Представление периодической функции рядом Фурье

Представление периодической функции рядом Фурье [c.28]

Рис. 3.1. Представление периодической функции/(х) рядом Фурье.

С учетом концевых потерь верхний предел интегрирования г следует принять равным В, а не 1. Указанные моменты вызваны приращением подъемной силы при изменении угла атаки лопасти. Такие же коэффициенты были определены в разд. 5.5, где для угла взмаха, представленного в виде ряда Фурье, получено установившееся решение. Здесь мы имеем линейное дифференциальное уравнение возмущенного махового движения. Для режима висения (ц = 0) уравнение имеет постоянные коэффициенты. При полете вперед аэродинамические коэффициенты уравнения движения становятся периодическими функциями азимута ф. [c.516]

Теорема Парсеваля. Исходя из представления периодической функции в. виде ряда Фурье [c.62]

Момент сопротивления, являющийся по условию периодической функцией угла поворота ведомого вала, может быть представлен в виде суммы членов ряда Фурье [c.40]

При анализе колебаний машинного агрегата с ДВС в резонансных зонах наиболее рациональным является спектральное представление характеристики Mj в виде соответствующего тригонометрического ряда Фурье. Амплитудные и фазовые параметры этого ряда можно получить, следуя зависимости (2.42), если известны ряды Фурье периодических функций (q, р , Ры) и Характеристика q,Q) в форме (2.47) представлена своим рядом Фурье. Компоненты амплитудного Су и фазового спектров ряда Фурье характеристики Mjl q, рс, Pio) можно определить в виде аналитических зависимостей, используя аппроксимации (2.45) для безразмерных функций Kiq) и Siq) [c.41]

Представление периодической возмущающей функции в виде ряда Фурье (6.8) целесообразно, если этот ряд обладает хорошей сходимостью, т. е., если возмущающая функция может быть удовлетворительно аппроксимирована сравнительно небольшим числом т гармоник — членов ряда Фурье [c.167]

Здесь ft — комплексные коэффициенты Фурье. Частоты оз , оза,. .. в отличие от ряда Фурье (19) для периодических функций не находятся между собой в простом кратном отношении. Представление (27) соответствует колебаниям с дискретным спектром. Спектр почти периодических функций может быть также и непрерывным. [c.27]

Так построенное решение определяет напряженное состояние в цилиндре длины 2aL с точностью до местного возмущения его в близости от торцов. Строго говоря, здесь дается решение задачи о бесконечно длинном цилиндре, по боковой поверхности которого распределена нагрузка, задаваемая периодическими функциями (7.6.12). Можно также использовать представление закона нагружения не рядом, а интегралом Фурье, продолжая произвольным образом задание этого закона вовне отрезка —например, принимая нагрузку равной нулю при I 1 > L. [c.350]

Отдельное затухающее колебание не является периодическим процессом. Оно соответствует предельному случаю, когда частота повто-.рения рассмотренной периодической функции стремится к нулю. В этом случае можно осуществить предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Если воспользоваться разложением в интеграл Фурье одиночного затухающего процесса, то получим в итоге представление этого непериодического колебания в виде непрерывного спектра (рис. 1.1.4). [c.7]

Будем считать для начала, что читатель знаком с использованием комплексной экспоненты для представления волновой функции, с использованием рядов Фурье для разложения периодической фун- [c.14]

О л Продолжим А (х) за пределы основной области периодически (фиг. 18) и разложим эту периодическую функцию в ряд Фурье. Коэффициенты Фурье образуют счетное множество величин, с помощью которых может быть представлена функция А х). Аналогичным образом осуществляется представление функции в трехмерном пространстве. Это периодическое продолжение не влечет за собой никаких физических следствий, так как при реализации метода основная область может [c.133]

V Пример. Разложим в ряд Фурье периодическую функцию, гра нк которой представлен на рис. 20.33, а. Имеем [c.513]

Усилия Хп, будут функциями параметра О, периодическими с периодом 2л мы будем считать их представленными рядами Фурье по os и sin nv . При заданных усилиях граничные условия будут содержать интегралы по дуге от Хп, Уд, куда войдут периодические функции в и члены, пропорциональные Представляя тригонометрические ряды в комплексной форме, запишем условия для функций Ф/ Z ) таким образом [c.158]

По этой формуле р изменяется периодически между О и 2/ о Рй есть среднее значение давления р. Конечно, сделанное нами предположение о законе изменения давления р довольно далеко от действительности мы его сделали для упрощения дальнейших вычислений. Следует, однако, иметь в виду, что на основании теоремы Фурье о разложении произвольной периодической функции в тригонометрический ряд действительный закон изменения давления р может быть представлен формулой, подобной принятой нами, но содержащей не один, а несколько тригонометрических членов. [c.108]

Действительно, пусть Е (/) — такая функция. Разделим t на интервалы времени, достаточно длительные по сравнению с периодами световых колебаний. Световое поле на каждом из таких интервалов (г о, %) и его воздействие на приемник при любом значении 4 практически совсем не зависят от полей на соседних интервалах. Поэтому при рассмотрении света только на интервале (4i h + функцию Е (t) вне рассматриваемого интервала можно заменить любой другой функцией. В частности, ее можно периодически продолжить за пределы интервала t , /ц + с периодом т. Но тогда для представления функции Е (i) в интервале (Iq. можно воспользоваться рядом Фурье (29,1). При этом, ввиду малости частоты Q = 2я/т, целесообразно ввести обозначения Дсо = Q, сОя = пй. Тогда [c.214]

Простейшими периодическими функциями, с какими знакомы математики, являются круговые функции, выражаемые с помощью синуса и косинуса в самом деле, других функций, которые приближались бы к ним по своей простоте, нет. Они могут обладать любым периодом и, не допуская никакого другого изменения (за исключением величины), представляются вполне подходящими, чтобы образовывать простые тоны. Кроме того, Фурье доказал, что наиболее общая однозначная периодическая функция может быть разложена в ряд по круговым функциям, периоды которых целое число раз содержатся в периоде данной функции. Таким образом, следствием общей теории колебаний является то, что только тот частный их тип, который мы склонны теперь рассматривать как соответствующий простым тонам, способен сохранять свою целостность среди превратностей, каким он может подвергаться. Всякий другой вид колебаний, поскольку одна его часть затрагивается в иной степени, чем другая, доступен какому-либо физическому анализу. Если бы анализ внутри уха происходил по принципу, отличному от того, который имеет место в согласии с законами неживой материи вне уха, следствием этого было бы то, что звук, первоначально простой, мог бы превратиться в сложный на своем пути к наблюдателю. Однако нет никаких оснований полагать, что в действительности происходит что-либо подобное. Если принять, что в согласии с теми представлениями, какие мы можем создать об интересующем нас предмете, анализ звука внутри уха должен осуществляться физическим механизмом, подчиняющимся тем же законам, какие господствуют и снаружи, то все говорит за то, что и тоны следует считать обязанными колебаниям, выражаемым круговыми функциями Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным этим. В главе о колебаниях струн мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совершаемого струной, и, в частности, о том, является ли его компонентой какое-нибудь определенное простое колебание или нет. Здесь мы уже располагаем решающим критерием. Экспериментальным путем установлено, что всякий раз, когда согласно теории имеет место какое-либо простое колебание, можно слышать соответствующий тон, всякий же раз, когда такое колебание отсутствует, тона слышать нельзя. Мы вправе поэтому принять, что простые тоны и колебания кругового типа неразрывно связаны друг с другом. Этот закон был открыт Омом. [c.39]

Теорема Фурье не является очевидной. Вообще говоря, не является необычным смутное представление о том, что безграничность числа произвольных постоянных в ряде неизбежно наделяет последний способностью представлять произвольную периодическую функцию. Ошибочность этого станет ясной, если мы обратим внимание на одинаковую приложимость тех же самых соображений к случаю, когда один из членов ряда был бы опущен, т. е. к случаю, когда разложение вообще не было бы возможно. [c.45]

Л ы уже видели, что собственную функцию электрона (схематически изображенную на фиг. 20, б) можно представить в виде произведения блоховской функции Ка и плоской волны ехр (1к-г) (фиг. 20, виг). Плоская волна (так же как и Ыл) удовлетворяет периодическим граничным условиям. Так как функция имеет полную периодичность решетки, ее также можно было бы разложить в ряд Фурье, содержащий только плоские волны, отвечающие векторам обратной решетки. Отсюда следует, что собственную функцию можно разложить в ряд Фурье, содержащий плоские волны с волновым вектором к и волновыми векторами, отличающимися от к на вектор обратной решетки эти волновые векторы как раз и генерируют то представление, по которому преобразуется функция я)). [c.71]

Если через = ft(e), к = О, 1, 2,. .., обозначить коэффициент Фурье в каком-либо из рядов, приведенных в 279—282, то, поскольку рассматривавшиеся периодические функции являются аналитическими по отношению к вещественным переменным = ra(i — о), и или w, сходимость этих рядов настолько сильная, что < 0 при некотором 0 = 0(е) <1. Исключая круговой случай е = О, в котором = О при всех достаточно больших А 1, можно даже получить для коэффициентов ft = ft(e) асимптотические формулы в явном виде, выражаемые с помощью /(е) или g e). Эти асимптотические формулы легко вытекают непосредственно из (35) —(З62), (41) —(43) или из (20) —(27) и (28), поскольку при фиксированном е (О <1 е < 1) и m-v-foo для функций (17i) и (49) справедливы асимптотические представления [c.256]

В этой главе рассматривается разложение периодических функций в ряды Фурье, ведущее к более общему представлению преобразования Фурье-функций. Обсуждаются основные операции, необходимые при системном анализе (умножение, свертка, дифференцирование и интегрирование) как во временной, так и частотной областях. С помощью вводимых понятий и системы обозначений формируется теорема о выборке. И, наконец, обсуждается аналитический сигнал в связи с комплексным представлением вещественных сигналов и понятием огибающей. [c.133]

Убывания / на бесконечности условие (6) не требует. Так, представление (6) выполняется для любой периодической функции если ряд из ее коэффициентов Фурье абсолютно сходится. В частности, можно положить /(Л) = Л. Вообще на бесконечности допускается рост, не превосходящий линейного. Например, годятся функции /(А), равные при достаточно больших А произведению А"1ИА, где а < 1, а 3—произвольно. Для такой функции мера т в (6) абсолютно непрерывна, а производная б т/б < имеет при О особенность, которая оказывается интегрируемой. [c.345]

Так как os х является четной функцией X, то следующее, что необходимо заметить, — ее значение не меняется при изменении X на — х, и ряд Фурье, представленный уравнением (7) и фиг. 28, не только воспроизводит периодически себя для х>2л, но для х<0 он дает точное отражение своих значений в области, где х>0. Хотя поведение ряда Фурье имеет значение [c.137]

Периодическая функция f(t) часто задается графически или таблицей равноотстоящих числовых значений на протяжении одного периода. В таких случаях ее разложение в ряд Фурье производится приближенно одним из способов практического гармонического анализа. Так, например, разлагается в ряде Фурье вращающий момент от давления газов в цилиндре, приложенный к одному из колен вала двигателя внутреннего сгорания. Этот момент представляет сложную периодическую функцию угла поворота вала а, которая строится известным образом по экспериментальной индикаторной диаграмме. Для одного цилиндра двухтактного двигателя эта функция на протяжении одного периода 2л (соответствующего одному обороту вала) имеет вид кривой, представленной на рис. 21, где первая половина периода (О - я) соответствует сжатию, а вторая (тг - 2п) — рабочему ходу. [c.97]

В своих двух дальнейших работах [1661, 1662] Раман и Нат развили и обобщили теорию диффракции света на ультразвуковых волнах. Решение волнового уравнения для случая распространения света в среде с коэффициентом преломления, изменяющимся во времени и пространстве, и представление световой волны с гофрированным фронтом, выходящей из звукового поля, в виде бесконечного количества плоских волн с различными направлениями распространения, дает возможность получить при помощи разложения Фурье правильные значения углов диффракции и приведенных выше в этом пункте частот Допплера как для стоячей, так и для бегущей волн. Из этой теории следует, по- мимо существования фазовой решетки, также наличие амплитудной решетки, не вытекающее из первой приближенной теории отсюда неизбежна асимметрия в распределении интенсивности диффракционных спектров справа и слева от главного максимума, возникающая при косом падении лучей света. Нат [1399, 14001 решил при помощи разложения в ряд дифференциальное уравнение для случая, когда периодическое изменение коэ ициента преломления представлено простой синусоидальной функцией. [c.189]

Суммарная погрешность зацепления отсчитьшается по общей линии зацепления, касательной к основным окружностям зубчатых колес, образующих сопряжение. Кинематическая погрещность зубчатого колеса, являющаяся сложной непрерывной периодической функцией от угла поворота (р и представленная в виде ряда Фурье, содержит гармонические составляющие как с низкой частотой, так 280 [c.280]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Задачи, рассмотренные в 24, касались однопролетной балки длиной I или 21. Эти решения, однако, равным образом можно рассматривать как представление периодических напряженных состояний в длинной балке, параллельной оси X., так как ряд Фурье представляет периодическую функцию. Такое периодическое распределение напряжений имеет неразрезная балка, состоящая [c.76]

Для широкого класса сигналов, которые не являются ни периодическими, ни переходными, производить классическое разложение в ряд Фурье невозможно. Нельзя также использовать представление в виде интеграла Фурье. Часто причины этих флуктуаций не совсем ясны. Такие функции называются случайными функциями или случайными процессами. Анализ этих случайных сигналов основан на том, что их можно рассматрпвать статистически и, следовательно, описывать в соответствии с положениями теории вероятностей. С помощью обобщенного гармонического анализа статистическое описание случайного процесса можно связать с его спектром. [c.12]

Переменные Ро, р с, р и Рл,/2 являются параметрами движения, т. е. функциями времени, как и переменные р( ). Они характеризуют движение всего несущего винта в невращаю-щейся системе координат, тогда как переменная р( "> описывает движение отдельной лопасти во вращающейся системе кбординат. Таким образом, имеем линейное обратимое преобразование N параметров движения р " ) т , N) во вращающейся системе координат в N параметров движения Ро, р с, Pns, Рл//2 в невращающейся системе координат. Сравним это преобразование координат с представлением установившегося решения в виде ряда Фурье. В последнем случае, когда р ") является периодической функцией движения всех лопастей одинаковы. Отсюда следует, что движение во вращающейся системе координат может быть представлено рядом Фурье с постоянными коэффициентами и бесконечным количеством членов, так что имеется аналогия между фурье-преобразованием координат и рядом Фурье. [c.328]

При интегрировании периодических или условпо-нериодиче-ских функций, представленных кратными рядами Фурье, изменение амплитуд отдельных гармоник зависит от двух факторов от малости величины а, характеризующе резонанс частот, и от нормы целочисленного вектора к, прнсутствуюгцего в резонансных соотношениях. Поясним это па примере. [c.98]

Основное место в настоящей главе будет занимать вопрос о при-нении к случайным функциям одного или нескольких переменных е. к случайным процессам и случайным полям) методов гармони-ского анализа. Известно, что гармонический анализ, т. е. пред-1вление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье, ень широко используется в математической физике. При этом, нако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда фье возможно лишь для периодических функций, а в виде инте-ала Фурье лишь для функций, достаточно быстро убывающих на сконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и периодические, незатухающие на бесконечности функции, которые, эого говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье, этой точки зрения случайные функции оказываются даже имеющими ределенные преимущества перед обычными (не случайными) функ-ями. Дело в том, что для любых стационарных случайных оцессов и однородных случайных полей, для которых по саму их определению никакого затухания на бесконечности быть не [c.7]

Можно представить любую периодическую функцию В = В(х,у) как одномерную, так и двухмерную, в том числе и функцию энергетической яркости, удовлетворяющую условиям Дирихле, в виде одномерного или двухмерного ряда Фурье, а непериодическая функция может быть описана одномерным или двухмерным интегралом Фурье. Физически это означает, что заданное распределение яркости может быть получено сложением яркостей, распределенных по синусоидам и косинусоидам, которые имеют положительные и отрицательные полупериоды, различаются между собой па целую величину и могут быть сдвинуты по фазе. Описание двухмерной функции яркости в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование яркостей, распределенных по гармоническим составляющим, периоды которых различаются на бесконечно малую величину. Представление двухмерной функции яркости в виде ряда или интеграла Фурье позволяет ввести новое чрезвычайно плодотворное понятие пространственно-частотного спектра яркости, которое будет широко использовано при рассмотрении вопросов прохождевия информации через оптические системы. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...