Функции условно-периодические

Из (17.162) видно, что если / = о, то резонанс может наступить при /со = Юс, т. е. число резонансных частот бесконечно велико — все они кратны основной круговой частоте ю. Конкретная система, характеризуемая определенной величиной Юс, теоретически может оказаться в состоянии резонанса в связи с тем, что Юс окажется равным одному из /ю, хотя практически обычно оказываются существенными лишь несколько первых резонансов. Если функция /(/) не периодическая, то резонансы условные. [c.127]

Таким образом, в зависимости от арифметических свойств вектора частот а> х) траектория н торе может быть представлена периодической функцией (если имеется резонанс частот) или условно-периодической функцией с п частотами. [c.101]

Z(z, t) является периодической функцией fe(—oo, oo), характеризуемой частотами со = К — любое вещественное положительное число, р,,, — взаимно простые целые числа, к = >= 1,. .., /г), или условно-периодической функцией t, состоящей из конечного числа гармоник, [c.108]

Пусть нагрузка q t, х) является условно-периодической функцией времени со спектром частот Vi, Vг,. . v,. Тогда ее коэффициенты Фурье имеют вид [c.170]

Гамильтоновы системы являются наиболее подходящей моделью для описания движений в динамических системах с потенциальными полями, когда существует так называемая характеристическая функция, зависящая от обобщенных координат и скоростей (импульсов) [159], которая порождает дифференциальные уравнения движения поэтому можно сказать, что она исчерпывающим образом описывает движения в динамических системах. Асимптотическое интегрирование канонических систем так или иначе связано с нахождение. периодических или условно-периодических решений, с изучением окрестности таких решении и с проблемой устойчивости частных решений гамильтоновых систем [12, 91, 160]. [c.195]

Здесь повторяется ситуация, рассмотренная в предыдущих главах процедура усреднения может быть достаточно эффективной в случае исследования колебательных процессов, описываемых периодическими или условно-периодическими функциями. Некоторые вопросы применимости метода усреднения к каноническим системам решены в работах [8, 12, 29, 31, 125, 168]. Здесь мы изложим в некотором смысле более общий алгоритм реализации метода усреднения для уравнений (1). [c.205]

Ставится задача о нахождении точных (а не приближенных) решений гамильтоновой системы (1) в виде условно-периодических функций времени при вещественных начальных значениях ( 0) Уо) Gin- [c.240]

Таким образом, для доказательства существования точных решений гамильтоновых систем в виде условно-периодических функций времени необходимо выяснить условия, при которых ряды (222) сходятся в классическом смысле. К. Л. Зигель [91, 185] п А. И. Колмогоров [112, 186] выдвинули те плодотворные идеи, которые мы обсуждали в 4.1. Применительно к гамильтоновым система.м это означает [c.240]

Величины Хо У o связаны с начальными значениями искомых функций Хо, г/о цепочкой формул, приведенных в [8, с. 191, 194]. Из формул (263) видно, что каждое приближение к точному условно-периодическому решению само является условно-перио-дической функцией и представляется в общем случае бесконечными рядами. [c.245]

Пусть А = А —невырожденная критическая точка функции h, причем h X )6 < 0. Тогда при малых значениях е > О возмущенная система с гамильтонианом (11.2) имеет (п — 1)-параметриче-ское семейство условно-периодических решений [c.246]

От полноты контроля зависят условные (а° и ), безусловные (Ргд и Рдг ) вероятности и другие характеристики контроля изделия в целом. В работе [41] получены формулы для определения условных вероятностей ошибок контроля первого и второго рода по изделию в целом (а . Рк ). как функции условных вероятностей ошибок контроля по параметрам ( к, Рк), количества параметров изделия [М) и априорных вероятностей их годности (рх), показателя полноты контроля изделия (Q). Показано, что увеличение полноты контроля приводит к уменьшению x и увеличению а° - При этом имеет по Ое Ох максимум, а а монотонно увеличивается с ростом Og /ох и полноты контроля Q. Это говорит о необходимости учета и периодической проверки полноты контроля изделий при проведении метрологической экспертизы проектов сложных изделий, а также о целесообразности нормирования этого показателя в НТД. [c.77]

Канонические элементы я. В свободны от того недостатка, который имеют первоначальные элементы и Рй. Действительно, согласно [2] промежуточное движение является условно-периодическим. Относительно каждой из величин В , B координаты спутника будут периодическими с периодом, равным 2л. Этим свойством будет обладать и функция R, а следовательно, и правые части уравнений (4.2.7). [c.113]

Фазовый поток с функцией Г амильтона Н определяет на Mi условно-периодическое движение, т. е. в угловых координатах = [c.239]

Фазовый поток с функцией Гамильтона Н определяет на Mf условно-периодическое движение, т. е. в некоторых угловых координатах ip = (fil,. .., (fin) имеем уравнения [c.74]

В большой степени переработана и дополнена часть VH. Добавлены новые параграфы по теории приближений функций, в частности, аппроксимация функций с помощью сплайнов, аппроксимация периодических и условно-периодических функций тригонометрическими многочленами, выделение вековой части функции по совокупности табличных значений. Расширена глава, посвященная численным методам решения дифференциальных уравнений. [c.18]

Аппроксимация условно-периодических функций с известными частотами полиномом Фурье по методу наименьших квадратов [c.650]

Определение неизвестных частот периодической или условно-периодической функции по совокупности табличных данных [c.651]

Условно-периодические функции [c.798]

Очевидно, что условно-периодическую функцию можно представить рядом Фурье вида [c.800]

По традиции в задачах небесной механики условно-периодическим называется [140] такое решение, в котором позиционные переменные (большая полуось, эксцентриситет, наклон и аналогичные им канонические переменные) выражаются в виде условно-периодических функций времени, т. е. имеют вид (10.1.39) [c.803]

В зтом случае ситуация меняется самым радикальным образом. Хотя фиг. П.2.1 по-прежнему представляет собой проекцию на плоскость (р), qj), ясно, что после начала движения, как это отмечено на фигуре, две представляющие точки никогда снова не сойдутся одновременно к своим первоначальным положениям. Таким образом, траектория в пространстве (д , д ) уже никогда не становится замкнутой — движение в целом не является периодическим. Более того, траектория проходит сколь угодно близко к любой точке в пределах прямоугольника, определяемого в пространстве (gi, да) максимальными амплитудами. Указанную траекторию нельзя изобразить в виде (одномерной) линии траектория плотно заполняет весь двумерный прямоугольник. Таким образом, хотя интеграл движения Фд и существует и может быть определен прежним способом, т. е. путем исключения из системы двух уравнений (П.2.2), тем не менее он имеет весьма аномальный характер. Он представляет собой многозначную функцию с бесконечным числом ветвей. Такой интеграл называется неизолирующим. Соответствующее ему движение носит название условно-периодического в плоскости (д , gj). Последнее название не совсем удачно, поскольку главной особенностью рассматри- [c.359]

Будем исследовать движение тела в углах Эйлера , (р, ф. Очевидно, что х, х ,. .., же — условно-периодические функции времени. Так как osi = же и О тг, то функция i (i) тоже условно-периодична. [c.157]

Наиболее интересен случай, когда Ма компактно. Тогда к = = О, следовательно, Ма — Т". Равномерное движение на Т" = = v mod 2тг по закону v ,- = р + o ,i (l г п) называется условно-периодическим. Числа wi,..., о — его частоты. Хор с набором частот 0)1,...,о называется нерезонансным, если из равенства Е= о с целыми к, ..., к вытекает, что все /г,- равны нулю. На нерезонансных торах каждая фазовая траектория всюду плотна. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю пусть / Т" —> —> К — интегрируемая по Риману функция, wi,..., о — рацио-н 1Льно независимые числа. Тогда для любой точки е Т" предел [c.86]

Согласно П. Болю, непрерывная функция t —> g t), t Е R, называется условно-периодической, если g t) = ..., o i), где / — некоторая непрерывная функция на п-мерном торе Т" = = v i,..., tpn mod 2тг , 0)1,..., о = onst. [c.88]

Пусть x t)—условно-периодическое движение на А-мерном инвариантном торе. Вектор-функция w x t)) удовлетворяет уравнениям в вариациях (9.3). Линейные системы (9.4) и (9.5) сопряжены друг другу h,w) = onst. Действительно, согласно (9.4) и (9.5), функция ip = h, w) удовлетворяет линейному уравнению [c.234]

Согласно результатам п. 2, в предположении 1) система с гамильтонианом ехр 7 0 невырождена. Далее, пусть П — матрица вторых производных функции ехр Tio по импульсам у,ф. Несложно показать, что К иК совпадает с числом 6 из условия 2), которое (по предположению) отлично от нуля. Теперь можно воспользоваться теоремой 1 из 10. Условия 1) и 3) этой теоремы заведомо выполнены. Так как /i"(Ao)o < О, то выполнено условие 2). Следовательно, возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом (11.4) при малых значениях е > О имеет п-мерный гиперболический инвариантный тор, заполненный траекториями условно-периодических движений. Этот тор аналитичен по [c.247]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

В.Н. Фомин [76] исследовал устойчивость линейной системы (1) с условно-периодическими коэффициентами в случае, когда она содержит малый параметр и при нулевом значении которого переходит в систему с постоянными коэффициентами. В [76] нри исследовании устойчивости применена комбинация метода усреднения и метода оценки характеристических чисел решений усредненных уравнений с номогцью некоторых квадратичных форм — функций Ляпунова и получены области неустойчивости, являющиеся аналогами областей на-эаметрического резонанса в случае периодической системы (1). [c.124]

Получающиеся в результате условно-периодические движения возмущенной системы с фиксированными частотами со оказываются даже гладкими (в аналитическом случае — аналитическими) функциями параметра возмущения е. Следовательно, их можно было бы искать и без метода Ньютона в виде ряда по степеням е. Коэффициенты этого ряда, называемого рядом Линдштедта, действительно можно найти однако доказать его сходимость удается только косвенно, с помощью ньютоновских приближений. [c.373]

В этой задаче имеется малый параметр — отношение масс Юпитера и Солнца. Нулевому значению параметра отвечает невозмущенное кеплерово движение астероида, изображающееся в нашем четырехмерном фазовом пространстве условно-периодическим движением по двумерному тору (так как система координат вращается). Одна из частот этого условно-периодического движения одинакова при всех начальных условиях это угловая скорость вращения системы координат, т. е. частота обращения Юпитера вокруг Солнца. Вторая же частота зависит от начальных условий (это частота обращения астероида вокруг Солнца) и меняется на фиксированном трехмерном многообразии уровня функции Гамильтона. [c.383]

Совокупность Х , Xrtj, Х называется частотным базисом условно-периодической функции. [c.800]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...