Функция Грина интегрального уравнения

Функция Грина диференциального уравнения 187 --интегрального уравнения 251 [c.288]

Если мы желаем получить интегральное уравнение (37) непосредственно из (33), то можем это сделать путем построения функции Грина для уравнения [c.273]

Сингулярные интегральные уравнения основных задач об изгибе бесконечной пластины с криволинейными разрезами можно построить аналогично соответствующим плоским задачам. Нил<е предложен иной, более общий прием, в котором используется фундаментальное решение (функция Грина) бигармонического уравнения. Такой подход в дальнейшем будет применен при решении задач об-упругом равновесии пологих оболочек с трещинами. [c.249]

Разность между данной функцией Грина и функцией Грина, определяемой формулой (12.3), есть решение однородного уравнения (12.1) во всей области 0<г< ос). Итак, функции удовлетворяют интегральным уравнениям [c.312]

Здесь функция С х, х ) представляет собой так называемую функцию Грина для уравнения на собственные значения и" (х) == = — Ки с граничными условиями ц (0) = ц (Ь) = О ). Так как Ф является интегральной формой, квадратичной по (х), то вычисление (х) (х ) эквивалентно обращению этого интегрального ядра. (См. замечание к решению задачи 2. Хотя там рассмотрены лишь матрицы конечного порядка, однако по аналогии нетрудно провести обобщение на бесконечномерный случай.) Это в сущности те же функции Грина типа (8). Относительно функций Грина см., например, [7] ). [c.421]

Уравнение (4.6) может быть решено аналитически следующими методами Фурье, Дюамеля, функций Грина, интегральных преобразований, операторным, тепловых потенциалов и методом источников тепла. Последний из них нашел широкое применение для решения задач теплофизики резапия материалов [22. [c.95]

Если одно из соприкасающихся тел абсолютно жесткое, а для второго известна функция Грина, то использованный выше путь приводит к интегральным уравнения Фредгольма I рода [c.300]

Интегральное уравнение Боголюбова — Борна — Грина для радиальной функции распределения в суперпозиционном приближении [c.288]

Значение функции Грина состоит не только в том, что для некоторых областей частного вида с ее помощью получается явное (в интегральной форме) представление для решения. Важным является также возможность ее использования в качественных исследованиях. Для иллюстрации сказанного обратимся к вопросу о разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца. [c.111]

Для плоской задачи в случае наличия одной прямолинейной трещины с помощью функции Грина можно построить интегральное уравнение, записанное лишь по внешней границе тела. Приведем результаты решения некоторых задач [92]. В таблице 14.1 [c.106]

Переход к эквивалентному интегральному уравнению (П5.1) для большинства типовых расчетных моделей, используемых при расчете потенциала и тока, производится, как правило, с помощью функции Грина. [c.264]

Практическое построение интегральных уравнений производится путем подстановки интегральных соотношений (П5.2) - (П5.4) в граничные условия решаемой задачи. Использование функций Грина приводит к интегральным уравнениям, которые содержат интегралы лишь по части граничной поверхности и позволяет исключить интегрирование по тем участкам границы, на которых заданы граничные условия того же рода, что и функция Грина, входящая в интегральное уравнение. [c.265]

Непосредственно видно, что Я = О— характеристическое число уравнения (8), причем соответствующая ему фундаментальная функция есть постоянная. Положим U = ИУ S, где S — величина площади, ограниченной контуром L. Для составления интегрального уравнения будем искать обобщенную функцию Грина — Неймана (а , у I, т]), т. е. функцию, удовлетворяющую уравнению [c.56]

Чтобы получить соответствующее задаче интегральное уравнение, ищем обобщенную функцию Грина Н х, у т]), являющуюся решением уравнения [c.57]

Интегральное уравнение получается того же вида, что и в предыдущих способах, ядро же его Яц несколько отличается от Я. Функция Грина и ее обобщения для круга Известно, что функция Грина G (х, у , т]) для круга радиуса R с центром в начале координат может быть написана в виде [c.60]

Построение этой функции наметил Пуанкаре [4]. Вычисление приведено Г. Бертраном [2]. Формула для Я показывает, что обобщенная функция Грина не существует при X = +е. Однако, исключительность характера этих значений Л для интегрального уравнения пропадает, если принять во внимание, что ядро уравнения умножается на — 8 . [c.61]

Переходя к решению уравнения (1), рассматриваем его как аналог уравнения Пуассона. Уравнение не является, вообще говоря, уравнением Пуассона, так как содержит в правой части искомую функцию и. Однако это не может препятствовать применению к уравнению формулы Грина, позволяющей преобразовать его в интегральное уравнение. Пусть п — внешняя нормаль к границе S области V, [c.9]

Используем для решения дифференциальных уравнений (11-3-2) — (11-3-4) следующие конечные интегральные преобразования с функцией Грина [Л. 11] [c.511]

Решение уравнений (1) — (3) проводилось следуюш,им образом. Вначале решалось уравнение (3). После применения к нему интегрального преобразования Лапласа было получено операторное решение, выраженное через функции Макдональда. После применения интегрального преобразования Лапласа к уравнению (1) было получено линейное неодно родное дифференциальное уравнение второго порядка, которое затем решалось с помощью функции Грина. Аналогичным образом было найдено операторное решение уравнения (2). В результате были получены точные решения уравнений (1) — (3) в критериальной форме [c.87]

Отметим, что форма записи решения задачи Копти (1.39) совпадает с формой представления интегральных уравнений типа Вольтерра 2-го рода [29,32,194]. Функция Грина и ее производные по х являются вырожденными, зависящими от разности аргументов, ядрами. При граничном значении переменной х = I интегральные соотношения (1.39) переходят в алгебраические уравнения. [c.23]

В связи с вышеизложенным, получим аналитическое решение системы уравнений (2.30) с построением функций Грина для перемеш,ений и (а), v(a). Для решения данной задачи воспользуемся аппаратом интегральных преобразований Лапласа, где оригиналами выступают перемеш,ения и а), v(a). Согласно теореме о дифференцировании оригинала [103] будем иметь [c.90]

Пример, Рассмотрим одномерные процессы и () а f (/), связанные дифференциальным уравнением (6). Переход от дифференциального уравнения к интегральному осуществляется с помощью функции Грина Л (/— X) в форме и (() = J 1г t х) f (Х) dx. Для корреляционной [c.289]

Задача отыскания колебательных решений обыкновенных дифференциальных уравнений часто может быть сведена к задач отыскания решений определенного вида интегральных уравнений типа Фредгольма. Общий прием сведения дифференциальных уравнений к интегральным уравнениям типа Фредгольма основан на использовании функции Грина. [c.114]

В этой задаче с помощью функций Грина удается выписать интегральное уравнение. Из уравнений (15) и (16) приложения N получаем значения функции ф в произвольной точке Р области S [c.432]

Решение этой же задачи и идентичной задачи для бесконечной пластины получено В. Койтером [62] (1955 г.). Используя в качестве функции Грина решение от сосредоточенной силы, автор получил сингулярное интегральное уравнение [c.123]

Соотношения (11.11) и (11.12) —основные тождества, которым удовлетворяет функция Грина линеаризованного уравнения Больцмана. Некоторые из них были указаны Кейзом [47]. Данные тождества полезны при обсуждении одного парадоксального замечания относительно равенства (11.10). Можно попытаться решить это интегральное уравнение для /г(х, ) (х дН) и найти /г на дЯ и, следовательно, к в Н при помопхи (11.9). С другой стороны, значения /г на границе для > О могут быть заданы произвольно или во всяком случае должны быть связаны с таковыми для -п<0 граничным условием (2.14), где А — известный оператор и ко — заданный свободный член. Таким образом, получается, что уравнение (11.10) решить нельзя, но система уравнений (2.14) и (11.10) должна быть разрешима относительно неизвестных к+, к , В связи с этим заметим, что уравнение (11.10) можно записать в виде [c.245]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Решение, ссответствующее мгновенному точечному источнику и являюш,ееся функцией Грина для уравнения теплопроводности, позволяет написать формальные выражения для давления в пласте, распределяя надлежащим образом подобранные интенсивности источников,. стоков или диполей вдоль соответствующих контуров ). При этом, если задавать на границах давления, для инте сивностей этих распределений в функции времени, т. е. для дебнтов, получаются сингулярные интегральные уравнения Вольтерра, мало пригодные для эффективных расчётов. Проще получаются решения задач, когда интенсивности — дебиты известны в функции времени. В этом случае решения приводятся к квадратурам, правда, весьма громоздким, но всё же гораздо более простым. [c.101]

Систематически излагается термодинамика и статистическая теория миогочастичных райиовесных систем. В основу статистической физики равновесных идеальных и неидеальных систем положены метод Гиббса и метод функций распределения Боголюбова. Излагается классическая и квантовая теория газа, твердого тела, равновесного излучения, статистическая теория плазмы и равновесных флуктуаций. Обсуждаются методологические вопросы курса, В книге рассматриваются также некоторые новые вопросы, еще не вошедшие в программу теория критических индексов, вариационный принцип Боголюбова, термодинамическая теория возмущений, интегральные уравнения для функций распределения (уравнение самосогласованного поля,, интегральное уравнение Боголюбова—Борна—Грина, уравнение Перкуса— Иевика). [c.2]

Возникает, естественно, вопрос о возможном преимуществе решения задачи Дирихле посредством функции Грина по сравнению с решением той или иной конкретной задачи каким-либо иным методом, например, посредством интегральных уравнений. Нужно отметить, что построение функции Грина, вообще говоря, требует решения совокупности краевых задач для различных положений точки р, однако для отдельных областей удается построить функцию Грина в явном виде. [c.108]

Другой способ основывается на том, что уравнение (73) можно преобразовать при помощи функции Грина, а затем решить полученное интегральное уравнение методом итераций. Решение снова содержит все корреляционные функции от Сцтп- [c.88]

Г. Бертраном [2] дано доказательство существования функции Н х, у ц) для области, контур которой не ил1еет угловых точек, причем построение обобщенной функции Грина сводится к решению интегрального уравнения с сингулярным ядром. [c.61]

В заключение отметим, что по проблемам использования функций Грина в задачах математической физики имеется обширная литература. В частности, в работах [10, 60, 108] исследуются свойства функции Грина для интегрального уравнения Лапласа и Пуассона. Некоторые конкретные примеры функций Грина применительно к задачам теплопроводности с рассмотрением их физического Mbt jia и построением функций влияния различных тепловых источников приведены в монографиях [48, 27, 28]. Функции Грина для двух случаев, п )едставляющих практический интерес для смещенного нитевидного теплового источника и для точечного источника в теплопроводящем цилиндре бесконечной длины, даны в П. 4. [c.49]

Функцию Грина, применяемую в приложении интегральных уравнений к теории теплопроводности, не следует смешивать с одноименной функцией, применпвшейся в главе X. [c.251]

Двумерные задачи. Решение общих задач теплопроводности в двух и трех измерениях можно получить методом интегральных уравнений с помощью функции Грина подобно тому, как это делается в теории потенциала. Но последовательное решение этих задач методом интегральных уравнений оказывается более трудным, чем решение разобранных у ке нами задач. В этих задачах ядро интегрального уравнения в области интегрирования обращается в бесконечность интегралы оказываются поверхностными или объемными и ряды дво1Т ными или тройными. [c.259]

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана — Меллина (2-9-2). Эта формула позволяет получать решения в интересующей нас форме, в том числе в замкнутой форме. Идея метода состоит в том, что выбор ядра интегрального преобразования К(р, х) осуществляется в соответствии с днф-деренциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования [c.83]

И. у., содержащие неизвестную ф-цию нелинейно, ная. нслииейиыми интегральными уравнениями. Для нек-рых типов нелинейных И. у. разработана достаточно полная теория. Исследовано ветвление решений нелинейных И. у. найдена зaв I имo ть решения от параметров И. у., получены значения параметров, при к-рых решение разветвляется, найдено число ветвей и представление каждой ветви как ф-ции параметров. Важность И. у. для матем. физики определяется тем, что краевые задачи и задачи на собств. значения для дифферснц. ур-пий можно свести при помощи Грина функций к И. у. [c.157]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Интегральное уравнение (174) можно решать методом последовательных приближений, выбирая за начальное приближение функцию определяемую соотношением (172). Для перехода от системы дифференциальных уравнений (173) к системе интегральных уравнений (174) необходимо знать функциюГрина О (t, т). В частном случае, когда матрица Р (t) = А постоянна, функция Грина имеет вид [c.115]

Частотно - временные методы основаны ца представлении законов движения периодических виброударкых процессов через так называемые периодические функции Грина линейных систем [5, 6, 9]. По своему характеру они, в известной мере, объединяют оба описанных подхода, почему и получили такое наименование. Рассмотрим общее уравнение движения (6.5.32) и эквивалентное ему (для установившихся режимов) интегральное уравнение (6.5.33). Воспользовавшись стереомеханической теорией, предположим, что в системе установился Г-периодический виброударный процесс с V соударениями за период. В соответствии с (6.5.29) [c.385]

Иной путь представления решения Трассматриваемой задачи в интегральной форме связан с введением функции Грина G (М, /Но), которая удовлетворяет уравнению [c.26]

В разд. 8.2 рассмотрено взаимодействие жестких штампов с тонкой круговой цилиндрической оболочкой по дугам окружности поперечного сечения. Дается подробное решение названной задачи от вывода исходного интегрального уравнения до численного расчета. Так как путь решения данной задачи является характерным для всех других контактных задач, следует на нем остановиться. На основе результатов гл. 6 записывается изгнбная поперечная деформация срединной поверхности оболочки в некоторой точке дуги окружности поперечного сечения от единичной сосредоточенной силы, приложенной в некоторой другой точке той же окружности. Иными словами, строится функция влияния, которая выполняет роль функции Грина при записи интегрального представления для из-гибиой деформации от произвольной нормальной погонной нагрузки, приложенной по дуге окружности поперечного сечения. П-ри записи такого представления существенную роль играет то, что главнаи часть функции Грина (логарифмическое ядро) записывается в явном замкнутом виде, остальная регулярная часть (регулярное ядро) записана в виде тригонометрического ряда. Сходимость такого ряда весьма хорошая (как 1/п при больших п), она исследована в гл. 6. Найденная нагибная деформация оболочки приравнивается разнице между исходной кривизной оболочки на линии контакта и кривизной основания штампа, которая предполагается несколько меньшей, чем кривизна оболочки. Так получается исходное интегральное уравнение с логарифмическим разностным ядром вида а — ар [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...