаики. В квантовой механике линейные операторы, соответствующие наблюдаемым физ. величинам, эрмитовы ij)(x) L(f(x) dx = ф(х) Lt()(x)rfx. Физ. смысл их С. ф. состоит в том, что эти ф-ции представляют собой волновые ф-ции состояний, в к-рых измеренное на опыте значение наблюдаемой равно одному из собственных значений соответствующего оператора. В конечномерном векторном прострапстве для любого эрмитова оператора Я найдется [c.566]

Замечание 2. Закон сохранения вектора момента относительно пространства можно выразить, сказав, что каждая компонента этого вектора в какой-либо системе координат на пространстве 9 сохраняется. Мы получаем, таким образом, множество первых интегралов уравнений движения твердого тела. В частности, каждому элементу алгебры Ли g соответствует линейная функция на пространстве g и, следовательно, первый интеграл. Скобки Пуассона первых интегралов, заданных функциями на д, как легко сосчитать, сами будут функциями на д. Мы получаем, таким образом, (бесконечномерное) расширение алгебры Ли д, состояп].ее из всевозможных функций на д. Сама алгебра Ли д вложена в это расширение как алгебра Ли линейных функций на д. Конечно, функционально независимы из всех этих первых интегралов фазового потока в 2п-мерном пространстве только п штук. В качестве п независимых интегралов можно взять, например, п линейных функций на д, образующих базис в д. [c.292]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет в принципе найти скорость течения v как функцию на группе SDiff М. Таким образом, на SDiff М естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры...). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой. [c.222]

Наблюдаемые физической системы отождествляются с самосопряженными линейными операторами, действующими в некотором гильбертовом пространстве Ж. В этой теории Ж — конечно- или бесконечномерное комплексное векторное пространство (векторы которого мы обозначим через Ф, Т,. ..), снабженное скалярным произведением (Ф, ), линейным по Ф и антилинейным по Ф. Кроме того, гильбертово пространство Ж полно по норме Ф = (Ф, Ф) , т. е, любая фундаментальная последовательность Ф векторов из пространства Ж сходится по этой норме в пространстве Ж. [c.12]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...