Метод переменных матриц

Как видно из полученных соотношений (1.12) и (1.17), матрица [D] зависит от достигнутого уровня напряжений и деформаций [D]= [D( F)]=[ )( а , е )], что ведет к нелинейной связи напряжений и деформаций в пластической области. Для раскрытия нелинейности воспользуемся итерационным методом переменных параметров упругости [9] в варианте, предложенном в работах [136, 138]. На п-й итерации новое приближение функции F вычисляется следующим образом [c.20]

В методе переменных состояния граф и дерево, выбранное в соответствии с приоритетами ветвей, показаны на рис. 4.12. Матрица М [c.184]

На основе метода Ньютона разработан эффективный метод, получивший название метода переменной метрики. Идея метода заключается в использовании информации о градиенте критерия оптимальности для приближенного вычисления матрицы Гессе. Этот метод — итерационный. Поиск в нем ведется по формуле [c.288]

Главное преимущество метода переменной метрики перед методом Ньютона — отказ от вычислений матрицы Гессе на каждой итерации. Положительно определенная матрица [c.288]

В отличие от табличного метода, для которого фундаментальное дерево графа эквивалентной схемы выбиралось из условия минимальной насыщенности М-матрицы, в методе переменных состояния используется нормальное дерево графа (рис. 3.11) —фундаментальное дерево, в которое ветви включаются согласно следующему приоритету типа Е, типа С, типа R, типа L и типа I. Использование такого дерева позволяет упростить процедуру получения системы уравнений в нормальной форме Коши. [c.141]

Уравнения (4.3) или (4.3а) при моделировании на ЭВМ приводят к форме Коши, т. е. разрешают относительно производных токов (потокосцеплений). Последние являются переменными состояния для электрических цепей типа R — L. Поэтому переход к уравнениям состояния в форме Коши дает преимущества, присущие методу переменных состояния в теории цепей. Запись уравнений состояния в матричной форме позволяет использовать стандартные программы обработки матриц на ЭВМ. [c.86]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хг, Xi, 1133, Рз и 3 и вычислены параметры в точке 4, решают систему (4.23) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби. При этом определяют а,з, Т , W3. Далее по формуле (4.21) вычисляют Лз и Рз, а по формуле (4.19) — аз и Рз. На этом очередную итерацию заканчивают. [c.120]

Система (7.45) является нелинейной системой уравнений относительно a,(n+i), t=l, 2,..., N. Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (hxx) такому же, как при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются dfi/dak- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfi/dak. Неизвестные адп+1) находят итерациями по формуле [c.207]

В методе переменной метрики вместо трудно вычисляемой обратной матрицы Гессе используют некоторую более легко вычисляемую матрицу N, т. е. [c.165]

Недостатком метода переменных параметров упругости (см. п. 2.3.2) является необходимость изменять матрицу №1 после каждого [c.100]

Основное уравнение в методе переменных параметров упругости теории пластического течения [уравнение (9.11.19)] соответствует соотношениям упругости анизотропного тела при наличии обобщенной температурной деформации. Матрица пластической податливости содержит переменные параметры упругости , которые в первом приближении принимаются по напряжениям предыдущего этапа нагружения. При расчете очередного этапа нагружения предполагается выполнение условий (9.11.9) и (9.11. 10). При нарушении хотя бы одного из условий расчет этапа проводится сначала, причем приращение де рмаций пласти"шости не учитывается. [c.201]

Здесь [/ ] - матрица-столбец, содержащая т параметров внешней нагрузки матрицы [Л ] (размерности пХт) и [BJ (пХ п) постоянны (для простоты будем пренебрегать влиянием температуры на модуль упругости) и могут быть найдены в предварительном счете. Выражение (9.3) определяет поле деформаций в конструкции, выражение (9.4) — поле напряжений (через упругие деформации pij). Эти два выражения, как будет показано в дальнейшем, отвечают методу пере-меш,ений и методу сил. Матрицы [е], [/ ], [р] и [я] — переменные, их эволюция определяется из расчета кинетики, поэтому выражения [c.209]

В расчетах, основанных на использовании деформационных теорий пластичности и ползучести, удобным оказывается метод дополнительных деформаций. Экономия времени и объема памяти машины, связанная с однократным вычислением матрицы жесткости, делает его в некоторых случаях более эффективным по сравнению с методом переменных параметров упругости. Основные соотношения и алгоритм метода дополнительных деформаций изложены в гл. 3. [c.167]

Матричное уравнение (5.46) решают повторно с учетом дополнительного вектора в правой части Fqi определяемого по (5.47). В методе дополнительных деформаций матрицу жесткости и все векторы правой части, кроме вектора дополнительных деформаций, подсчитывают один раз, что обеспечивает некоторую экономию времени при реализации на ЭВМ. Наряду с этим методом может быть использован метод переменных параметров упругости (см. гл. 3). При использовании итерационных процедур типа метода Гаусса—Зейделя преимущества метода дополнительных деформаций по сравнению с методом переменных параметров упругости несущественны. [c.169]

Матрица жесткости А в соответствии с процедурой метода переменных параметров, изложенной][в гл. 3, образуется в каждом [c.169]

В методе переменных параметров элементы матрицы четвертого порядка С определяют из соотношений закона упругости (5.8) и закона пластического течения аналогично (3.124) как сумму [c.171]

Здесь А —- матрица жесткости, образующаяся из матриц жесткости элементов S n по (5.53) в предположении постоянства параметров упругости и в методе переменных параметров — коэффициентов пластичности, по элементу. [c.173]

В уравнении (7.96) матрица жесткости [/С] зависит от достигнутого уровня скоростей узловых перемещений. Это усложняет задачу отыскания решения указанного уравнения из-за необходимости рассматривать на каждом шаге по времени систему нелинейных алгебраических уравнений с многими неизвестными. Для этой цели удобно использовать итерационные методы, сводящие решение нелинейных задач к последовательности упругих решений. В расчетах использовался метод переменных параметров упругости. Интегрирование (7.96) по времени осуществлялось методом Эйлера с итерациями. [c.191]

Использование описанных методов является достаточно эффективным способом решения упругопластических задач. Метод переменных параметров упругости учитывает некоторое снижение жесткости среды в процессе деформации, что ускоряет сходимость. В то же время, достоинством методов дополнительных напряжений и деформаций является отсутствие необходимости корректировки матрицы жесткости при использовании, в частности, метода конечных элементов. Однако, как показали проведенные исследования, указанные методы являются гораздо менее эффективными, а в ряде случаев, и непригодными для решения задач механики закритического деформирования. [c.241]

Рассмотренный метод вычисления матриц жесткости имеет хорошую устойчивость к погрешностям округления и быструю сходимость по отношению к числу т точек ортогонализации при работе с действительными переменными [11, 12]. При работе с комплексными переменными такие исследования не проводили, поэтому приведем два методических примера вычисления матриц жесткости для различного числа точек ортогонализации. [c.157]

Заметим, что (3.18) применимо и к методу наискорейшего спуска, если Hft — единичная матрица. Если принять Н/г=Я , где Я — обратная матрица вторых частных производных F ) по X, называемая матрицей Гессе, то имеем метод Ньютона, относящийся к методам второго порядка. Методы второго порядка в САПР практически не применяются из-за трудностей расчета матрицы Гессе. Поэтому вместо Я используется ее приближение, рассчитываемое в методе переменной метрики без использования вторых производных F(X) по X. [c.74]

Подматрицы Ян отражают свойства отдельных подсхем, Ян, Ян — связи между подсхемами, Яи — изменение граничных переменных. Здесь 1=1, 2,...,/—1 (I—1)—число подсхем. Можно показать, что применение метода Гаусса для решения систем ЛАУ с матрицей коэффициентов блочно-диагонального вида с окаймлением приводит к выполнению арифметических операций только с ненулевыми подматрицами, поэтому метод подсхем можно рассматривать как разновидность методов разреженных матриц. Существенное отличие метода подсхем — возможность организации автономных вычислений для каждой отдельной подсхемы в процессе выполнения прямого и обратного хода в методе Гаусса, что позволяет хранить в оперативной памяти только подматрицы Яге, Ян, Ян и Яи, а не всю матрицу Якоби. Алгоритмы формирования ММС зависят от выбранного координатного базиса V и конструируются на основании простых логических правил, разработанных для схем, содержащих многополюсные элементы (фактически происходит переход от подсхемы к многополюснику). Основной особенностью этих алгоритмов является автономное формирование уравнений моделей подсхем. [c.148]

После того как при очередной итерации будут определены величины Хз, x , -фа, Рз и Сз и вычислены параметры в точке 4, решается система (2.38) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби так, как описано в 2.1. При этом определяются з, Гз, 11 з. Далее по (2.36) вычисляются /гз и рз, а по (2.34)—аз и Рз. На этом очередная итерация заканчивается. [c.74]

Если при итерациях подбирается матрица [П, то приходим к известному методу переменной жесткости ). Если же подбираются ео или ао , то имеем так называемые методы начальных деформаций или начальных напряжений. [c.395]

Метод переменной жесткости можно использовать в случае, Когда связь между напряжениями и деформациями (18.3), характеризующую поведение материала, можно представить в форме (18.2), где матрица упругости зависит от достигнутого уровня деформации, т. е. имеет вид [c.395]

Одним из существенных недостатков методов переменных параметров является то, что на каждом шаге приходится заново строить матрицы жесткости и решать полученные уравнения. Если программа использует прямые методы решения, то такой подход становится очень неэкономичным и более приемлемыми оказываются другие методы, которые описаны в следующем разделе. [c.396]

В обеих работах уравнения решались итерационным методом, что предопределило выбор метода, в котором используется переменная матрица [//]. [c.435]

Метод переменных матриц. Метод переменных матриц, предложенный Давидоном [1959] и обобщенный Флетчером и Пауэллом [1963], является мощным итерационным методом спуска, позволяющим находить локальные минимумы нелинейных функций нескольких переменный. Метод основан на обычном предположении, что члены второго и более низких порядков в разложении Тэйлора преобладают над всеми другими членами в окрестности локального минимума. Напомним, что для квадратичной функции п переменных вида (17.32) точкой минимума является X = —Н %. В методе переменных матриц, однако, обратная матрица Н" не вычисляется непосредственно. Вместо этого вводится аппроксимирующая ее матрица 6, в качестве которой перво- [c.310]

Трудности, связанные с применением метода Ньютона, привели к разработке группы методов, которые называются квазиньютоновскими методами переменной метрики или градиентными методами с большим шагом. Сущность их заключается в аппроксимации матрицы Гессе или обратной к ней матрицы таким образом, чтобы ограничиться только использованием первых производных. [c.246]

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке +1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, наиример, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно также решать систему (7.45) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (7.45) равным а,-. [c.208]

При решении нелинейных задач чаще всего применяют метод последовательных приближений. Так, при решении задачи термопластичности согласно теории малых упругопластических деформаций применяют методы переменных параметров упругости (МППУ) или дополнительных нагрузок (МДН). В первом случае на каждом итерационном шаге пересчитывается матрица [К] жесткости, во втором — вектор [R] узловых нагрузок. Итерационный процесс прекращается при достижении заданной точности, когда разность между двумя последовательными приближениями становится меньше заданной, либо после достижения заданного числа итераций. [c.16]

Рассмотренные модификации могут существовать и как самостоятельные методы, и как вспомогательное средство получения приближения для метода Ньютона — Канторовича. Так, в работе (38J предложен итерационный метод, который представляет собой метод последовательных нагружений с учетом нагрузочной невязки с автоматическим выбором значения шага, а затем переходит в сходящийся процесс Ньютона — Канторовича. Такая вычислительная схема очень привлекательна, хотя йолучени регулирующего параметра трудно в реализации Приближения по итерациям, которые приводились выше при описании методов решения нелинейных уравнений, не могут служить объективными характеристиками, так как количество вычислений на одной итерации для различных методов различно. Так, если в методе упругих решений на каждой итерации необходимо только вычислить дополнительные нагрузки (/—Аии+in), а для получения А использовать уже обращенную матрицу, соответствующую оператору До, то в методе переменных параметров, наоборот, на каждой итерации необходимо составлять и решать систему линейных уравнений, оставляя правую часть без изменений. В методе Ньютона на каждой итерации надо делать и то и другое, т. е. составлять и решать систему линейных уравнений, а также изменять правые части. [c.85]

Недостатком метода переменных параметров упругости яштяется необходимость изменять матрицу [В (е)1 в тех точках, для которых эквивалентное напряжение больше предела текучести материала при каждом приближении, что увеличивает объем вычислений. К методам, свободным от указанного недостатка, относят методы начальных напряжений (упругих решений [24]) и начальных деформаций [4]. [c.97]

Решение задачи с нелинейными определяющими соотношениям для компонентов композита производили согласно методу переменных параметров упругости. На каждом шаге итерации вычисляется маг трица жесткости суперэлемента (центральной ячейки и области ws), которая содержит переменные параметры, зависящие от достигнув того уровня пластических деформаций. Считали, что при переходе к следующему шагу матрицы влияния всех ячеек области us одина ковы. Итерационный процесс по граничным условиям с однородно , распределенными напряжениями осуществляли аналогично тому, как зто было сделано в 5.3, причем одновременно с изменением матриц влияния. Эти условия ускоряют сходимость итерационного процесса, когда на каждом шаге итерации решается краевая задача с новымй граничными условиями и матрицами влияния блоков. Итерационный [c.98]

В случае превышения напряжениями предела текучести материала фиксируется возникновение пластической зоны в этом элементе, что требует численного обращения матрицы B ijkm в выражении (IV. 13) и вычисления касательного модуля из диаграммы деформирования материала. На последующих уточняющих итерациях касательный модуль заменяется секущим и производится уточнение приращений упругопластических деформаций по схеме метода переменных параметров упругости. В случае фиксирования разгрузки запоминается текущий предел текучести и переход к упругим соотношениям в выражении (IV. 14), т. е. касательный модуль сменяется модулем Юнга. Пластические деформации сохраняют при этом свои последние значения. [c.98]

В ГОДЫ войны, а затем и в послевоенные годы дальнейшее развитие получили методы кинематического анализа механизмов. Если до сороковых годов в основе этих методов лежали графические и графоаналитические приемы, требовавшие для своего развития аппарата кинематической и проективной геометрии, а аналитические методы хдсследования применялись лишь в редких случаях и для весьма ограниченного числа задач, то с сороковых годов быстро растет роль аналитического аппарата. К решению задач кинематики механизмов, кроме теории функций комплексного переменного, стали применять векторное, тензорное и винтовое исчисление, методы теории матриц, а также иные разделы современной математики. Некоторые задачи, уже решенные при помощи старых методов, были решены вновь, в порядке поисков оптимальных решений. [c.370]

Методы переменной метрики, называемые также ква-зиньютоновскими или градиентными с большим шагом, основаны на аппроксимации матрицы Гессе или обратной ей матрицы с использованием только первых производных. При использовании этих методов новое значение вектора [c.155]

Одним из методов переменной метрики является метод Дэвидона—Флетчера—Пауэлла. Согласно этому методу матрица направлений [c.155]

Вопросы получения ММС в форме (1.8а) впервые исследовались Башковым [25] и Брайнтом [26]. Обобщение их результатов, приведшее к получению матричного варианта метода переменных состояния, было дано Ку и Рорером [27]. Однако матричные ММС оказываются малоэкономичными с позиций затрат машинных времени и памяти. Для практического применения более эффективен топологический вариант метода переменных состояния [28], названный методом сканирования М-матрицы. [c.72]

Имеется несколько алгоритмов решения систем уравнений с ленточными матрицами, эффективных и дешевых (т. е. дающих максимальную точность при минимуме времени и памяти), однако такие методы менее эффективны и значительно дороже в применении к задачам с блочно-ленточными матрицами. Цель метода ПНГ в методе конечных элементов та же, что и в методе переменных направлений в разностных схемах, а именно свести систему уравнений многомерной задачи к последовательности систем, по форме аналогичных системам уравнений, возникающих в одномерных задачах (Митчелл, 1967). [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...