Вторая форма уравнения энергии

Консервативные силы и вторая форма уравнения энергии. До сих [c.44]

КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ И ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ 45 [c.45]

ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ [c.114]

Изучая электромагнитные процессы, Максвелл установил, что электрический ток есть явление кинетическое, обладающее всеми чертами обычного механического движения. Придя к такой аналогии, он. воспользовался второй формой уравнений Лагранжа, взяв в качестве обобщенной координаты заряд д. Действительно, с энергетической точки зрения в электромагнитном процессе мы видим все черты обычного механического движения. Здесь также можно говорить о кинетической и потенциальной энергиях, об энергии рассеяния, о силах (э. д. с.), о таких свойствах систем, как инерционность (индуктивность), упругость или гибкость (емкость), о поглощении — рассеянии энергии в виде тепла (потери энергии в омических сопротивлениях) и т. п. [c.34]

Согласно первому закону термодинамики, замкнутая система может испытывать изменение внутренней энергии только в результате обмена теплотой и работой с окружающей средой. Так как для этой системы изменение объема указывает на передачу энергии в форме работы, то второе слагаемое уравнения (4-33) можно отождествить с работой, обратимо выполненной системой. Ограничение в виде обратимости необходимо, так как коэффициент при dv представляет собой свойство системы, а именно — давление системы [c.131]

Чтобы составить дифференциальные уравнения свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода ( 185), нужно выразить потенциальную энергию через обобщенные ко- [c.571]

Уравнение энергии записано в форме, аналогичной первому закону термодинамики. Левая часть уравнения соответствует изменению со временем кинетической и внутренней энергии движущегося объема. Первый член правой части учитывает работу массовых сил, второй — работу сил давления, третий — работу сил трения, четвертый — поступление энергии в объем за счет теплопроводности, пятый— за счет диффузии. Поскольку, как уже упоминалось, масса М объема V, движущегося со средней массовой скоростью, сохраняется, возможно обычное преобразование [c.180]

Применяем уравнение энергии в форме давлений без гравитационных членов. За первое сечение принимаем наружное пространство с атмосферным воздухом, за второе — место присоединения жидкостного вакуумметра, где определяется разрежение. Манометрическое давление в первом сечении = Pi — Ра = 0 динамическое давление [c.218]

Применяем уравнение энергии в форме давлений с выделением гравитационного члена (271). Первое сечение берем перед трубой, где Рыт О, а второе — в месте выхода газа из дефлектора, где создается разрежение, т. е. отрицательное манометрическое давление. Уравнение энергии для данной задачи примет вид [c.228]

Процессы преобразования энергии в потоке, относящиеся к первой группе, подробно рассматриваются в гл. VII, процессы второй группы —в гл. XIV. Здесь выведем уравнение первого начала термодинамики для закрытой системы и основную форму уравнения для открытой системы, в которой работа выражается через параметры состояния р и V. [c.23]

Дифференциальное уравнение движения механизма. Кроме уравнения движения механизма в форме интеграла энергии, в некоторых случаях удобно применять уравнение движения механизма, представленное в форме дифференциального уравнения второго порядка. Это уравнение можно получить из уравнения кинетической энергии в дифференциальной форме [c.144]

Во втором примере целевая функция есть время поворота звена 1 на угол фр из начальной позиции, определяемой углом Фо (см. рис. 106). В этой позиции угловая скорость звена / равна нулю. В конце поворота скорость звена 1 может отличаться от нуля, т. е. допускается жесткий удар ползуна 3 об ограничитель ). Уравнение движения механизма в форме интеграла энергии при обобщенной координате ф имеет вид [c.352]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Принцип Мопертюи-Лагранжа. При заданной константе энергии h уравнения движения консервативной или обобщенно консервативной системы могут быть записаны в форме уравнений Якоби (см. уравнения (36) п. 152). Эти уравнения имеют форму уравнений Лагранжа второго рода, где в качестве функции Лагранжа L выступает функция Якоби Р, а роль независимой переменной играет обобщенная координата qi. По аналогии с действием S по Гамильтону введем действие по Лагранжу [c.483]

С другой стороны, то, что известные законы обратимых процессов могут быть фактически выражены в форме уравнений Лагранжа, а следовательно, и в форме теоремы минимальности кинетического потенциала, я доказал в моих статьях о статике моноциклических движений ). Но при этом обнаруживается, что температура, которая измеряет интенсивность термического движения, входит в функцию, подлежащую интегрированию, в значительно более сложной форме, чем та, в которой скорости входят в выражение кинетической энергии весомых систем. В вышеупомянутых статьях я показал, что подобные формы при известных ограничивающих предположениях могут возникать путем исключения некоторых координат и для систем весомых масс, так что появление таких, более сложных форм не находится в противоречии с возможностью применения лагранжевых уравнений движения. Однако, если хотят изучать общие свойства систем, подчиняющихся принципу наименьшего действия, необходимо отбросить старое, более узкое предположение, согласно которому скорости входят только в выражение живой силы и притом в форме однородной функции второй степени надо исследовать, как будет обстоять дело, если Н есть функция любого вида от координат и скоростей. [c.432]

Если заменить эти координаты их выражениями через q, то уравнения (1) примут другую форму. Потенциальная энергия U сделается функцией q что же касается кинетической энергии Т, то она будет зависеть не только от параметров q, но и от их производных q, причем она будет однородной функцией второй степени относительно этих производных. Законы движения будут тогда выражены уравнениями Лагранжа [c.775]

Составим уравнение движения системы в форме уравнения Лагранжа второго рода. Учитывая, что кинетическая энергия может быть представлена в форме [c.51]

Выражения этого вида являются большей частью наиболее удобными формами уравнения Гиббса—Дюгема для тройных систем, если задана парциальная молярная величина для одного из компонентов в функции состава и требуется определить производные парциальных молярных величин для других компонентов. Необходимо отметить, что могут быть получены только производные от Р и Рз по Ха при постоянном отношении у = /гз/(л1 + + з) производные же от и fg по у или производные по молярной доле компонента 1 при постоянном отношении x jx не могут быть вычислены. Это ограничение является принципиальным, так как оно связано с числом независимых вторых производных от молярной свободной энергии в тройных системах [333(a)], Специальные следствия для предельного случая разбавленного раствора компонента 2 в смеси компонентов 1 и 3 были рассмотрены Вагнером [389]. [c.28]

Для составления дифференциальных уравнений движения тела по шести координатам использованы уравнения Лагранжа во второй форме с учетом диссипации энергии при демпфировании по Релею. [c.22]

Дифференциальные уравнения движения колеблющейся системы машины составлены в форме уравнений Лагранжа второго рода, при этом при определении кинетической энергии системы принято во внимание, что ротор, участвуя в переносном движении платформы, имеет относительную угловую скорость вокруг оси собственного вращения, сообщаемую ротору при ведении балансировочного процесса. [c.101]

Дифференциальные уравнения движения составим в форме уравнений Лагранжа второго рода. Для этого найдем кинетическую и потенциальную энергию системы. Кинетическая энергия состоит из кинетической энергии поступательного движения цапфы (скольжение цапфы по подшипнику) и вращательного [c.318]

Для расчета теплообмена в ламинарном пограничном слое на теле произвольной формы при заданном распределении скорости внешнего течения вдоль поверхности тела обычно используются два метода. Согласно первому—строгому методу — вначале решается уравнение движения пограничного слоя и определяется поле скорости, после чего решается уравнение энергии. При этом используются дифференциальные или интегральные уравнения, но в любом случае нужно решать два уравнения. Согласно второму — простому, но весьма приближенному методу — решается только одно из уравнений—урав- [c.268]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

При выводе прямой и обратной форм дифференциальных уравнений колебаний упругих систем используются две различные отправные позиции. В обоих случаях предполагается мысленное расчленение системы путём отделения обладающих массой грузов от упругого скелета системы. В первом случае записываются законы движения грузов, а во втором случае — зависимости, определяющие движение безмассово-го упругого скелета соответственно первый путь приводит к прямой форме уравнений движения, а второй путь — к обратной форме этих уравнений [83]. Прямая форма уравнений получается, если кинетическая энергия имеет вид суммы квадратов, а обратная — если суммой квадратов является потенциальная энергия. Эти два случая иллюстрируют схемы упругой балки с грузами в виде точечных масс, к которым приложены заданные силы (рисунки 4.1, 4.2). На рис. 4.2 к упругому [c.40]

Чтобы получить уравнения движения системы T-G в форме уравнений Лагранжа второго рода необходимо подсчитать кинетическую энергию системы и обобщенную силы Qg. Удвоенная кинетическая энергия системы равна величине [c.146]

Все приведенные выше уравнения движения твердого тела могут быть записаны и в форме уравнений Лагранжа. Чтобы составить уравнения Лагранжа второго рода, следует определить кинетическую энергию тела, обобщенный потенциал и диссипативные силы как функции независимых переменных. Используя соотношения (4.64), (8.4) и учитывая, что Г =0, найдем [c.342]

Уравнения Прандтля — Мизеса основаны на использовании наряду с X в качестве второй независимой переменной функции тока Принятое в настоящее время во многих вопросах гидро- и газодинамики применение в качестве независимого переменного функции тока т]) основывается на том, что в идеальных жидкостях и газах (при стационарных их движениях) вдоль линий тока, т. е. при постоянстве функции тока, сохраняются некоторые важные характеристики потока (полный напор — в идеальной несжимаемой жидкости, полная энтальпия — в идеальном газе), о чем уже была речь в гл. 1П. В вязкой жидкости, в силу наличия диссипации. механической энергии, эти величины сохраняться не могут, но, как сейчас будет показано, выделение функции тока г 5 в качестве аргумента позволяет получить в простой и наглядной форме уравнение, напоминающее по типу уравнение теплопроводности. [c.568]

Первый член в этом уравнении — кинетическая энергия электронов, второй член — кинетическая энергия ядер, т — масса электрона, — масса к-го ядра. Если импульсы электронов и ядер р, и р/ в декартовой системе координат заменить на соответствующие операторы, то получим уравнение Шредингера в более удобной форме [c.16]

Будем считать физические свойства среды р, Ср и X постоянными параметрами, определяемыми видом вещества среды. В действительности они зависят от температуры и давления, а поскольку здесь идет речь о полях температуры t x, у, г, т) и давления р[х, у, г, т), то физические параметры в общем случае являются функциями координат и времени. Зависимостью от давления можно пренебречь по двум причинам во-первых, физические параметры слабо зависят от давления (за исключением плотности газовой среды) и, во-вторых, исходные допущения, при которых получены уравнение (12.4) и являющееся его следствием уравнение (12.7), в совокупности своей эквивалентны предположению об изобарности процесса теплообмена. Учет переменности плотности газовой среды зависит от изменения давления при движении газа с большой скоростью градиент давления в потоке может быть весьма значительным и в этом случае используется уравнение энергии в форме (12.6) с учетом переменности плотности. Таким образом, физические параметры среды зависят в основном от температуры, которую приходится учитывать. [c.269]

Различные типы уравнений движения свободного твёрдого тела. Подобно тому, как кинетическая энергия свободного твёрдого тела может быть пре дставлена в той или другой форме, точно так же и уравнения движения могут принимать различный вид. Главных тигюв уравнений движения три, соответствен числу форм кинетической энергии, изложенных выше уравнения движения, отнесённые к неподвижным осям,-уравнения движения, отнесённые к осям, неизменно связанным с телом, и урав 1ения движения в независимых координатах (уравнения Лагранжа второго рода). Твёрдое тело, не стеснённое никакими связями, имеет Qie Tb степеней свободы (см. примеры 76 на стр. 273 и 97 на стр. 324) [c.500]

Первый член выражает диффузионную, а второй член — к о н-вективнуюсоставляющуюмассопереноса. В условиях турбулентного движения молекулярная диффузия получает, как правило, второстепенную роль и вместо нее возникает диффузия турбулентная. По форме выражения (6-10) и (6-11) сохраняются, однако под концентрациями и компонентами скоростей надо понимать их усредненные по времени значения, а под D — турбулентный коэффициент диффузии, который не является более физической постоянной и во много раз превышает молекулярный коэффициент диффузии. Аналогичная ситуация имеет место и в отношении уравнения энергии (4-23). [c.180]

При очень низких концентрациях НаО, характерных для рассматриваемого примера, возможен и другой, несколько более точный метод решения. В этом случае не нуж1н0 использовать допущения о равенстве числа Льюиса единице, упрощающего уравнение энергии, хотя такое допущение для системы воздух— вода — пар вполне приемлемо. Если мы еще раз рассмотрим общую форму (14-26) граничного условия к уравнению энергии, то заметим, что второй член числителя представляет собой плотность конвективного теплового потока д"о. При низкой концентрации НаО во всей системе присутствие паров воды по существу не влияет на д"а, и д"о можно вычислять так 1же, как для случая чйстого теплообмена без. массопереноса. Первый член числителя можно определить из решения уравнения диффузии. Если допустить, что в 0-состоянии г н,о,о = О, т. е. что (1,=гисп,о, и выразить h через il и д"ь1т", то можно лепко получить следующее уравнение для д"ь [c.392]

Используем уравнение энергии в интегральной форме (2.27). Первый интеграл равен нулю, так как течение установившееся. Пятый и шестой интегралы равны нулю, так как подвода теплоты и теплообмена нет. Во втором интеграле можно опустить член, учитывающий внутреннюю энергию, так как те.млература жидкости не меняется. При вычислении второго интеграла интегрирование проводится только по площади поперечных сечений, так как проекция скорости на нормаль к стенке трубы равна нулю. Следовательно, получим [c.23]

Если в уравнение энергии (X1-144) ввести вместо % сумму (А, + А, ), то из него выпадет член, связанный с переносом энергии диффузией (второй в правой части). Полученное таккгл образом уравнение энергии пограничного слоя в диссоциирующем газе по форме не будет отличаться от уравнения энергии для пограничного слоя в недиссоциирующем газе (ХМ9). Ранее было установлено, что решение уравнений несжимаемого (р = onst) пограничного слоя для нереагирующего газа (VII-48) можно представить в следующей форме [c.272]

В методе Гамеля иная картина процесс вывода проходит без привлечения уравнений связей, в уравнениях движения фигурирует первоначальная кинетическая энергия, выраженная через все неголономные скорости. При составлении уравнений движения по записи Гамеля дифференцируется первоначальная кинетическая энергия, после чего все зависимые скорости заменяются их выражениями через независимые. Г. Н. Космодемьянская, которой принадлежат некоторые главы в нашей монографии Основы механики неголономных систем , показала, что в случае полной склерономности системы, когда кинетическая энергия представляет собой чисто квадратическую форму второго измерения, уравнения движения составляются в обоих случаях идентичные. Случай реономных систем требует особого исследования на основе современных методов — теории дифференцируемых многообразий. Нами предложен в данном -случае метод нормальных неголономных координат , т. е. использование таких независимых -неголономных -скоростей, при данных неголономных связях, через которые кинетическая энергия выражалась бы в квадратической форме от скоростей, без удвоенных их произведений, -п-р-ичем в левые части уравнений должны все входить тоже только раздельно. Тогда результат дифференцирования будет один и тот же обоих случаях, независимо от того, когда полагаются нулю зависимые [c.7]

В приведённую выше схему (в несколько более сложном варианте для физико-математических моделей, когда речь идёт как о физических свойствах, так и об их математическом описании) укладывается и развитие отдельных понятий. Уточнение смысла основных применяемых понятий дано в заметках первой главы работы. Дано обобщение понятия материальной точки (заметка 1), рассмотрены понятия скорости и ускорения (заметка 2), обсуждается соотношение виртуальных перемещений и вариаций, используемых в дифференциальных и интегральных принципах (заметка 3). Закон Ньютона о действии и противодействии получен как следствие принципа равновесия Даламбера и второго закона Ньютона. Прослеживается логическая цепь, соединяющая принцип равновесия Даламбера с уравнениями даламберова равновесия , использующими понятие о силе инерции. Предложено описание взаимодействия в форме интегрального равенства (заметка 4). Обсуждаются аналоги теоремы об изменении кинетической энергии для реономных систем и место функции Гамильтона в уравнении энергии [c.12]

По форме уравнения Аппеля (10), как показывается ниже, ничем не отличаются от уравнений Эйлера—Лагранжа (1.13). Применение тех или иных уравнений— вопрос вычислительного удобства. Пользование уравнениями Эйлера — Лагранжа предполагает предварительное нахождение трехиндексных символов кинетическая энергия должна вычисляться без учета наличия неголономных связей, что усложняет структуру этого выражения само написание уравнений требует внимания в расстановке индексов. При применении уравнений Аппеля основная трудность состоит в вычислении энергии ускорений требуется внимание, чтобы не упустить слагаемых, содержащих квазиускорения. При рассмотрении неголономных систем дело облегчается возможностью учитывать наличие этих связей. Не следует переоценивать значения правил (4.10.4) и (4.10.12) составления энергии ускорений 5 по кинетической энергии Т, так как применение второго из них требует знания трехиндексных символов и выражения Г, вычисленного при отброшенных связях, а применение первого для составления уравнений Аппеля в форме (5.18) воспроизводит выкладки, которые надо проделать при написании уравнений Лагранжа второго рода (если неголономные связи отсутствуют). Важное значение имеют в задачах динамики твердого тела правила составления 5, данные в п. 4.11. Уравнения Аппеля легко запоминаемы, а процесс [c.397]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...